复数与向量的关系

重视复平面上复数与向量的联系作用

平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情.

一 复数商与内积的联系

复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系.

例1 复数z1=a1+b1i, z2=a2+b2i，它们的三角式分别为z1=|z1|(cosθ1+isinθ1), z2=|z2|(cosθ2+isinθ2),对应的向量分别是oz1=(a1,b1)、oz2=(a2,b2).

然后复数作商: 代数式作商:

z1(a1a2b1b2)(a2b1a1b2)i=；-------------(1) 2z2|z2|z1|z1|=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) z2|z2||z1|aabb[cos(θ1-θ2)]=12212, ……(3) |z2||z2||z1|abab[sin(θ1-θ2)]=21212………(4) |z2||z2|三角式作商：

比较(1)(2)式,可得

则从中可得下列变式：

(1) 复数对应向量间的夹角余弦公式:

cos(θ1-θ2)=a1a2b1b2|oz1||oz2| ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围，使得|θ1-

θ2|∈[0,)，所以oz1与oz2的夹角就是|θ1-θ2|).

(2) 向量内积:

oz1·oz2=a1a2+b1b2=|oz1|·|oz2|cos(θ1-θ2).

若对(4)取绝对值得到:|oz1×oz2|=|a1b

2-a2b1|=||oz1|·|oz2|sin(θ1-θ2)|,这是空间

xoy平面上向量a(a1,a2,0),b(b1,b2,0)叉积的绝对值,是以线段oz1、oz2为邻边的平

行四边形的面积公式.

复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式.

若复数代数式z1x1y1i,z2x2y2i的三角式分别是z1r1(cos1isin1),

.-

-

z2r2[cos(2)isin(2)],然后,将它们的代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以

得到上面的三个式子.数学中的这种相互包容联系,真是体现了数学中的统一和谐之美.

二 复数向向量表示上的转化联系

利用复数与向量的联系,复数可以向向量表示上的转化，使有些复数的问题转化为向量问题或构造向量图像去处理，借向量之力去解决复数问题.

例2 已知复数z1、z2的模为1，z1+z213i,求复数z1、z2. 22解：根据题意，设复数z1、z2对应的向量为oz1、oz2，以这两个向量为邻边，边长为1，构作一个平行四边形，并建如图1的直角坐标系.记z1z2z，对应向量oz.

z2 z1z2=z ∵oz对应的复数是

o z1 x ∴|oz|1，∠zoz1=600

13i 22|oz1|1 ∴oz1z是正三角形, 

 ozz2oz1z ozz2 是正三角形.

1313i,或z1i,z21. 2222∴z11 ,z2本题在解题的思路上借助了复数向向量转化的作用.复数向向量转化是较常用的思想

方法.此题纯粹用代数方法去做,计算量是较大的.

例3复平面内，已知动点A,B所对应的复数的辐角为定值，分别θ、-θ，(0O为原点，ΔAOB的面积是定值S，求ΔAOB的重心M所对应的复数模的最小值.图2.

2)，

、OB、OM对应复数z1、z2、z且 解：根据题设，设向量OA|OA||z1|r1、|OB||z2|r2、|OM||z|,则有

12sr1r2sin2 , r1r2 2sin21∵OM(OAOB) 图2

311∴ |OM|2|OAOB|2(OAOB)(OAOB)

99122 =(|OA||OB|2OAOB)

9s .-

-

=

12(r1r222r1r2cos2) 9≥

2r1r222s(1cos2)2cos2 99sin24scot 922∴ |z|=|OM|scot,即重心M所对应的复数模的最小值scot33=

（z1=

2s(cosisin),z2sin22s(cosisin)时，取最小值）.该题用向量sin2方法可较简捷获解.

复数向向量表示上的转化的特点是:能将复数条件化为特殊的向量图形, 或构造一个向量运算,然后,顺利进行推理运算,求得结果.

三 向量向复数表示上的转化联系

利用复数与平面向量的联系，由向量向复数表示上的转化，使向量问题转化为复数问题或构造复数的结论去处理，借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感.

