维普资讯 http://www.cqvip.com 第２５卷第３期 ２００７年８月 贵州师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒｌ ａＳｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｏｌ＿２５．Ｎｏ．３ Ａｕｇ．２００７ 文章编号：１００４－－５５７０（２００７）０３—００７２—０６ 集合Ｊ？ｒ到集合 上的二元关系半群 Ｐ （Ｊ？ｒ× ）的基本性质 林屏峰，徐波，张传军 （贵州师范大学数学与计算机科学学院，贵州贵阳５５０００１） 摘要：设集合，，以是任意的非空集合。本文首先引入了一类二元关系半群——集合，到集合以上的二元关系半 群Ｐ。（，ｘＡ）；给出了半群Ｐ。（，ｘＡ）的Ｂｏｏｌｅ矩阵表示；通过Ｂｏｄｅ矩阵表示获得了半群Ｐ。（，ｘＡ）的幂等元；找 到了半群Ｐ。（，×以）的正则元的一种刻画方式；最后列出了关于半群Ｐ。（，×以）的Ｇｒｅｅｎ关系的一些基本性质。 关键词：二元关系；半群；二元关系半群 文献标识码：Ａ 中图分类号：０１５２．７ Ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｐ一（ｊ ｘ Ａ） ０ｆ ａｌｌ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ａ ｓｅｔ Ｉ ｔｏ ａ ｓｅｔ Ａ ＬＩＮ Ｐｉｎｇ—ｆｅｎｇ，ＸＵ Ｂｏ，ＺＨＡＮＧ Ｃｈｕａｎ－ｊｕｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ，Ｇｕｉｔｙａｎｇ，Ｇｕｉｚｈｏｕ ５５０００１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ，．Ａ ｂｅ ｔｗｏ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｎｏｎｅｍｐｔｙ ｓｅｔｓ．Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｏｎｅ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｅｍｉ—ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ，ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｐｅ（，×Ａ）ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｓｅｔ Ｉ ｔｏ ｓｅｔ Ａ ａｎｄ ｇｉｖｅｓ ａ Ｂｏｏｌｅａｎ ｍａｔｒｉｘ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｐｅ（，×Ａ）．Ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｐ８（，×Ａ）ａｙｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｉｔｓ Ｂｏｏｌｅａｎ ｍａｔｒｉｘ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ．