江西省吉安市2021届高三上学期期末教学质量检测 数学(理)含答案

吉安市高三上学期期末教学质量检测

数学(理科)试题

(测试时间：120分钟 卷面总分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2≥3}，B＝{x|x－5<0}，则

A.A∩B＝ B.A∩B＝[3，5) C.A∪B＝R D.A∪B＝(－∞，－3]U[3，5) 2.欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然对数的底，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系。若eiα表示的复数对应的点在第二象限，则α可以为 A.

2311 B. C. D.

32633.已知a＝log70.3，b＝0.70.3，c＝70.3，则 A.a4.达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者人迷，某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，B处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C，测得AB＝12.6cm，∠ACB＝则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)

2，3

A.12.6 B.4π C.4.2π D.4.3π

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5.我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支。天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、王、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥。古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子。我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法(即农历)。干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一。今年(2020年)是庚子年，小华的爸爸今年6月6日是56周岁生日，小华爸爸出生那年的农历是 A.庚子 B.甲辰 C.癸卯 D.丙申

6.过圆O：x2＋y2＝5外一点P(3，2)作圆O的切线，切点分别为A，B，则|PA|＝ A.3 B.2 C.22 D.3

7.已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a⊥(a＋2b)，则向量a，b的夹角为 A.

23 B. C. D.

34348.垃圾分类，人人有责。北京市从2020年5月1日开始实施《北京市生活垃圾管理条例》，北京将生活垃圾分为有害垃圾、可回收物、厨余垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某区四类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

则下列结论中不正确的是

A.厨余垃圾占垃圾总量的60% B.有害垃圾投放正确的概率为75% C.厨余垃圾投放正确的概率为90% D.生活垃圾投放错误的概率为15% 9.将函数y＝sin(x－

)的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，再向右平移个单位长332，2度，得到函数y＝f(x)的图象。在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(2A)＝且a＝4，b＝42，则△ABC的面积为

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A.4 B.6 C.8 D.10

10.定义在R上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，当x>1时，f(x)<0，则函数f(x)零点的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

11.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为2的正方形和4个边长为2的正三角形组成，则该多面体的外接球的表面积为

A.2π B.4π C.8π D.16π

12.过抛物线y2＝2px焦点F(1，0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且AFmFB(m>1)，|AB|＝

25，则m＝ 4A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

23

)展开式中的常数项为 。 x14.曲线y＝sinx＋2cosx－1在点(，0)处的切线方程为 。

213.(x2＋

x2y215.双曲线221(a>0，b>0)的离心率为6，则双曲线的渐近线方程为 。

ab16.构造法是数学解题的重要方法。如构造顶角为36°的等腰三角形，可以求解18°，36°的三角函数值，则sin18°＝ 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22－23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(本小题满分12分)

已知{an}是公差不为0的等差数列，若a，as，a13是等比数列{bn}的连续三项。 (I)求数列{bn}的公比； (II)若a1＝1，数列199，求n的最小值。 的前n和为Sn且Sn>200anan118.(本小题满分12分)

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如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC＝90°，AD＝DC＝2BC，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，Q为AD的中点。

(I)求证：AD⊥平面PBQ；

(II)若点M在棱PC上，且PA//平面BMQ，求平面BMQ与平面PAB所成的锐角的余弦值。 19.(本小题满分12分)

2020年国庆节期间，甲、乙等5名游客准备从庐山、三清山、婺源、井冈山4个景点中选取一个景点游览，设每人只选择一个景点，且选择任一个景点是等可能的。 (I)分别求“恰有2人选择井冈山”和“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率； (II)记X表示5人中选择景点的个数，求X的分布列与数学期望。 20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝aex(x－2)(a≠0)。 (I)求f(x)的单调区间；

(II)若函数g(x)＝f(x)＋x2－2x有两个极值点，求实数a的取值范围。 21.(本小题满分12分)

x2y21已知椭圆C：221(ab0)的焦距为2，离心率为。

ab2(I)求椭圆C的标准方程；

(II)直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足PMMQ，PNNQ。若λ＋μ＝－4，证明：直线l恒过定点。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系下有许多美丽的曲线，如贝努利双纽线ρ2＝a2cos2θ的形状是一个横8字，和谐、对称、优美。以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的直角坐标系下，曲线C的参数方程为

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x2tcos，(a≠＋kπ，k∈Z，t为参数)。 2ytsin(I)求曲线C的普通方程和贝努利双纽线的直角坐标方程； (II)若a＝2，a＝

，将曲线C向左平移2个单位得到曲线C'，曲线C'与贝努利双纽线交于A，6B两点，求A，B的极坐标。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|x－2|＋|x－a|。

(I)若f(x)≥4对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围；

(II)当a＝－4时，函数f(x)的最小值为t，且正实数m，n满足m＋n＝t，求

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14 的最小值。

mn

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