例4已知三个不共线的向量a,b,c,且abc0,证明:a,b,c可构成一个三角形. 证明:不妨设a,b,c对应复数的三角式分别为:r1(cos1isin1),r2(cos2isin2),

r3(cos3isin3),且r1r2r3.

abco

r1(cos1isin1)r2(cos2isin2)r3(cos3isin3)o r1cos1r2cos2r3cos30......(1) r1sin1r2sin2r3sin3=0………(2)

222由(1),(2)解得r3r1r22r1r2cos(12)

a,b,c不共线,12k(kZ)

1cos(12)1

r12r222r1r2r32r12r222r1r2

r2r1r3r2r1

a,b,c可构成一个三角形.

.-

-

从证明过程知道,其逆也成立的,故此命题可写成充要条件的形式.

该题纯粹用向量概念去证明是比较简单的,但学生听了后,并觉得没有复数解明白.

向量向复数表示上的转化的特点是:转化为复数问题后能构造出复数的某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成.

四 复数与向量并用联系

用多种形式表示一个命题的方法,在数学中是常用的手段，而且是常用常新，也是知识、思想、方法融会贯通的重要途径.如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题的处理自然要选择合适的形式来表示，或者是两者并用，实现相互左证,这样可以使问题明了简单.

例5已知线段AB的中点C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECD和BFCG,又作平行四边形CFHD和CGKE,求证H、C、K三点在一条直线上,且CK=CH,如图3.

证明:以C为原点,AB为X轴建立直角直角坐标系.

、CF、CD对应复数z1，z2,z3那么,向量设向量CBCA、CG、CE对应复数分别为z1、z1z2、z1z3；

又CHCFCD、CKCGCE分别对应复数

z2z3、(z1z2)(z1z3)

∵

z2z31，

(z1z2)(z1z3) 图3 ∴

CHCK1，

CK平行，但又有公共点C，故H、C、K三点共线,且CK=CH. ∴CH、例6已知Pk(k=1,2,……,n)是单位圆上的n个等分点,P是该圆上任意一点,求证

222 |pp1||pp2|......|ppn|为一定值.如图4.

证明:以单位圆的圆心O为直角坐标的原点,OPn为X轴,建立坐标系,则∠pnopk(当k=n时,假定此角为2),

2k nzkcos∵ 点pk对应的复数三角式为1,向量和

2k2ksini,对应向量是opk,则其长为nnnop对应于复数和zkk1k1nnkz0,即opk0.

k1k1k1n22222∴ |pp1||pp2|......|ppn|=|pp1||pp2|......|ppn|2

=(op1op)(op1op)(op2op)(op2op).....(opnop)(opnop)

.-

-

=|op1|2|op2|2......|opn|2n|op|22op(op1op2......opn) =2n-2opo=2n,为定值.

在这两个问题解决的过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间的等价结论.复数与向量并用的特点是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自的范围内有顺利进行计算推理的可能.

在平面图中，证明点共线，直线平行，直线垂直，判断三角形的形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题的,从而实现共同之目的.

复数与平面向量之间的联系是很多的，既有数形联系,又有等价结论联系.用好这些联系的意义是很大的.在教学中能揭示这些联系，可以活跃思维，培养兴趣，提高学习的积极性,提高学习的效率. 要牢固掌握这些联系，关键在平时要理清复数与向量的对应联系，并把它们装在心中，拿在手中，落实在应用中,千万别将它们分离.

例4已知pk(k1,2,.....,n)是单位圆上的n个等分点(按逆时针排列)，o是原点，求证：

opk1nko

.-

-

证明:以单位圆的圆心O为直角坐标的原点,OPn为X轴,建立直角坐标系,则∠

pnopk2k (当k=n时,假定此角为2). n2k2ksini,对应向量是opk,则其长为nn∵ 点pk对应的复数三角式为zkcos1,向量和

kop对应于zzkk10, k1nk1k1nnn∴

opk1k0.

这种等分圆周的有关向量求和问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求和来完成.

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