Ａ ｗａｙ ｏｆ ｄｅｐｉｃｔｉｎｇ ｒｅｇｕｌａｒ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕ Ｐｅ（，×Ａ）ｉｓ ｆｏｕｎｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ’Ｓ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｐｅ（，ｘ Ａ）ａｒｅ ｌｉｓｔｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ；ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ；ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｇｅｂｒａ ｏｆ Ｉ￣ｇｉｃ）的第３卷中系统地陈述了二元关系 ０ 引言与准备 （二元）关系的研究历史很悠久，一直以来作 为逻辑学研究的主题。对二元关系这一基础概念， 首先是Ｄｅ Ｍｏｒｇａｎ、Ｃ．Ｓ．Ｐｉｅｒｃｅ和Ｆｒｅｇｅ在他们的数 学逻辑专著中引入的。在ｌ９世纪９０年代，Ｅ． 理论。在２０世纪初，法国数学家Ｒｉｕｅｔ将Ｅ．ｇ Ｓｃｈｒｓｄｅｒ的二元关系理论现代化，并且使得对它的 应用变得更方便。２０世纪２０年代，Ａ．Ｎ．Ｗｈｉｔｅ— ｈｅａｄ和Ｂ．Ｒｕｓｓｅｌｌ在他们的著作（Ｐｒｉｎ—ｃｉｐｉａ Ｍａｔｈ－ ｅｍａｔｉｃａ｝中给出了关系与逻辑之间联系的著名表 述。众所周知，关系代数、Ｂｏｏｌｅ矩阵代数和格论有 着非常密切的联系。关系代数中的问题往往可以 Ｓｃｈｒｓｄｅｒ继承了他们的工作，在他的著作（Ｔｈｅ ＡＩ— 收稿日期：２００６—１２—１９ 基金项目：贵州省科学技术基金资助（黔基合计字（２００４）３０４７）。 作者简介：林屏峰（１９８２一），男，贵州石阡人，硕士研究生，研究方向：半群与组合计算。 ７２ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 林屏峰，徐波，张传军：集合，到集合以上的二元关系半群Ｐ。（，ｘＡ）的基本性质 使用图论、Ｂｏｏｌｅ矩阵代数和格论的方法去解决。 当然，格论、Ｂｏｏｌｅ矩阵代数和图论中的问题也可以 使用关系代数的方法去解决。 半群代数理论是２０世纪中叶发展起来的一个 新的代数分支，它在自动机理论、符号动力系统、计 算机科学、组合数学、代数表示论、算子代数、关系 代数和概率论等方面都有广泛的应用。在半群理 论中，对二元关系半群的研究比较早。Ｒ．Ｊ．Ｐｌｅｍ— ｍｏｉｌｓ和Ｍ．Ｔ．Ｗｅｓｔ…等人给出了一个集合 上的 二元关系半群的基本性质。Ｋ．Ｃｈａｓｅ－２ 引入了 的夹心二元关系半群，并且对它作了系统的研究， 获得了这类半群的正则元、极大子群。其它关于二 元关系半群的文献请参见Ｋ．Ｈ．Ｋｉｍ－９ 书中的参考 文献部分。 本文在前人的基础上，引入了一类二元关系半 群。将Ｋ．Ｃｈａｓｅ 定义的夹心二元关系半群作进 一步的推广，我们在集合，到集合Ａ的二元关系 集Ｐ（，×Ａ）上，以类似的方法引入了一类二元关 系半群——集合，到集合 上的二元关系半群 （，ｘＡ），获得了半群 （，×Ａ）的Ｂｏｏｌｅ矩阵表 示。通过Ｂｏｏｌｅ矩阵表示容易得到半群Ｐ。（，×Ａ） 的幂等元；找到了半群 （，ＸＡ）的正则元的一种 刻画方式；最后列出了关于半群Ｐ。（，×Ａ）的 Ｇｒｅｅｎ关系的一些基本性质。 设，，Ａ是两个非空集合，Ｐ（，ＸＡ）是，×Ａ的 全体子集组成的幂集，称Ｐ（，×Ａ）的每一个元素 为，到Ａ的一个二元关系。事实上，可以把Ｐ（，× Ａ）的每一个元素看作是，到Ａ之间的部分多值映 射。如果Ｐ∈Ｐ（，ｘＡ），定义ｐ的定义域ｄｏｍ（ｐ）为 ｄｏｍ（ｐ）＝｛ ∈，：（ Ａ∈Ａ）（ｉ，Ａ）∈Ｐ｝， 和Ｐ的值域ｒａｎ（ｐ）为 ｒａｎ（ｐ）＝｛Ａ∈Ａ：（ ｉ∈，）（ ，Ａ）∈Ｐ｝， 立即可得，Ｖｐ， ∈Ｐ（，×Ａ），若Ｐ ，则 ｄｏｍ（ｐ） ｄｏｒａ（ ），ｒａｎ（ｐ） ｒａｎ（ ）。 