2021年广西贵港中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A.B.C.D.的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑1．﹣3的绝对值是（ B ）A．﹣32．若分式A．x≠﹣5
B．3
C．﹣
D．
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（A ）
B．x≠0
C．x≠5
D．x＞﹣5
3．下列计算正确的是（ C ）A．a2+a2＝a4
C．2a•（﹣3a）＝﹣6a2
B．2a﹣a＝1D．（a2）3＝a5
4．一组数据8，7，8，6，4，9的中位数和平均数分别是（ B ）A．7和8
B．7.5和7
C．7和7
D．7和7.5
5．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的值是（ C ）A．1
B．2
C．3
D．4
6．不等式1＜2x﹣3＜x+1的解集是（ C ）A．1＜x＜2
B．2＜x＜3
C．2＜x＜4
D．4＜x＜5
7．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（D ）A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
8．下列命题是真命题的是（ D ）A．同旁内角相等，两直线平行B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．两角分别相等的两个三角形相似
9．某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ B ）A．800（1﹣x）2＝968
B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800D．968（1+x）2＝800
的中点，点D关于AB对称的
10．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ A ）
A．2B．2C．D．1
11．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则
＝（ A ）
A．B．C．1D．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，
E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（B ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均数都是8环，方差分别为S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，则两人射击成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
14．第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为1411780000人，将数据1411780000用科学记数法表示为 1.41178×109 ．
15．如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是 52° ．
16．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是__6π___（结果保留π）．
17．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是 ．
18．我们规定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），
＝（2，4），则•＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则•的最大值是 8 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：（2）解分式方程：【解答】解：（1）原式＝2＝2
+1﹣1﹣
．+1﹣1﹣2×
﹣2cos45°；
＝；
，
（2）整理，得：
方程两边同时乘以（x﹣2），得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，∴x＝1是原分式方程的解．
20．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞
AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．（2）如图，点E即为所求．
21．（6分）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比
例函数y＝的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．
【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+2＝3，∴交点的坐标为（1，3），将（1，3）代入y＝，解得：k＝1×3＝3；
（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x﹣2，由
，
解得：或，
∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），∴AB＝
＝4
．
22．（8分）某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分钟，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：组别
锻炼时间频数（人）百分比（分）
AB0≤x≤2020＜x≤40
1220%35%
aC40＜x≤18b60
D60＜x≤80
610%
E80＜x≤100
35%
（1）本次调查的样本容量是 60 ；表中a＝ 21 ，b＝ 30% ；（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 ；
（4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有多少人？
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：12÷20%＝60，则a＝60﹣12﹣18﹣6﹣3＝21，b＝18÷60×100%＝30%，故答案为：60，21，30%；
（2）将频数分布直方图补充完整如下：
（3）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝，故答案为：；
（4）2200×（10%+5%）＝330（人），
即该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人．
23．（8分）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱．计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
【解答】解：（1）设甲型货车每辆可装载x箱材料，乙型货车每辆可装载y箱材料，依题意得：解得：
．
，
答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．
（2）设租用m辆甲型货车，则租用（70﹣m）辆乙型货车，依题意得：解得：
≤m≤
．
，
又∵m为整数，∴m可以取18，19，∴该公司共有2种租车方案，
方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．
24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接
CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．
【解答】解：（1）连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝
，AD＝2，
∴CD＝AD•cos∠ADC＝2×＝，∴AC＝∴
＝，
＝
＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴
＝
＝
＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，又∵FC2＝FD•FA，即（4x）2＝3x（3x+2），解得x＝（取正值），∴FD＝3x＝
．
25．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接出所有符合条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴﹣
＝﹣1，
∴b＝2a，
∵点C的坐标为（0，2），∴c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2，∵点A（﹣3，0）在抛物线上，∴9a﹣6a+2＝0，∴a＝﹣，∴b＝2a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，记BD与AC的交点为点E，∵∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，
∵直线x＝﹣1垂直平分AB，∴点E在直线x＝﹣1上，∵点A（﹣3，0），C（0，2），∴直线AC的解析式为y＝x+2，当x＝﹣1时，y＝，
∴点E（﹣1，），
∵点A（﹣3，0）点B关于x＝﹣1对称，∴B（1，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，即直线l的解析式为y＝﹣x+；
Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，∵∠ABD＝∠BAC，∴BD∥AC，
由Ⅰ知，直线AC的解析式为y＝x+2，∴直线BD的解析式为y＝x﹣，即直线l的解析式为y＝x﹣；
综上，直线l的解析式为y＝﹣x+或y＝x﹣；
（3）由（2）知，直线BD的解析式为y＝x﹣①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2②，
∴或，
∴D（﹣4，﹣），
＝
，
∴S△ABD＝AB•|yD|＝×4×∵S△BDP＝S△ABD，∴S△BDP＝×
＝10，
∵点P在y轴左侧的抛物线上，∴设P（m，﹣m2﹣m+2）（m＜0），过P作y轴的平行线交直线BD于F，
∴F（m，m﹣），
∴PF＝|﹣m2﹣m+2﹣（m﹣）|＝|m2+2m﹣|，∴S△BDP＝PF•（xA﹣xB）＝×|m2+2m﹣|×4＝10，∴m＝∴P（
（舍）或m＝，5）．
，
26．（10分）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 AE＝CF ；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．
【解答】解：（1）结论：AE＝CF．理由：如图1中，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，∵∠AOC＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．
（2）结论成立．理由：如图2中，
∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，
∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．
（3）如图3中，
由旋转的性质可知OE＝OA，∵OA＝OD，∴OE＝OA＝OD＝5，∴∠AED＝90°，
∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，∴
＝
，
∴△AOE∽△COF，∴
＝
，
∵CF＝OA＝5，∴
＝，
，
＝
＝
．
∴AE＝∴DE＝
