2020-2021初中数学二次函数难题汇编及答案

一、选择题

1．如图是二次函数yax2bxc的图象，其对称轴为x1.下列结论：①abc0；②2ab0；③9a3bc0；④若310,y1,,y2是抛物线上两点，则23y1y2.其中正确的结论有（ ）

A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

由抛物线开口方向得到a＜0，根据对称轴得到b=-2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；由b=-2a可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断． 【详解】

解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，

b1 ，∴b=-2a＞0， 2a∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∵抛物线的对称轴为直线x∴c＞0，

∴abc＜0，所以①错误； ∵b=-2a，

∴2a+b=0，所以②正确；

∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=3时，y=0，

∴9a3bc0，所以③错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下， ∴当x1时，y随x的增大而增大 ∵1031 323,y1 到对称轴的距离比点2∴y1y2，所以④正确．

点故选B． 【点睛】

10,y2 对称轴的距离近， 3本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )

A．﹣4＜P＜0 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0

解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0． ∵对称轴在y轴的左边，∴b＜0．∴b＞0． 2a∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0． ∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2． 把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4， ∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2．

∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0． 故选A． 【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．

3．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）

A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2 C．3 D．4

根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解． 【详解】

∵函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴 ∴a>0,c<0

∵抛物线的对称轴为直线x=－∴b<0

∴abc＞0；①正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y<0，

即a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m）， 4acb2 =m， ∴

4ab=1 2a∴b2=4ac-4am=4a（c-m），所以③正确； ∵抛物线与直线y=m有一个公共点， ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，

∴一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C． 【点睛】

考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的

关系是关键．

4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc＜0；②a＋b＋c＞0；③2a＋b＝0；④4ac＞b2．其中错误的是( )

A．②④ 【答案】C 【解析】 【分析】

B．①③④ C．①②④ D．②③④

利用抛物线开口方向得到a0，利用对称轴在y轴的右侧得到b0，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c0，则可对A进行判断；利用当x1时，y0可对B进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断． 【详解】

解：Q抛物线开口向上，

b1，则可对C进行判断；2aa0，

Q对称轴在y轴的右侧，

a和b异号，

b0，

Q抛物线与y轴的交点在x轴下方，

c0，

bc0，所以①错误；

Q当x1时，y0，

abc0，所以②错误； Q抛物线经过点(1,0)和点(3,0)，

抛物线的对称轴为直线x1，

即b1， 2a2ab0，所以③正确； Q抛物线与x轴有2个交点，

△b24ac0，

即4acb2，所以④错误． 综上所述：③正确；①②④错误．

故选：C． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数yaxbxc(a0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c决定抛物线与y轴交点(0,c)．抛物线与x轴交点个数由△决定．

2

5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（ ）

A．﹣1＜x＜1 【答案】D 【解析】 【分析】

B．﹣3＜x＜﹣1 C．x＜1 D．﹣3＜x＜1

根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案. 【详解】

解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 所以答案为：D． 【点睛】

此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.

6．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D 【解析】

试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断． 解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF =4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t =﹣t2+4t =﹣（t﹣4）2+8；

当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2． 故选D．

考点：动点问题的函数图象．

7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：

①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是( )

A．①② 【答案】D

B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤

【解析】 【分析】

根据抛物线的开口方向可得出a的符号，再由抛物线与y轴的交点可得出c的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x1、 x1、x3时的情况进一步综合判断即可． 【详解】

由图象可知，a＜0，c=1，

对称轴：x= ∴b=2a，

b1， 2a①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确； ②由图可知：当x=−1时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确； ③abc=2a2＞0，正确；

④由图可知：当x=−3时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确； ⑤c−a=1−a＞1，正确； ∴①②③④⑤正确． 故选：D． 【点睛】

本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．

8．如图是函数yx22x3(0x4)的图象，直线l//x轴且过点(0,m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）

A．m1 【答案】C 【解析】 【分析】

B．m0 C．0m1 D．m1或m0

找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知. 【详解】

解：如图1所示，当t等于0时， ∵y(x1)4， ∴顶点坐标为(1,4)， 当x0时，y3，

2∴A(0,3)， 当x4时，y5， ∴C(4,5)， ∴当m0时，

D(4,5)，

∴此时最大值为0，最小值为5； 如图2所示，当m1时， 此时最小值为4，最大值为1． 综上所述：0m1， 故选：C．

【点睛】

此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．

9．如图，ABC为等边三角形，点P从A出发，沿ABCA作匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选项C与D；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合

题意，选项A不合题意． 【详解】

根据题意得，点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项C与选项D不合题意；

点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值， ∴选项B符合题意，选项A不合题意． 故选B． 【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．

10．如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm．若点P从点A出发，以

1cm/s的速度沿ADC方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿ABC方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动．若设运动

时间为t(s)，VAPQ的面积为Scm2，则Scm与t(s)之间的函数图象大致是（ ）

2

A． B．

C． D．

【答案】A 【解析】 【分析】

先根据条件求出AB、AD的长，当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，分析图像可排除选项B、C；当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，分析图像即可排除选项D，从而得结论． 【详解】