如果 ∈，，定义 ／ｐ＝｛Ａ∈Ａ：（ ，Ａ）∈Ｐ｝。 因此，／ｐ≠ 甘 ∈ｄｏｍ（ｐ）。进而＇， ，时，可以 定义 ）ｐ＝’ｌｌ【３ｐ。 ＪＥ Ｊ 如果Ａ∈Ａ，定义 ｐＡ＝｛ｉ∈，：（ｉ，Ａ）∈ｐ｝。 因此， ≠ 甘Ａ∈ｒａｎ（ｐ）。进而 Ａ时，可 以定义 ｐＵ＝ 。 对Ｖｐ∈Ｐ（，ｘ Ａ），定义 ｐ ＝｛（ ，Ａ）∈，×Ａ：（ ，Ａ）隹Ｐ｝， ｐ～＝｛（Ａ，ｉ）∈Ａ×，：（ ，Ａ）∈Ｐ｝∈Ｐ（ａ ｘ ，）。 显然ｐ ＝（，×Ａ）＼ｐ和Ｐ～∈Ｐ（Ａ×，）。 定义０．１ 设Ｐ∈Ｐ（，×Ａ）分别称集合 ｖ（ｐ）＝｛ ： ，｝， （ｐ）＝｛ｐＵ：Ｕ Ａ｝ 分别是二元关系Ｐ的行空间和列空间。 设 ，， Ａ分别称集合 Ｖ（ｐ， ）＝｛ ： ｝， （ｐ，Ｖ）＝｛ｐＶ：Ｖ Ｕ｝ 是二元关系ｐ的由子集 确定的行子空间和由 子集 确定的列子空间。 设，，Ａ， 是三个非空集合，对ｐ∈Ｐ（１× ）， ∈Ｐ（ｘ ｘ Ａ），定义 ｐｏｏｒ：｛（ ，Ａ）∈，×Ａ： （ ∈ ）（ ， ）∈Ｐ，（ ，Ａ）∈ ， 称ｐｏｏｒ是二元关系Ｐ和 的合成运算。容易证 明（ｐｏｏｒ）一＝Ｐ ００＂～。 对Ｖｐ， ∈Ｐ（Ａ ｘ Ａ）定义运算 ｐｏｏｒ＝｛（Ａ， ）∈Ａ×Ａ： （了 ∈Ａ）（Ａ， ），（ ，Ｉｘ）∈Ｐ｝。 （１） 则容易证明Ｐ（Ａ×Ａ）在（１）式定义的合成运 算下构成一个半群，称为集合Ａ上的二元关系半 群。 在文献［１］，［９］中给出了半群Ｐ（Ａ×Ａ）的 Ｇｒｅｅｎ关系。 定理０．１ 设Ｐ， ∈Ｐ（Ａ×Ａ），则 （１）ｐＬｏ－当且仅当ｖ（ｐ）＝ （ ）； （２）ｐ 当且仅当Ｖ（ｐ）＝ （ ）； （３）ｐ 当且仅当Ｖ（ｐ）与Ｖ（ ）格同构。 设Ｂ＝｛０，１｝，定义 ０ Ｖ ０＝０＾１：１＾０＝０＾０＝０。 １ Ａ １＝１ Ｖ ０：０ Ｖ １＝１ Ｖ １＝１． ０ ＝１，１ ＝０，， 则称集合（Ｂ，Ｖ，＾，Ｃ）是二元Ｂｏｏｌｅ代数。 定义０．２ 设，，Ａ是两个非空集合，称集合 Ｂ， ＾＝｛Ａ＝（。认）， ＾：Ｖ ∈，，Ａ∈Ａ，口ｎ∈毋｝中 的每一个元素Ｂ是上的一个，ＸＡ阶Ｂｏｏｌｅ矩阵。当 ，＝Ａ时，就记旦Ⅲ为 。当ｌ，ｌ＝１时，Ｂ 的每 个元素称为Ｂ上的一个 阶Ｂｏｏｌｅ行向量，称Ｂ 是国上的一个Ａ阶Ｂｏｏｌｅ行向量空间；当ｌ Ａ ｌ＝１ 时，ＢＭ的每个元素称为Ｂ上的一个，阶Ｂｏｏｌｅ列向 ７３ 维普资讯 http://www.cqvip.com 贵州师范大学学报（自然科学版） 第２５卷 量，称旦Ｍ是旦上的一个，阶Ｂｏｏｌｅ列向量空间。 设Ａ＝（口。 ）∈旦Ｍ，称ａ认为 的（ｉ，Ａ）项，也 用Ａｎ来表示；Ａ的第ｉ（ｉ∈，）行，第Ａ（Ａ∈Ａ）列 分别用Ａ 。，Ａ． ，表示。显然Ａ 。，Ａ． ，分别是当上 的一个Ａ阶Ｂｏｏｌｅ行向量和一个，阶Ｂｏｏｌｅ列向量。 若对Ｖｉ∈，，Ａ∈Ａ，都有口认＝０，则记Ａ＝Ｏｏ设Ａ ＝（口 ），Ｂ＝（ｂ ）∈ＢＭ，称Ｂ是Ａ的覆盖，记为 Ａ ｓ Ｂ，若Ｖｉ∈，，Ａ∈Ａ有 口ｎ＝１＝ ６ｎ＝１。 下面在集合ＢＭ上定义二元运算和一元运算， Ａ Ｖ Ｂ＝（口认Ｖ ｂｎ）， Ａ＾Ｂ＝（口认＾ｂ认）， Ａ ＝（口 ）。 下面给出一个对抽象半群．ｓ的Ｇｒｅｅｎ关系研 究有用的一个定义。 定义０．３ 设．ｓ是半群，口，ｂ∈．ｓ，若存在ｃ∈ ．ｓ，使得口＝ｃｂ，则称ｂ可以从右边整除口，记为口 Ｉ，ｂ；若存在ｃ∈．Ｓ，使得口＝ｂｃ，则称ｂ可以从左边 整除口，记为口Ｉ ｂ； 本文未定义的符号及术语请参见文献［９， ｌＯ］。 １ 集合，到集合以上的二元关系半 群Ｐ （Ｉ×Ａ）的定义及其Ｂｏｏｌｅ矩阵表 不 取定０∈Ｐ（Ａ Ｘ，），并且０≠ 。