数列教案

教学目标

1．通过教学使学生理解等差数列和等比数列及其前n项和的概念，能够根据通项公式写出数列的项、求数列的前n项和，并能运用公式解决简单的问题.

2．通过对等比、等差数列及前n项和的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质

3．通过对等比、等差数列概念及求前n项和的公式的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度. 教学重点，难点

教学重点是等差、等比数列的前n项和的归纳与认识；教学难点是错位相减法的教学与应用。

教学方法：启发引导式 教学手段：讲授法为主

教学过程： 一、课前复习：

1、数列的定义：

按一定次序排列的一列数叫数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.，各项依次叫做这个数列的第1项（首项）、第2项、…、第n项…，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。 2、数列的一般形式：

a1,a2,a3...,an,..其中右下标n

表示项的位置序号，上面的数列又可简记为{an}

注：这里的an和{an}是不同的，an表示一个数列的第n项，而{an}表示一个数列。 如数列1,2,3...,n,...可简记为：{an} 又如数列1,,,...,231111,...可简记为：{} nn3、数列的函数观点

从函数的观点看：数列可以看成以正整数集Z*（或它的有限子集{1，2， …k}）为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。 4、数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

从函数角度看，通项公式就是an与n之间的函数关系式an=f(n)。 注：（1）给出数列的前几项，可以归纳出不止一个通项公式。举例说明。

（2）并不是所有的数列都可以求出其通项公式。举例说明。 5、数列的递推公式

如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an1（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。 6、等差数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这

个数列就叫做等差数列。 ⑵通项公式：ana1(n1)d ⑶求和公式： Snna1nn12da1ann2

例题：求等差数列2，9，16，…的第10项；并求前10项的和。 7、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这

个数列就叫做等比数列。 ⑵通项公式：ana1qn1 ⑶求和公式：Sna1anq1qa11q1qn，

q1时

Snn1a，q1时

例题：等比数列an中, a29,a5243,则an的前4项和为（ ） A．81 B．120

C．168 D．192 解.B

a5a227q,q3,a13a2q3,S43(13)134120

二、新课教学 （板书）例题：求和：

.

设

减法求和. 解：

，其中 为等差数列， 为等比数列，公比为 ，利用错位相

，

两端同乘以 ，得

，

两式相减得

于是 .

说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题. 四、例题讲解

1．两个等差数列

an,bn,则

a1a2...anb1b2...bn7n2n3,=___________ a5b5(a1a9)S792652解. \"9912b52b5b1b9S99312(b1b9)22、．已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，

659a52a5a1a9⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； ⑵设数列cnann2⑶求数列an的通项公式及前n项和。

,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列；

分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有Sn1=4an+2，可由Sn2-Sn1作切入点探索解题的途径．

解：(1)由Sn1=4an2，Sn2=4an1+2，两式相减，得Sn2-Sn1=4(an1-an)，即an2=4an1-4an．(根据bn的构造，如何把该式表示成bn1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

an2-2an1=2(an1-2an)，又bn=an1-2an，所以bn1=2bn ① 已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3 ② 由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·2n1．

当n≥2时，Sn=4an1+2=2

n1(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．

综上可知，所求的求和公式为Sn=2n1(3n-4)+2．

说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件S4an2得出递推公式。 n12．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

三、课堂小结

1、本节学习的数学知识：错位相减法的掌握。

2、本节学习的数学思想：归纳的思想、函数的思想、归纳猜想的思想、数形结合的思想方法等。