平陆县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y=|x|（x∈R） B．y=（x≠0） C．y=x（x∈R） D．y=﹣x3（x∈R） 2． 命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（ ） A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0
3． 现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区，其中甲、乙两个社区每个社区至少2台，其它社区允许1台也没有，则不同的分配方案共有（ ） A．27种
B．35种
C．29种
D．125种
4． 如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则此几何体的表面积是（ ）
A．8cm2 B． cm2 C．12 cm2
D．
cm2
5． 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
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A． B． C． D．
12x+ax存在与直线3xy0平行的切线，则实数a的取值范围是（ ） 2A. (0,) B. (,2) C. (2,) D. (,1]
6． 函数f(x)=lnx+【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 7． 将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ） A．1372 B．2024 C．3136 D．4495
8． 已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（ ） A．a=3
B．a=﹣3
C．a=±3
D．a=5或a=±3
9． 若当xR时，函数f(x)a|x|（a0且a1）始终满足f(x)1，则函数y（ ）
loga|x|的图象大致是 3x
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．
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10．已知是虚数单位，若复数3i(ai)（aR）的实部与虚部相等，则a（ ）
A．1 B．2 C． D． 11．设a=60.5，b=0.56，c=log0.56，则（ ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 12．cos80cos130sin100sin130等于（ ） A．3311 B． C． D． 2222二、填空题
42sincos33 13．已知tan2，则
53cossin66 . 14．设有一组圆Ck：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
x2y215．F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，
ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为______________.
2【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
16．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是 ． 17．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是 ．
18．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=lg（x2﹣5x+6）和（1）求集合A，B； （2）求集合A∪B，A∩B．
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的定义域分别是集合A、B，
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A（29，0）． （1）求圆弧C2的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足
？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
21．已知椭圆
点，且椭圆的离心率为
的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任意一
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l1，l2是椭圆的任意两条切线，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
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22．已知函数f（x）=alnx+（I）求a、b的值；
（Ⅱ）当x＞1时，不等式f（x）＞
23．已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）． （1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明； （2）已知函数g（x）=log
24．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，若存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N*都成立．
，当x∈[，
]时，不等式 f（x）≥g（x）有解，求k的取值范围． 恒成立，求实数k的取值范围．
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2．
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（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．
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平陆县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，
y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件， y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件， y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件， 故选：D
2． 【答案】D 故选D． 否定方法、形式．
3． 【答案】 B
【解析】 【专题】计算题．
22
【解析】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a+b≠0”；
【点评】此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的
排列、组合及简单计数问题．
【分析】根据题意，可将7台型号相同的健身设备看成是相同的元素，首先分给甲、乙两个社区各台设备，再将余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论分配方案，①当三台设备都给一个社区，②当三台设备分为1和2两份分给2个社区，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区，分别求出其分配方案数目，将其相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，7台型号相同的健身设备是相同的元素， 余下的三台设备任意分给五个社区， 分三种情况讨论：
首先要满足甲、乙两个社区至少2台，可以先分给甲、乙两个社区各2台设备，
①当三台设备都给一个社区时，有5种结果，
②当三台设备分为1和2两份分给2个社区时，有2×C52=20种结果， ∴不同的分配方案有5+20+10=35种结果； 故选B．
③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区时，有C53=10种结果，
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意型号相同的健身设备是相同的元素．
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4． 【答案】C
【解析】解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥， 侧高和底面的棱长均为2，
2
故此几何体的表面积S=2×2+4××2×2=12cm，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键．
5． 【答案】 A
【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2， ∴母线长为
，
=2+
．
2
圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×1+×2×2+×π×
故选A．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
6． 【答案】D 【解析】因为f(x)因为x+11xa，直线的3xy0的斜率为3，由题意知方程xa3（x>0）有解，
xx1?2，所以a£1，故选D． x
7． 【答案】 C
【解析】
【专题】排列组合．
点在另一条边，根据分类计数原理可得． 上，有4种方法，
【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其
33
再在选出的三条边上各选一点，有7种方法．这类三角形共有4×7=1372个．
另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，
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再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=17个． 故选：C． 8． 【答案】B
2
∴2a﹣1=9或a=9，
综上可知，可得不同三角形的个数为1372+17=3136．
【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．
2
【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，
当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；
2
当a=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；
∴a=﹣3． 故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．
9． 【答案】C
【解析】由f(x)a|x|始终满足f(x)1可知a1．由函数yloga|x|是奇函数，排除B；当x(0,1)时，x3loga|x|0，此时y10．【答案】A
loga|x|0，排除A；当x时，y0，排除D，因此选C． 3x考
点：复数运算． 11．【答案】A
【解析】解：∵a=60.5＞1，0＜b=0.56＜1，c=log0.56＜0， ∴c＜b＜a． 故选：A．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
12．【答案】D 【解析】
试题分析：原式cos80cos130sin80sin130cos80130cos210cos30180cos30
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3． 2考点：余弦的两角和公式.