则可以在Ｐ（， ×Ａ）上定义一个由 诱导的运算：Ｖｐ， ∈Ｐ（，× Ａ）有 ｐ‘ ｐｏＯｏｏ＂＝ ｛（ ，Ａ） （ （ ， ）∈０）（ ， ）∈Ｐ，（ ，Ａ）∈ ｝。 （２） 显然这个运算是由关系的合成定义的，因此定 义是合理的，并且有Ｐ・ ∈Ｐ（，Ｘ Ａ）。 容易看出Ｐ（Ｊ Ｘ Ａ）关于（２）式定义的运算有 下列性质。 命题１．１ Ｖｐ， ， ∈Ｐ（，Ｘ Ａ）有， ｐ ｊ丁・ｐ 丁・ｐ，ｐ・丁 ・丁。 命题１．２ Ｐ（，ＸＡ）关于（２）式定义的运算构 成半群。 称命题１．２中的半群Ｐ（，Ｘ Ａ）为由二元关系 ０诱导的从集合，到集合以上的二元关系半群，简 称为关系半群，记为Ｐ。（，Ｘ Ａ）。 当，＝Ａ时， （，×Ａ）就是Ｐ（Ａ Ｘ Ａ）关于０ 生成的主理想。对ＶＡ∈Ａ，当Ｉ ＡＯＩ＝１时，夹心半 ７４ 群 （，，Ａ，０）＝｛Ｐ∈Ｐ（，Ｘ Ａ）：Ｖｉ∈，，Ｉ Ｉ＝ １ ｌ是Ｐ。（，×Ａ）的一个子半群。 设Ｐ＝（Ｐ认∈ ，），则可以在旦Ｍ上定义由 Ｐ诱导的一个二元运算：ｖａ＝（口 ），Ｂ＝（ｂ ）∈ 旦Ｍ有 Ａ・Ｂ＝ＡＰＢ＝（ｃ认）， （３） 其中Ｖ ｉ∈，，Ａ∈Ａ， ｃｎ Ｖ 川＾（口缸＾％＾ ）。 显然定义是合理的，并且Ａ・Ｂ∈旦Ｍ。容易得 到毋Ｍ关于（３）式定义的运算有下列性质。 命题１．３ 对ｖａ＝（口“），Ｂ＝（ｂ认），Ｃ＝ （ｃ认）∈旦Ｍ有 Ａ Ｓ Ｃ・Ａ Ｓ Ｃ・Ｂ。Ａ・Ｃ Ｓ Ｂ・Ｃ。 证明 如果Ａ・Ｃ＝０，显然有Ａ・Ｃ ｓ曰・Ｃ； 如果Ａ・Ｃ≠０，则有 Ｖ （口缸＾ ）＝ｌ ， ＾＾ （ｊ％＝１）口讪＝ ＝１。因为Ａ ｓ Ｂ当且仅当（Ｖ矗 ∈，， ∈Ａ）口ｂ＝１时ｂｂ＝１，因此 ｐ ＝１，使 ６缸 ｌ Ｖ ， ，＾（６讧＾％＾ ）＝ｌ。 故Ａ・Ｃ ｓ Ｂ・Ｃ。同理可证Ｃ・Ａ ｓ Ｃ・曰。 下面我们作映射 ：Ｐ（，Ｘ Ａ）—｝旦， ＾； ｐ ＝Ａ＝（口认）， 其中 口“ ｉ一ｆ１，０，（ （ｉ，Ａ）∈ｎ， ，Ａ）圣ｐｒ ． 显然这个映射的定义是合理的，并且容易证明 具 有下面的一些性质。 注意 在下文出现的∞，都假设 ＝Ｐ＝（Ｐ＾。）∈ ，。 命题１．４ Ｖｐ， ∈Ｐ（，Ｘ Ａ），有 （１）Ｐ ＝三三 ； （２）（ｐｇｏ＂） ＝ｐ Ｖ ， （ｐｌｏ＂） ＝ｐ ＾ 。 证明 设ｐ ＝（口“）， ＝（ｂ认），（ｐｇｏ＂） ＝ （ｃ认），ｐ Ｖ ＝（ｄｎ），（ｐＩｏ＂） ＝ｅ认，ｐ ＾ ＝ （ ）。则ｐ 当且仅当（ ，Ａ）∈ｐ （ｉ，Ａ）∈ ， 即当且仅当口认＝１ ６认＝ｌ，亦即当且仅当ｐ ｓ 。因此（１）得证。 下面证明（２）。若Ｃ ＝１，则（ ，Ａ）Ｅ ｐｇｏ＂，即 （ｉ，Ａ）∈Ｐ或（ｉ，Ａ）∈ ，进而口认＝１或ｂ认＝１， 即ｄ认＝口认Ｖ ｂ认＝１。上述过程反过来也成立，因 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 林屏峰，徐波，张传军：集合，到集合以上的二元关系半群 （，ｘＡ）的基本性质 此（ｐＹｃｒ） ＝ｐ Ｖ 。 （令ｐ ＝（口 ））Ｖ ｉ∈，，Ａ∈Ａ，口ｎ＝１当且仅当 ，Ｅ，．＾同理可证（ｐｈｒ） ＝ｐ ＾ 。 容易证明下列定理。 Ｖ （口 ＾％＾ ）＝１ 认＝１当且仅当存在 Ｊ∈，， ∈Ａ使得 ＝口 ＝ ，＝１铮Ｖ ｉ∈，，Ａ∈ 定理１．１ 映射 是半群Ｐ（，ＸＡ）到启，Ｘ＾的 同构。 证明 先证 是满射。ＶＡ＝（口 ）∈启，Ｘ＾，则 有ｐ＝｛（ ，Ａ）∈，×Ａ： 认＝１｝∈尸（，× ），并 （ｉ，Ａ）∈ｐ当且仅当存在 ∈，， ∈Ａ使得（ √） ∈０，（ ， ），（＿，，Ａ）∈ｐ Ｖ ∈，，Ａ∈Ａ，（ ，Ａ）∈ ｐ，当且仅当（／ｐ ＸｐＡ）１０≠ 。 