高级计量经济学课后习题参

根据附表1可知 F0.830.5935，F2.50.9876 PS：

在附表1中，FZPxxz

XX10XX8000X（2）PX8000PP=0.0004 3XXXX3000X5（3）PX3000PP=0.2023 6=0.2023-0.0004=0.20191.4 据统计70岁的老人在5年内正常死亡概率为0.98，因事故死亡的概率为0.02。保险公司开办老人事故死亡保险，参加者需缴纳保险费100元。若5年内因事故死亡，公司要赔偿a元。应如何测算出a，才能使公司可期望获益；若有1000人投保，公司可期望总获益多少？

设公司从一个投保者得到的收益为X，则

X 100 100-a P 0.98 0.02 则EX1000.02a

故要是公司可期望获益，则有EX1000.02a>0，即a5000

PS：赔偿金应大于保险费？

1000人投保时，公司的期望总收益为10001000.02a10000020a

2.1 写出过原点的一元、二元线性回归模型，并分别求出回归系数的最小二乘估计。 解答：

过原点的一元线性回归模型为YX 约束最小二乘估计：yx

过原点的二元线性回归模型为YXX 2.2针对多元线性回归模型

试证明经典线性回归模型参数OLS估计量的性质Eˆ和Covˆ,ˆXX，并说明你在证明时用到了哪些基本假定。 解答：

2.3为了解某国职业妇女是否受到歧视，可以用该国统计局的“当前人口调查”中的截面数据，研究男女工资有没有差别。这项多元回归分析研究所用到的变量有：

对124名雇员的样本进行研究得到的回归结果为（括号内为估计的t值）：

（1）求调整后的可决系数R

（2）AGE的系数估计值的标准差为多少？

（3）检验该国工作妇女是否受到歧视？为什么？ （4）求以95%的概率，一个30岁受教育16年的该国

1122212妇女，平均每小时工作收入的预测区间是多少？ 解答：（1） （2）

（3）因为t1201.97994.61,所以ˆ2.76显著，且为负，即意味着妇女受到歧视。

ˆ6.412.7610.99160.123010.27 （4）W有公式知W的95%置信区间为： 即10.271.9799s1XXXX 其中X1,1,16,30

2.8设某公司的投资行为可用如下回归模型描述： 其中I为当期总投资，F为已发行股票的上期期末价值，K为上期资本存量。数据见课本71页。

（1） 对此模型进行估计，并做出经济学和计量经济

学的说明。

（2） 根据此模型所估计的结果，做计量经济学检验。 （3） 计算修正的可决系数。

（4） 如果2003年的F和K分别为5593.6和2226.3，

计算I在2003年的预测值，并求出置信度为95%的预测区间。 解答：

equation eq1.ls i c f k expand 1984 2003 smpl 2003 2003 f=5593.6

0.0252001000ii1i1i1i1ik=2226.3

smpl 1984 2003

eq1.forecast yf sf

scalar tc=@qtdist(0.975,16) series yl=yf-tc*sf series yu=yf+tc*sf show yl yf yu

（1）最小二乘回归结果为：

经济意义说明：在假定其他变量不变的情况下，已发行股票的上期期末价值增加1单位，当期总投资增加0.114158单位；在其他变量不变的情况下，上期资本存量增加1单位，当期总投资增加0.326143单位。 （2）模型的拟合优度为R0.0687，修正可决系数为R0.877022，可见模型拟合效果不错。

F检验：对模型进行显著性检验，F统计量对应的P值为0，因此在0.05的显著性水平上我们拒绝原假设H:0，说明回归方程显著，即变量“已发行股票的上期期末价值”和“上期资本”存量联合起来确实对“当期总投资”有显著影响。 t检验：针对H:0j1,2,3进行显著性检验。给定显著性水平0.05，查表知t162.12。由回归结果，ˆ、ˆ对应的t统计量的绝对值均大于2.12，所以拒绝H:0j2,3；但ˆ对应的t统计量的绝对值小于2.12，在0.05的显著性水平上不能拒绝H:0的原假设。

220230j2230j101（3）R0.877022

（4）I在2003年的预测值为1254.848，置信度为95%的预测区间为（1030.292，1479.405） 2.4 设一元线性模型为r (i=1,2,…..,n) 其回归方程为YˆˆˆX，证明残差满足下式