解：由题意得2AB2BC28，ABBC2， 可解得AB8，BC6，即AD6，

①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，

S△APQ=

11APgAQtg2tt2， 22图像是开口向上的抛物线，故选项B、C不正确； ②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，

S△APQ=

11APgABt84t， 22图像是一条线段，故选项D不正确； 故选：A． 【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．

11x上，22若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）

11．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y

A．a≤﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】

B．a＜

9 8C．1≤a＜

99或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 88分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．

【详解】

∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，

11x＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0 22∴△＝9﹣8a＞0

∴令∴a＜

9 8①当a＜0时，解得：a≤﹣2 ∴a≤﹣2 ②当a＞0时，解得：a≥1 ∴1≤a＜

a110

a111a110

a1119 或a≤﹣2 8综上所述：1≤a＜故选：C． 【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

12．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－

121x刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，下列结论错误的是( ) 22

A．斜坡的坡度为1: 2

B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．小球落地点距O点水平距离为7米

D．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m 【答案】D 【解析】

【分析】

求出抛物线与直线的交点，判断A、C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y7.5时，x的值，判定D． 【详解】

12yx4x2解：，

1yx2x7x102解得，，7，

y10y227∶7=1∶2，∴A正确； 2小球落地点距O点水平距离为7米，C正确；

1y4xx2

21(x4)28， 2则抛物线的对称轴为x4，

当x4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正

确，

12当y7.5时，7.54xx，

2整理得x28x150， 解得，x13，x25，

当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，D错误，符合题

意； 故选：D 【点睛】

本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．

13．若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 【答案】C 【解析】 【分析】

分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．

B．y3＜y1＜y2

C．y2＜y1＜y3

D．y1＜y3＜y2

【详解】

解：y1=（-4）2+4×（-4）m=16-16m =m， y2=（-3）2+4×（-3）m =9-12m =3m， y3=12+4×m 1=1+4m =5m， ∵-3m＜m＜5m， ∴y2＜y1＜y3． 故选：C. 【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m的影响．

14．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）

A．t＞﹣5 【答案】D 【解析】 【分析】

B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4

先根据对称轴x=2求得m的值，然后求得x=1和x=5时y的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4． 【详解】

∵抛物线的对称轴为x＝2， ∴m2，m=4 2如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标

当x=1时，y=3， 当x=5时，y=﹣5，

由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解， 则直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4， ∴﹣5＜t≤4． 故选：D． 【点睛】

本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x轴(或某直线)有交点．

15．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C 【解析】

试题解析：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣

b＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误． 2aB、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣

b位于y轴的右侧，故符合题意， 2aD、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选C．

考点：二次函数的图象；一次函数的图象．

16．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）

A．16 【答案】B 【解析】 【分析】

B．15 C．12 D．11

过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值． 【详解】

解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA， ∴△FEH∽△EBA， ∴

HFHEEF, AEABBEQG为BE的中点，

1FEGEBE,

2HFHEEF1, ∴

AEABBE2设AE=x， ∵AB8,AD4,

1x,EH4, 2DHAEx,

∴HFSCEFSDHFCSCEDSEHF

11111x(x8)8(4x)4•x 2222212x4x164xx 412xx16, 4∴当

x112 时，△CEF面积的最小值421615. 1244故选：B．

【点睛】

本题通过构造K形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．

22，y=x+3，y=x的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点x

的图象共有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】 【分析】

根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解． 【详解】

17．在函数y

y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函

2符合条件． x故选：B． 【点睛】

数y本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

18．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象如图所示，直线y＝ax+hk的图象经第几象限（ ）

A．一、二、三 【答案】D 【解析】 【分析】

B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四

根据二次函数的图象和性质可得a＜0，h＜0，k＞0，以此判断一次函数的图象所经过的象

限即可． 【详解】

解：由函数图象可知，

y＝a（x﹣h）2+k中的a＜0，h＜0，k＞0， ∴直线y＝ax+hk中的a＜0，hk＜0， ∴直线y＝ax+hk经过第二、三、四象限， 故选：D． 【点睛】

本题考查了一次函数的图象的问题，掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的关键．

19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结i论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（ ）

A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据x＝﹣1函数值可以判断． 【详解】

解：Q抛物线开口向下，

a0，

Q对称轴xb1， 2ab0，

Q抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

c0，

abc0，故①错误；

Q抛物线与x轴有两个交点，

b24ac0，故②正确；

Q对称轴xb1， 2a2ab，

2ab0，故③正确；

根据图象可知，当x1时，yabc0，故④正确； 故选：C． 【点睛】

此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．

20．平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（ ） A．向左平移1个单位 C．向右平移3个单位 【答案】B 【解析】 【分析】

先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答. 【详解】

解：y＝﹣（x﹣1）（x+3）=-（x+1）2+4

A、向左平移1个单位后的解析式为：y＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；

B、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；

C、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；

D、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意. 【点睛】

本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.

B．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位