由于在半群马 （Ｐ）上 是它的一个偏序。 且ｐ ＝Ａ。再证 是单射ｏｐ， ∈Ｐ（，Ｘ Ａ），若ｐ ＝ ，则有ｐ 并且 ｐ 。由命题１．４有， Ｐ 并且 ｐ。因此ｐ＝ 。 最后证明 保持运算。Ｖｐ， ∈尸（，× ），设 （ｐ・ ） ＝（ｃ认），ｐ ＝（口认）， ＝（ｂ认），ｐ ‘ ＝（ｄ ）。 ｃｎ＝１甘（ｉ，Ａ）∈ｐ・ 甘存在（Ｉｚ，ｊ）∈ 使（ ， ）∈ｐ，（＿『，Ａ）∈ §存在 ＝１使口ｎ＝ｂ ＝ｌ甘 Ｖ（口 ＾ ＾ ）＝ 认 １。 ，州因此，（ｐ・ ） ＝ｐ ‘ 。 推论１．１启Ｍ在（３）式定义的运算下作成 一个半群。 证明 由定理１．１的同构性质可证。 我们称推论１．１中的半群为Ｐ诱导的，ＸＡ阶 Ｂｏｏｌｅ矩阵夹心半群，记为旦 （尸）。 ２ 集合，到集合 上的二元关系半 群Ｐ （，Ｘ Ａ）的幂等元和正则元 先考虑启Ｍ（Ｐ）的特殊元，然后根据定理１．１ 可以得到Ｐ （，Ｘ Ａ）的特殊元的形式。首先讨论 Ｐ （，Ｘ Ａ）的幂等元。 注意 本章始终把半群Ｐ （，Ｘ Ａ）的幂等元 集记为Ｅ（ ） 命题２．１ Ａ＝（口 ∈Ｅ（启，ｘ＾（Ｐ））当且仅当 Ａ满足：Ｖ ｉ∈，，Ａ∈Ａ， 口认 Ｖ ＾（口 ＾％＾ ）＝１。 证明 显然由简单的计算可证。 进一步，根据定理１．１容易得到下面的定理。 定理２．１ ｐ∈Ｅ（ ）当且仅当ｐ满足： （１）ｐ＝ ；或者 （２）Ｖ（ｉ，Ａ）∈Ｉ Ｘ Ａ有 （ｉ，Ａ）∈ｐ （／ｐ Ｘ ｐＡ）， ≠ 。 证明 如果ｐ＝ ，显然上述充要条件成立。 假设ｐ≠ ，则有 ｐ∈ （０）乍 ：ｐ２ ＝（ｐ ）２ ＶＡ＝（口认），Ｂ＝（６ ）Ｅ启， ＾（Ｐ）如果Ａ・ ・Ａ Ａ，则称 是 的一个次逆。显然对于Ｖ ＝ （口 ）∈启Ｍ（Ｐ），０是它的一个次逆，并且它的次 逆族还有下列性质。 命题２．２ 设Ａ＝（口认）∈启，Ｘ＾（Ｐ）， ｛Ｂ ＝（６ ） ∈Ｘ｝ 是Ａ的一个非空次逆族。则Ｂ＝Ｖ．，Ｂ 也是Ａ的 一个次逆。 证明 设Ｂ＝（ｂｎ），Ａ・ ・Ａ＝（ｃｎ），Ｖ ∈ ，Ａ・ ・Ａ＝（ｃ ）。贝０ Ｖ ｉ∈，，Ａ∈Ａ有ｂ ＝１ 当且仅当存在 ∈Ｘ使６ ＝１。从而有 ｃ认 １ 似Ｖ （口 ＾ ＾ ＾ｐ 人口从）＝ ． ｅ 存在＿，， ∈，， ， ∈Ａ使，％＝Ｐ址＝口 ＝ ：口“ ＝１ 存在Ｊ， ∈，， ， ∈Ａ，存在 ∈Ｘ使， ＝ ｐ ＝口 ＝口“ １ ，． Ｖ （口 ＾％＾６；＾ ．口Ｅ＾ Ｐ 人口“）＝１ ｃ ＝１ （由于Ａ・ ・Ａ≤ Ａ） 口ｎ＝１。因此Ａ・ ・Ａ Ａ。 根据命题２．２可直接得到如下推论。 推论２．１ 设Ａ＝（Ａ“）∈日Ｍ（Ｐ），ｓｔ（ａ）＝ ｛Ｂ∈＂￣ｌｘＡ（Ｐ）：Ａ・ ・Ａ ａｌ，令 Ｖ（＾）Ｂｏ则 是Ａ的唯一的最大次逆。 并且容易得到 是 的一个次逆当且仅当 Ｂ≤ 。下面通过计算的方法可以找到Ａ的次逆的 一般形式，同时也可以得到它的最大次逆。 命题２．３ 设Ａ＝（口认）∈启，Ｘ＾（Ｐ），则Ｂ＝ （ｂ ）∈启，Ｘ＾（Ｐ）是Ａ的一个次逆，当且仅当Ｖｉ， ， ∈，，Ａ， ， ∈Ａ满足，当口认＝０，％＾Ｐ 人口 ＾ ＝１时，６缸＝０。 特另４地，Ｖｉ√， ∈，，Ａ， ， ∈Ａ，若口认＝０，ｐ ＾Ｐ以人口 ＾ ＝１当且仅当ｂ舢＝０成立，则Ｂ ＝ 证明 设Ａ・ ・Ａ＝（ｃ ），由我们次逆的定 义及相关的运算有， 是 的次逆 ・Ｂ・Ａ ７５ 维普资讯 http://www.cqvip.com 贵州师范大学学报（自然科学版） 第２５卷 Ａ Ｖ ∈ ，，Ａ∈Ａ当口“＝０时ｃｎ＝０（其中ｃｎ ＝ＶＪ．．。，（ｎ Ａ Ｐ ＾６ ＾Ｐ ＾ ＾））§Ｖ ， ， ∈，， Ｅ，， ， ∈＾ Ａ，／．Ｌ，口∈Ａ，当口认＝０，％＾Ｐ ＾口 ＾ ＝１时， ｂ ＝０。 