二、填空题
13．【答案】3 【
解
析
】
考点：三角恒等变换.1111]
有一定的综合性，属于较难题型. 首先利用换元思想设求式子转化为
【方法点晴】本题主要考查三角恒等变换，涉及转化化归思想和换元思想，考查逻辑推理能力、化归能力，具
3，从而将已知条件化简为tan2．从而将所
sincoscossin22，进而化为sincos，然后分子分母同除以cos将弦化切得
sincostan13. 1111]
tan114．【答案】 ②④
【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k）， 圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确； 考虑两圆的位置关系，
圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为两圆的圆心距d=两圆的半径之差R﹣r=
2
（k+1）﹣
k2，
2
（k+1），
圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为
=
k2=2
k+
，
，
任取k=1或2时，（R﹣r＞d），Ck含于Ck+1之中，选项①错误； 若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
22424
将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）+9k=2k，即10k﹣2k+1=2k（k∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
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则真命题的代号是②④． 故答案为：②④
【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．
15．【答案】31 【
解
析
】
16．【答案】 ．
2
【解析】解：∵抛物线C方程为y=4x，可得它的焦点为F（1，0）， ∴设直线l方程为y=k（x﹣1）， 由
，消去x得
．
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1+y2=，y1y2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，
2
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y2=﹣4， 2
消去y2得k=3，解之得k=±
．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
17．【答案】 [1，）∪（9，25] ．
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【解析】解：∵集合
2
得 （ax﹣5）（x﹣a）＜0，
，
当a=0时，显然不成立， 当a＞0时，原不等式可化为
，
若
时，只需满足 ，
解得若
；
，只需满足 ，
解得 9＜a≤25， 综上，
当a＜0时，不符合条件， 故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．
18．【答案】
．
【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列 ∴2b=a+c
222
∴4b=a+2ac+c①
222
∵b=a﹣c②
①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0 ∵
2
∴5e+2e﹣3=0
∵0＜e＜1
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∴
故答案为：
【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由x2﹣5x+6＞0，即（x﹣2）（x﹣3）＞0， 解得：x＞3或x＜2，即A={x|x＞3或x＜2}， 由g（x）=
，得到﹣1≥0，
当x＞0时，整理得：4﹣x≥0，即x≤4； 当x＜0时，整理得：4﹣x≤0，无解，
综上，不等式的解集为0＜x≤4，即B={x|0＜x≤4}； （2）∵A={x|x＞3或x＜2}，B={x|0＜x≤4}， ∴A∪B=R，A∩B={x|0＜x＜2或3＜x≤4}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
20．【答案】
22
【解析】解：（1）圆弧 C1所在圆的方程为 x+y=169，令x=5，
解得M（5，12），N（5，﹣12）…2分
则直线AM的中垂线方程为 y﹣6=2（x﹣17）， 令y=0，得圆弧 C2所在圆的圆心为 （14，0）， 又圆弧C2 所在圆的半径为29﹣14=15，
22
所以圆弧C2 的方程为（x﹣14）+y=225（5≤x≤29）…5分
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=由由
PO，得x2+y2+2x﹣29=0 …8分
，解得x=﹣70 （舍去） 9分
，解得 x=0（舍去），
综上知，这样的点P不存在…10分
【点评】本题以圆为载体，考查圆的方程，考查曲线的交点，同时考查距离公式的运用，综合性强．
21．【答案】
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【解析】解：（1）∵椭圆
P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为∴
=
，解得
．…
，
，
的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
∴椭圆C的方程为
（2）①当l1，l2的斜率存在时，设l1：y=kx+m，l2：y=kx+n（m≠n）
，
222222
△=0，m=1+2k，同理n=1+2km=n，m=﹣n，
设存在，
222222222
又m=1+2k，则|k（2﹣t）+1|=1+k，k（1﹣t）=0或k（t﹣3）=2（不恒成立，舍去） 2
∴t﹣1=0，t=±1，点B（±1，0），
②当l1，l2的斜率不存在时，
点B（±1，0）到l1，l2的距离之积为1． 综上，存在B（1，0）或（﹣1，0）．…
22．【答案】
【解析】解：（I）∵函数f（x）=alnx+f′（x）=﹣
的导数为
，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），
∴f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （II）当x＞1时，不等式f（x）＞即（k﹣1）lnx+
，即为（x﹣1）lnx+
＞（x﹣k）lnx，
＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
，g′（x）=
+1+
=
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令g（x）=（k﹣1）lnx+
2
令m（x）=x+（k﹣1）x+1，
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①当≤1即k≥﹣1时，m（x）在（1，+∞）单调递增且m（1）≥0，
所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增， 则g（x）＞g（1）=0即f（x）＞②当
恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
）上单调递减，
＞1即k＜﹣1时，m（x）在上（1，
且m（1）＜0，故当x∈（1，所以函数g（x）在（1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当x∈（1，
）时，m（x）＜0即g′（x）＜0，
）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
）时，g（x）＜0与题设矛盾，
综上可得k的取值范围为[﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
23．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数． 理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分） 又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x）， 则f（x）是奇函数. （2）g（x）=log
=2log3
，（5分）
又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分） 由f（x）≥g（x）得log3即
≥
≥log3
，
，（8分）
即k2≥1﹣x2，（9分）
x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）
2
则k≥，（11分）
又k＞0，则k≥，
].
即k的取值范围是（﹣∞，
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【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，
*
存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N都成立，
由题意得当n=1时，（1﹣a）b=b﹣a2，∴a2=ab=aa1， 当n≥2时，（1﹣a）Sn=b﹣an+1，（1﹣a）Sn+1=b﹣an+1， 两式作差，得：an+2=a•an+1，n≥2， ∴{an}是首项为b，公比为a的等比数列， ∴
．
（Ⅱ）当a=1时，Sn=na1=nb，不合题意， 当a≠1时，若
，即
， ，
化简，得a=0，与题设矛盾，
故不存在非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
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