如果把变量X,X分别对X进行一元线性回归，由两者残差定义的X，X关于X的偏相关系数r满足： 解答：

（1）对一元线性模型，由OLS可得 所以，

（2）偏相关系数是指在剔除其他解释变量的影响后，一个解释变量对被解释变量的影响。不妨假设X，X对X进行一元线性回归得到的回归方程分别为： ˆˆXeX，XˆˆXe

则，e,e就分别表示X，X在剔除X影响后的值。

所以X，X关于X的偏相关系数就是指e,e的简单相关系数。 所以，

因为e0,e0，ˆXXXX，ˆXXXX

2i23.123123123.1231212113121212231231121i12i21i13i3122X1iX122X1iX12令X则ˆ1iX1x1i,X2iX2x2i,X3iX3x3i

2r21xx2222i，ˆ2r311ixx223i ，所以e1i1i注意到Xˆ1ˆ2X1,X3ˆ1ˆ2X1ˆ2x1i,e2ix3iˆ2x1ix2i所以r23.1eeeeeeee1i12i221i12i22eeee1i2i21i2 2i其中，

eex1i2iˆ2x1ix3iˆ2x1ix2iˆ2x1ix3iˆ2ˆ2x1i2xˆ2x2ix1i22223i2i2i3i23122i1i2121i3i2123121i2i3ixxxxxxrrxxrxxrxxxxxxrxxrxrxxrrxxrxxrxxrrxxrrxxrrxxrxxrrxxrrrxx2i3i1i1i1i1i22223i222i22232i3i31221222i1i212313i1i1i1i22222222223232i2i3i3i312131212i2i3i3i2131233i2i21313i3i2i2231212i2131rxx23i22i2同理可得： 所以

2.7 2.7考虑下面两个模型： Ⅰ：YXLXLX Ⅱ：YXXLXLX （1） 证明ˆˆ1,ˆˆ,j1,2,L,l1,l1,Lk

（2） 证明模型Ⅰ和Ⅱ的最小二乘残差相等

（3） 研究两个模型的可决系数之间的大小关系 解答：

i122illikkiiili122illikkiilljj（1）设

1,X21,L,Xk1Y1Y1,X22,L,Xk2Y2,XLLLLLLMYn1,X2n,L,XknXl1111X,2,2,2,Xl2MMMlMXkknln

则模型Ⅰ的矩阵形式为：YX

模型Ⅱ的矩阵形式为：YXX

取e0,L,0,1,0,L,0，其中1为e的第l个分量 则XXe

lllll令ZYXYXe，则模型Ⅱ又可表示为ZX 又OLS得知，ˆXXXY，ˆXXXZ 将ZYXYXe代入可得：

ll11ll即

ˆˆˆ0111MMMMˆˆˆ111llMMMMˆˆ0ˆkkk

（2）由上述计算可得： （3）由（2）可知ESSESS

所以要比较R和R，只需比较TSS和TSS 所以，当var(X)2cov(Y,X)时，则RR；反之，RR TSS大于TSS，

3.4美国1970-1995年个人可支配收入和个人储蓄的数据见课本102页表格。

由于美国1982年遭受了其和平时期最大的衰退，城市失业率达到了自1948年以来的最高水平9.7%。试建立分段回归模型，并通过模型进一步验证美国在1970-1995年间储蓄-收入关系发生了一次结构变动。 解答：

建立模型为YXDX2347.3

X为t年的个人可支配收入，其中Y为t年的个人储蓄，

222222llt12t1tttttDt1,当t19820,当t1982

12t则EYt1982X Eviews代码： series d1=0

tsmpl 1982 1995 d1=1

smpl @all

ls sav c pdi d1*(pdi-2347.3)

显著，所以美国在1970-1995年间储蓄-收入关系确实发生了一次结构变动

13.5在行风评比中消费者的投诉次数是评价行业服务质量的一个重要指标。一般而言，受到投诉的次数越多就说明服务质量越差。有关部门对电信、电力和铁路三个服务行业各抽取了四家单位，统计出消费者一年来对这12家企业的投诉次数，见课本表格。