将具有上述形式的Ａ的所有次逆作Ｖ运算， 得到 Ｎ￣Ｌ４￣的形式为，Ｖ ， ， ∈，，Ａ， ， ∈Ａ， ＝（ｂ ）满足口ｎ＝０，％八ｐ 八口缸八 ＝ｌ§６缸 ＝０成立。 对应地可以定义Ｐ∈Ｐ。（Ｊ ＸＡ）在Ｐ （ｊ ＸＡ） 上的次逆。如果 ∈Ｐ （，×Ａ），并且ｐ・ ・Ｐ Ｐ， 则称 是Ｐ的一个次逆。显然 是Ｖｐ∈Ｐ （ｊ ＸＡ） 的一个次逆，并且对Ｐ的任意非空次逆族｛ ： ∈ ｝在集合的ｙ运算下，ｙ． 是Ｐ的次逆。因此，Ｐ的 唯一最大次逆存在，记为 。并且有， 是ｐ的一个次 逆当且仅当 ｐ ｏ 对应于命题２．３，利用的定理１．１，容易得到下 列性质。 命题２．４ 设Ｐ， ∈Ｐ。（Ｊ×Ａ），则有 是Ｐ的 次逆当且仅当 是ｐ 的次逆； 是ｐ的最大次逆当且仅当 是ｐ 的最大次 逆。 命题２．５ 设Ｐ∈Ｐ （，×Ａ），则有 ∈Ｐ。（，×Ａ）是ｐ的一个次逆当且仅当 满 足下列条件：Ｖ ， Ｅ，，Ａ， ∈Ａ，有 （ ，Ａ）隹Ｐ，并且Ｏｋｌ￣ｏ≠ ， Ａ≠ （ ，／．Ｌ）∈ 。 特另４地，Ｖｉ， ∈，，Ａ，ｐ∈Ａ，有（ｉ，Ａ） Ｐ，（ ， ） ｏ＇＊，Ｏｋｌｉ０≠ ， Ａ≠ ，贝０ ＝ｐ ｏ 证明 设Ｐ∈Ｐ口（，Ｘ Ａ）。 ∈Ｐ。（，×Ａ）是 Ｐ的一个次逆当且仅当 是ｐ 的一个次逆。令ｐ ＝（口 ）， ＝（ｂ“），进而等价于 Ｖ ， Ｅ，，Ａ， ， ∈Ａ当口认＝０， ％＾Ｐ ＾口 ＾ ＝１时，ｂ缸＝Ｏｏ即等价于 Ｖ ，－『，后∈，，Ａ， ， Ｅ Ａ，当（ ，Ａ） Ｐ，并且（ ）， （ ， ）∈０，（ｉ， ），（ ，Ａ）∈Ｐ时，（ ， ）∈ 。亦即 等价于Ｖ ， ∈，，Ａ， ∈Ａ，有（ ，Ａ） Ｐ，并且 Ｏｋｌ￣ｏ≠ ， Ａ≠ （ ， ）∈ 。 是ｐ的最大次逆当且仅当 是ｐ 的最大次 逆。令 ＝（ｃ ），则等价于Ｖ ， ， ∈，，Ａ， ， ∈ ，若口ｎ＝０，Ｐ ＾Ｐ ＾ ＾ ＝１当且仅当ｂ缸 ＝０。即等价于，Ｖ ， ∈，，Ａ， ， ∈Ａ，（ ），（ ， ７６ ）∈Ｏｆｉ（ ， ），（ ，Ａ）∈Ｐ当且仅当（ ， ）∈ 进 而等价于Ｖ ， ∈，，Ａ， ∈Ａ，有（ｉ，Ａ） Ｐ，（．Ｉｃ， ） ｐ§ ， ≠ ， ，ｐＡ≠ 。 现在可以得到半群Ｐ。（，×Ａ）的正则元。 定理２．２ Ｐ是半群Ｐ。（，×Ａ）的正则元当且 仅当Ｐ＝Ｐ・ ・Ｐ；Ａ是半群店，×＾（Ｐ）的正则元当且 仅当Ａ＝Ａ・ ・Ａ。 证明Ｐ∈ＲｅＧ（Ｐ口（，×Ａ）） 存在 ∈Ｐ口（， ×Ａ）使Ｐ＝Ｐ・ ・Ｐ，则 并且ｐ Ｐ・ ・Ｐ Ｐ・ ・ｐ ＝Ｐ・ ・ｐ；反之显然。定理余下部分 可类似证明。 ３ 集合，到集合以上的二元关系半群 Ｐ （Ｊ『Ｘ Ａ）的Ｇｒｅｅｎ关系的一些性质 下面先来看看半群Ｐ （，×Ａ）的Ｇｒｅｅｎ 一， 一关系的一些性质。 引理３．１ 设Ｐ， ∈Ｐ。（，Ｘ Ａ），则有 （１） Ｉ，ｐ￣ｖ（ｐ） （ ，ｒａｎ（０））； （２） Ｉ ｆｐ￣ｇ／（ｐ） （ ，ｄｏｍ（０））。 证明 （１）由于 Ｉ Ｐ，则存在 ∈Ｐ。（，ＸＡ） 使得Ｐ＝ ・ 。进而ＶＪ ，有 ＝［（ ）０］ 。 显然有（ ）０ ｒａｉｌ（０），因此 ∈Ｖ（ ， ｒａｎ（０）），即 Ｉ ｊ （ｐ） （ｏｒ，ｒａｎ（０））。 （２）同（１）可证。 上述引理中的（１），（２）的逆命题未必成立。对 于（１）而言，可以构造一个比较好的二元关系 ＝ Ｙ．，．｛ｉ｝Ｘ ０ｊ，并且很容易证明Ｐ ・ 。但是未 必有 ・ ｐｏ因为总存在这样的Ｐ， ，可以找到 （ｉ，Ａ）∈ ・ ，令 Ｊ＝｛ ∈ｒａｎ（０）： ｝，并且Ｊ×（Ａ）ｈｒ＝ ，然而 （Ａ＼＿，）Ｘ｛Ａ｝，ｃｒ≠ 。 从而一定有（ ，Ａ） ｐｏ对于（２）也是这样。