第4讲 函数的零点问题
1. 函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是
________．
1 答案：，13
解析：函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)＜0，所以(－3a＋1)·(1－a)＜
11 0，解得 ＜a＜1，所以实数a的取值范围是，1.33
x 2. 函数f(x)＝e＋3x的零点个数是________．
答案：1解析：因为f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，所以f(x)在(－1，0)内有零点，又f(x)为增 函数，所以函数f(x)有且只有一个零点．
3. 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点
*
x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n＝________．
答案：2
解析：因为2＜a＜3＜b＜4，当x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b＜0；当x＝3时，f(3)＝loga3
＋3－b＞0，所以f(x)的零点x0在区间(2，3)内，所以n＝2.
x＋1，x≤0，4. 已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是________．
log2x，x>0，1e答案：4 解析：由f(f(x))＋1＝0得f(f(x))＝－1，由f(－2)＝f()＝－1得f(x)＝
121122 得，函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是4.
5. 函数f(x)＝(x＋1)ln x的零点有________个．
答案：1 解析：函数的定义域为{x|x＞0}，由f(x)＝(x＋1)ln x＝0，得x＋1＝0或ln
x＝0，即x＝－1(舍去)或x＝1，所以函数的零点只有一个．
2x－1，x≤1， 6. 已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．
1＋log2x，x>1， 答案：0
解析：当x≤1时，由f(x)＝2－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，
x－2或f(x)＝.若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；若f(x)＝，则x＝－或x＝2.综上可
1214 解得x＝，因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.
127. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln
2x－的零点，则g(x0)＝________．x
答案：2
解析：因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝＋
12>0，即函数f(x)在(0，xx2＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－>0知，x0∈(2，e)，所以g(x0)＝[x0] ＝2.8. (2018·苏锡常镇调研一)若二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a>0)在区间[1，2]上有两个
2
2e 不同的零点，则
f（1）的取值范围是________．a 答案：[0，1)
解析：(解法1：二次函数的零点式) 设f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，其中1≤x1f（1）f（1）＝(x1－1)·(x2－1)．因为0≤x1－10，b2－4ac>0，bbbx＝，a1<－<2，1<－<2，2a2a(解法2：线性规划) 由题意得即令则cf（1）≥0，a＋b＋c≥0，y＝，af（2）≥0，4a＋2b＋c≥0，x2>4y，
－41)．令z＝
f（1）f（1）＝x＋y＋1，作可行域，如图．解得0≤z＜1，即的取值范围是[0，aa1，x>0，9. 已知函数g(x)＝0，x＝0，若函数f(x)＝2x·g(ln x)＋1－x2，则该函数的零点个
－1，x<0.数为________．
答案：3
22
解析：当x>1时，ln x>0，此时由f(x)＝2x＋1－x＝0，即x－2x－1＝0，解得x＝1±2，
2
故x＝1＋2；当x＝1时，ln x＝0，此时由f(x)＝1－x＝0，解得x＝±1，故x＝1；当021＋2.综上可知，函数f(x)＝2x·g(ln x)＋1－x有3个零点．
10. 对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x∈R|f(x)＝0}，β∈{x∈R|g(x)＝0}，若存在α，
x－1
β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝e＋x－2
2
与g(x)＝x－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是________．
答案：[2，3]
x－12
解析：函数f(x)＝e＋x－2的零点为x＝1，设g(x)＝x－ax－a＋3的零点为b，若函
x－12
数f(x)＝e＋x－2与g(x)＝x－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b|≤1，所以0≤b≤2.由于g(x)＝x－ax－a＋3＝0在[0，2]内有解，所以a＝
3]，所以a＝
2
x2＋3，令t＝x＋1∈[1，x＋1（t－1）2＋34＝t＋－2∈[2，3]，所以2≤a≤3.
tt11. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0，1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2，3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，求实数a的取值
范围．
解：由f(x＋2)＝f(x)得函数的周期是2. 由ax＋2a－f(x)＝0得f(x)＝ax＋2a，
设y＝f(x)，则y＝ax＋2a，作出函数y＝f(x)，y＝ax＋2a的图象，如图．
要使方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根， 则直线y＝ax＋2a＝a(x＋2)的斜率满足kAH由题意可知，G(1，2)，H(3，2)，A(－2，0)，所以kAH＝，kAG＝，
2322 所以53 12. 已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a.(1) 当a＝1时，求f(x)的单调区间；
1 (2) 若函数f(x)在区间(0，)上无零点，求实数a的最小值．
2 解：(1) 当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x，
2 则f′(x)＝1－，其中x∈(0，＋∞)．
x 由f′(x)＞0，得x＞2，由f′(x)＜0，得0＜x＜2， 故f(x)的单调减区间为(0，2)，单调增区间为(2，＋∞)． (2) f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a＝(2－a)(x－1)－2ln x，
令m(x)＝(2－a)(x－1)，h(x)＝2ln x，其中x＞0，则f(x)＝m(x)－h(x)．
11 ①当a＜2时，m(x)在(0，)上为增函数，h(x)在(0，)上为增函数，
221 结合图象知，若f(x)在(0，)上无零点，
21111 则m()≥h()，即(2－a)(－1)≥2ln，
2222 所以a≥2－4ln 2，所以2－4ln 2≤a＜2.
11②当a≥2时，在(0，)上，m(x)≥0，h(x)＜0，所以f(x)＞0，所以f(x)在(0，)上无
22
零点．
由①②得a≥2－4ln 2，所以amin＝2－4ln 2.
2513. 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝ ()
12|x－m|
.
(1) 求m的值；
(2) 设g(x)＝log2x，求证：方程f(x)＝g(x)只有一个实数解．
(1) 解：由x∈[0，2]时，f(x＋2)＝f(x)， 有f(2)＝f(0)，得|2－m|＝|m|，所以m＝1.
1(2) 证明：由(1)知f(x)＝2
|x－1|，x∈[0，2]，
121又f(x)是周期为2的周期函数，故f(x)的值域为，1.2所以当x∈[0，2]时，f(x)∈，1，
当x>2时，g(x)>1≥f(x)，故此时方程无解； 当0当x＝2时，f(x)≠g(x)，方程无解；1当1x－1－log2x，1F(1)·F(2)＝－<0且F(x)单调递减，
2 所以函数F(x)在(1，2)内有唯一的零点，即方程 f(x)＝g(x)在x∈(1，2)上有唯一实数解．
综上，方程f(x)＝g(x)只有一个实数解．