试采用虚拟解释变量回归方法，分析三个行业的服务质量是否存在显著的差异。 解答：

本题中有三个定性变量，所以需要设置两个虚拟变量 其中Y为i企业在一年汇中受到的投诉次数，

iD1i1,若i为电力企业0,otherwisei，D12i1,若i为铁路企业0,otherwise

则EYi为电信企业

在5%的显著性水平上，,均不显著，所以电信行业和电力行业的服务质量不存在显著性差异，电信行业和铁路行业的服务质量也不存在显著性差异

12若取Di1i1,若i为电信企业0,otherwise11，D2i1,若i为电力企业0,otherwise，则

则EYi为电信企业

在5%的显著性水平上，不显著，显著，所以电力行业和铁路行业的服务质量存在显著差异，且电力行业的服务质量比铁路行业好。电信和铁路行业服务质量不存在显著差异。

3.6虚拟变量的实质原则是什么？试以加法形式在家庭对某商品的消费需求函数

12中引入虚拟变量，用以反映季节因素（淡、旺季）和家庭收入层次差异（高、低）对商品消费需求的影响，并写出各类消费函数的具体形式。 解答：

引入两个虚拟变量

0,若为淡季，D其中D1,若为旺季120,低收入家庭1,高收入家庭

所以淡季低收入家庭对商品的消费需求为 淡季高收入家庭对商品的消费需求为 旺季低收入家庭对商品的消费需求为 旺季高收入家庭对商品的消费需求为

以加法形式引入虚拟变量：即以相加的形式将虚拟变量引入模型。加法形式引入虚拟变量可以考察截距的不同；斜率的不同则可通过以乘法方式引入虚拟变量来实现。

3.9设消费函数的形式为

其中，Y是收入，C是消费，,,是待定参数。观测到某地区总消费和收入的数据见课本表格。

（1） 当1时，估计模型并解释其经济意义。

（2） 以1时所得到的参数估计量作为初始值，采用

高斯-牛顿迭代方法回归模型参数。 解答：

（1） 当1时，消费函数形式为CY

ˆ11.150.9Y，说明每增加1元收入，消样本回归方程为C费就会增加0.9元。另外，我们注意到常数项在5%的水平上是不显著的。

（2） 以（11.14574，0.8534，1）作为初始值， 采用高斯-牛顿迭代得到样本回归方程为 Eviews代码为： ls cons c y coef(3) b

param b(1) 11.14574 b(2) 0.8534 b(3) 1 在 Eviews 主菜单，Quick/Estimate Equation…，弹出Equation Estimation 窗口，在Specification 中输入方程cons=b(1)+b(2)*(y^b(3))

4.2对某种商品的销售量Y进行调查，得到居民可支配收入X，其他消费品平均价格指数X的数据见课本145页。 （1）若以X、X为解释变量，问是否存在多重共线性？ （2）你认为比较合适的模型是什么？ 解答：

以X、X为解释变量，回归得到

R=0.9821,但自变量X的回归系数在5%的水平上并不显著

计算X、X间的相关系数为：r0.991796 做辅助回归得到：

辅助回归的R大于主回归的R。所以，以X、X为解释变量，会产生多重共线性。

1212122112X1X22212（2）采用逐步回归法，首先用X作为自变量对Y进行回归，得到

ˆ39.017990.521613X R=0.952177 Y利用X作为自变量对Y进行回归，得到 ˆ54.365140.670541X R=0.979972 Y4.3根据我国1985-2001年城镇居民人均可支配收入y和人均消费性支出x的数据，按照凯恩斯绝对收入假说建立的消费函数计量经济模型为： （1） 解释模型中0.77的经济意义； （2） 检验该模型是否存在异方差性；

（3） 如果模型存在异方差，写出消除模型异方差的

方法和步骤。 解答：

（1）凯恩斯绝对收入假说：在短期中，消费取决于收入，随着收入的增加消费也将增加，但消费的增长低于收入的增长。

0.77表示收入每增加1单位，其中有0.77单位用于消费，即边际消费倾向。

（2）异方差检验方法：Goldfeld-Guandt检验，Breusch-Pagan检验，White检验 本题中适用White检验法。 nR170.4778.109，查表得13.841

nR1，所以拒绝原假设，模型存在异方差。 （3）

1212212e0.052e0.05利用残差与自变量之间的回归方程e451.900.87x，在原模型yx两边同除以451.900.87x，得到新模型 即先对原始数据进行处理，自变量与因变量同除以451.900.87x，然后对处理后的数据进行OLS估计。 注：回归方程e451.900.87x中x 的系数并不显著 4.4设多元线性模型为Y=Xβ+ε，其中