虽 然如此，在ｊ＝Ａ， 为集合Ａ上的恒等关系时，引理 １．３．１中（１），（２）都是可逆的，因此有如下推论。 推论３．１ 设Ｐ， ∈Ｐ （，Ｘ Ａ），则 （１）ｐ Ｖ（ｐ）＝ｖ（ｐ，ｒａｎ（０））＝ （ ，ｒａｎ（０））＝ （ ）； （２）ｐ Ｗ（ｐ）＝ （ｐ，ｄｏｒａ（０））＝ （ ，ｄｏｒａ（０））＝ （ ）． 推论３．２ 设，＝Ａ，０为集合以上的恒等关 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 林屏峰，徐波，张传军：集合，到集合Ａ上的二元关系半群Ｐ。（，ｘＡ）的基本性质 系，Ｐ， Ｅ Ｐ。（，×Ａ），则 （１）ｐ 甘 Ｖ（ｐ）＝ｖ（ｐ，ｒａｎ（０））＝Ｖ（ ，ｒａｎ（０））： （ ）； （２）ｐｃ衍甘 Ｗ（ｐ）＝Ｗ（ｐ，ｄｏｒａ（ ））＝ （ ，ｄｏｒａ（ ））＝ （ ）． 推论３．２就是定理０．１（１），（２）。接下来我们 看看半群Ｐ。（，×Ａ）的Ｇｒｅｅｎ关系与其它一些二元 关系半群的Ｇｒｅｅｎ关系的联系。 命题３．１ 半群Ｐ （，×Ａ）反同构于半群 １（Ａ×，）。 证明 首先建立映射 ：Ｐ口（，×Ａ）一 ．－（Ａ×，）； ＰＣ＝Ｐ （Ｐ Ｅ Ｐ口（，×Ａ））。 显然 是一个双射。 又Ｖｐ， Ｅ Ｐ口（，×Ａ）有 （Ｐ‘ ） ＝（ｐ・ｏｒ） ＝ ００ Ｏｐ～＝ ‘ＰＣ。 因此 是反同构。 推论３．３ 设Ｐ， Ｅ Ｐ。（，×Ａ），则 （１）在半群 （，ｘ Ａ）中，ｐ￣ｔｒ当且仅当在半 群 一－（Ａ×，）中，ｐ－１￣－６＇ｔｒ～； （２）在半群 （，×Ａ）中，ｐ￣－ｈ＇ｔｒ当且仅当在半 群在半群Ｐ （Ａ×，）中， ～； （３）在半群 （，×Ａ）中，ｐ 当且仅当在半 群 一－（Ａ×，）中， ～； （４）在半群 （，×Ａ）中，ｐ，￣ｏ－当且仅当在半 群 一－（Ａ×，）中，ｏ－ ～； （５）在半群 （，×Ａ）中，ｐｇｏ＂当且仅当在半 群Ｐ。一－（Ａ×，）中，ｏｒ－１ ｐ＿。。 证明 直接由Ｇｒｅｅｎ关系的定义及命题１．３． １可证。 下面利用０构造了三个半群。设集合 （，× Ａ）＝｛Ｏｏｐ：ｐ Ｅ Ｐｐ（，×Ａ）｝，在集合 （，×Ａ）上 定义二元运算为关系的合成运算，即Ｖｐ， Ｅ Ｐ （， ×Ａ）， （Ｏｏｐ）ｏ（ ）＝０ｏ（ｐｏ０ｏｏ＂）＝Ｏｏ（ｐ・ｏ－）。 显然ＯＰ （ＩｘＡ）关于这个运算构成一个半群，并且 可以验证 （，×Ａ）是半群Ｐ（，×，）的子半群。同 理也有集合 （，ｘ Ａ）０＝｛ｐｏＯ：ｐ∈Ｐ口（，×Ａ）｝ 在二元关系的合成运算下构成一个半群，且是半群 Ｐ（Ａ×Ａ）的子半群。设集合 ｐ（，×Ａ）０＝｛ＯｏｐＯ：ｐ Ｅ Ｐ口（，×Ａ）｝，在集合 （，×Ａ）０上定义一个二元运算Ｖｐ， Ｅ Ｐ （，× Ａ）， （ＯｏｐｏＯ） （ＯｏｔｒｏＯ） ＝Ｏｏ（ｐｏＯｏｔｒ）ｏ０：Ｏｏ（ｐ・ｏ９ｏ０。 显然（ＯｏｐｏＯ） （ＯｏｔｒｏＯ）Ｅ ＯＰ口（，×Ａ） ，并且容易 证明集合 （，×Ａ）０关于这个运算满足结合律。 因此集合 （，×Ａ）０关于这个运算构成一个 半群。 显然有下列性质。 命题３．２ 设Ｐ， Ｅ Ｐ。（，×Ａ），则有 （１）在半群 （，×Ａ）中，ｐ 在半群 （， ×Ａ）中，（Ｏｏｐ） （Ｏｏｔｒ）； （２）在半群 （，ｘＡ）中，ｐｄｑｏ＇￣在半群 （， ×Ａ）０中，（Ｏｏｐ） （Ｏｏｔｒ）； （３）在半群 （，ｘＡ）中，ｐ 在半群 （， ×Ａ）０中，（ＯｏｐｏＯ）Ｊ（ＯｏｔｒｏＯ）； 致谢：本文在撰写过程中得到了游泰杰教授的 悉心指导和帮助。 参考文献： ［１］Ｒ．Ｊ．Ｐｌｅｍｍｏｎｓ ａｎｄ Ｍ．Ｔ．Ｗｅｓｔ．