试问此模型存在异方差吗？如果存在异方差，怎样把它变成同方差模型，并用广义最小二乘法（GLS）求的估计量。 解答：

因为ij，所以该模型显然存在异方差。 在原模型两边同乘以，得到Y=Xβ+ε

2iiiiii2ii22ij12121212则

1111111122222222covε,εEεεEεε22I

所以新模型是同方差。

对新模型采用OLS进行估计得到：

4.5下面给出的数据是美国1988年研究与开发（R&D）支出费用（Y）与不同部门产品销售量（X）和利润（Z）。数据见课本146页

试根据资料建立一个回归模型，运用Glejser方法和White方法检验异方差，由此决定异方差的表现形式并选用适当的方法加以修正。 解答：因变量与自变量的选取？ 对模型进行回归，得到：

回归系数都不显著

White检验结果显示，存在异方差 Glejser检验结果显示：存在异方差 取对数后进行回归，得到： 进行White异方差检验 不能拒绝同方差假设。

以z作为因变量，以x,y作为自变量，回归得到 White异方差检验：

在5%的显著性水平上，拒绝同方差的原假设。 取对数，回归得到

进行White异方差检验，得到

在5%的显著性水平上，不能拒绝同方差的原假设。 即取对数就可以消除异方差。 注：（1）以各自方差的倒数为权数对模型进行修正？

ˆ1690.3090.387979x 4.8 （1）yn=19，k=1,在5%显著性水平上，d1.18,d1.401 因为DW0.52d，所以拒绝无序列相关的原假设。 （2）

对回归残差序列进行一阶自回归得到eˆ0.920175e，即ˆ0.920175 lul11ii11用估计出来的进行广义差分，再进行回归得到： 得到新残差，再进行回归得到ˆ0.927088

迭代终止，得到ˆ0.9365，进行广义差分，再回归得到： 此时DW0.720623d，故一阶差分并不能消除序列相关。

2l进行二阶差分，得到：

n=17，k=3,在5%显著性水平上，d0.672,d1.432 dDW4d，故不能拒绝无序列相关的原假设 5.1

luuu（1）原模型为YX6tii0tit

施加线性算术滞后61i,i0,1,L,6 则原模型可化为

iYt61iXtiti067iXtiti06 （1）

i0施加有远端约束的Almon一次多项式滞后i0,1,L,6

所以ii7，i0,1,L,6 则原模型可化为

i0111i，

Yti71Xtiti061i7Xtiti06 （2）

比较方程（1）和（2），可见两个模型是一致的 （2）ls ln(cons) c pdl(ln(inc),6,2,1) (3) ls ln(cons) c pdl(ln(inc),6,2,2) （4）ls ln(cons) c pdl(ln(inc),6,2,3) （5）（6）（7）关于F统计量分子自由度的说明。 5.2

（1）5阶滞后消费收入模型：

施加Almon三次多项式约束iii，i0,1,L,5

23i0123ls ln(y) c pdl(ln(x),5,3) （2） 所以 （3）

施加近终端约束0 ls ln(y) c pdl(ln(x),5,3,1)

(4)根据带近终端约束的回归残差平方和以及不带近终端约束的回归残差平方和，构建F统计量，分子自由度为1

（5）如习题5.1（5）、（6）、（7） 5.5

（1）对lnClnClnY进行回归

利用所得残差计算ˆ，再结合回归得到的varˆ构建Durbin h统计量

在原假设下，h渐近服从N0,1

若hZ，则拒绝无一阶序列相关的原假设。否则，不能拒绝原假设

（2）Breusch-Godfrey检验

Breusch-Godfrey检验是将OLS的残差e对于e和包括滞后的因变量行回归。

所以对p阶序列相关进行检验，应构建回归模型： 构建统计量TR: 6.9

（2）对于过度识别的模型，可采用2SLS法进行估计

10123t01t1tt12tt1

22ptsls cons-g c y1 @ c y1(-1) g tsls i c y1 y1(-1) @ c y1(-1) g