Ｏｎ ｔｈｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ ｏｆ ｂｉ－ ｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐａｃｉｉｆｃ Ｊ．Ｍａｔｈ．，１９７０，３５：７４３－ ７５３． ［２］Ｋ．Ｃｈａｓｅ．Ｎｅｗ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｉｔｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｅｍｉｇ－ ｍｕｐ Ｆｏｒｕｍ，１９７９，１８：７９－８２． ［３］Ｋ．Ｃｈａｓｅ．Ｓａｎｄｗｉｓｈ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａ－Ｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｍａｔｈ．，１９７９，２８：２３１－２３６． ［４］Ｋ．Ｃｈａｓｅ．ＭａｘｉｍＭ ｇｒｏｕｐｓ ｉｎ ｓａｎｄｗｉｓｈ ｓｅｍｉ－ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｂｉ－ ｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐａｃｉｆｉｃ Ｊ．Ｍａｔｈ．，１９８２ １００：４３－５９． ［５］Ｊ．Ｋｏｎｉｅｃｚｎｙ．Ｔｈｅ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｅｒｇｕ—ｌａｒ Ｂｏｏｌｅ— ａｎ ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｓｏｕｔｈ．Ａｓｉｎａ Ｂｕｌ１．ｏｆＭａｔｈ．，２００２，２５： ６２７．６４１． ［６］Ｓ．Ｓｃｈｗａｒｚ．Ｏｎ ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｏｎ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ［Ｊ］．Ｃｚｅｃｈ．Ｊ．Ｍａｔｈ．，１９７０，２０：６９６－７０２． ［７］Ｊ．Ｋｏｎｉｅｃｚｎｙ．Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓ ｉｎ ｆｉｎｉｔｅ Ｓｅｍｉ．ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｆｏｒｕｍ，１９９４，４８： ２３５－２５２． ［８］Ｒ．Ｊ．Ｐｌｅｍｍｏｎｓ ａｎｄ Ｂ．Ｍ．Ｓｃｈｅｉｎ．Ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａ－ ｉｔｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｆｏｒｕｍ，１９７０，１：２６７－２７１． ［９］Ｋｉ Ｈａｎｇ Ｋｉｍ．Ｂｏｏｌｅｎａ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ａｐｐ－Ｌｉｃａｆｉｏｎｓ ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｍａｒｃｅｌ Ｄｅｋｋｅｒ，１９８２． ［１０］Ｊ．Ｍ．Ｈｏｗｉｅ．Ｆｕｎｄａｍｅｎｔｌａｓ ｏｆ Ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｔｈｅｏｙｒ［Ｍ］． Ｌａｎｄｏｎ：Ｃｌａｒｅｎｄｏｎ Ｐｒｅｓｓ・Ｏｘｆｏｒｄ，１９７６． ７７
