线性代数复习(1)

一、二阶行列式

𝒂𝒃||=𝒂𝒅−𝒃𝒄, 对角线法则 𝒄𝒅

𝟏𝟑例1 ||=𝟏×𝟒−𝟑×𝟐=−𝟐

𝟐𝟒𝟐𝟏例2 ||=𝟐×𝟐−𝟏×(−𝟏)=𝟓

−𝟏𝟐𝟏𝟑

例3 如果||=𝟏, 则𝒌= . 𝟏𝒌

𝟏𝟑解: ||=𝟏×𝒌−𝟑×𝟏=𝒌−𝟑

𝟏𝒌

即有𝒌−𝟑=𝟏, 故有𝒌=𝟒.

二、三阶行列式

𝒂𝒃𝒄

|𝒅𝒆𝒇|=𝒂𝒆𝒊+𝒃𝒇𝒈+𝒄𝒅𝒉−𝒂𝒇𝒉−𝒃𝒅𝒊−𝒄𝒆𝒈 𝒈𝒉𝒊

𝟏−𝟏𝟐例4 |𝟏𝟏𝟏|=𝟏×𝟏×(−𝟏)+(−𝟏)×𝟏×𝟐+𝟐×𝟏×𝟑

𝟐𝟑−𝟏

−𝟏×𝟏×𝟑−(−𝟏)×𝟏×(−𝟏)−𝟐×𝟏×𝟐 =−𝟏+(−𝟐)+𝟔−𝟑−𝟏−𝟒=−𝟓.

对角线法则只适合计算二阶和三阶行列式. 𝟏𝟎𝟏

例：|𝟑𝒌𝟎|=𝟒,求𝒌。

−𝟏𝟎𝟏

𝟏𝟎𝟏

|𝟑𝒌𝟎|=𝟏×𝐤×𝟏+𝟎+𝟎−𝟎−𝟎+𝐤=𝟒, 得到𝒌=𝟐 −𝟏𝟎𝟏

三、余子式和代数余子式

1、元素𝒂𝒊𝒋的余子式

𝒂𝟏𝟏例5 |𝒂𝟐𝟏𝒂𝟑𝟏𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟐𝒂𝟏𝟑𝒂𝒂𝟐𝟑|中元素𝒂𝟐𝟏的余子式为𝑴𝟐𝟏=|𝟏𝟐

𝒂𝟑𝟐

𝒂𝟑𝟑𝒂𝟏𝟑𝒂𝟑𝟑|,

即就是划去元素𝒂𝟐𝟏所在的行和所在的列中的元素, 乘余的元素按原 位置构成的行列式. 𝒂𝟏𝟏𝒂𝟏𝟐 又如元素𝒂𝟑𝟑的余子式为𝑴𝟑𝟑=|𝒂|. 𝟐𝟏𝒂𝟐𝟐

2、元素𝒂𝒊𝒋的代数余子式

例6 上例中元素𝒂𝟐𝟏的代数余子式为𝑨𝟐𝟏=(−𝟏)𝟐+𝟏𝑴𝟐𝟏

𝟏−𝟏𝟎

例7 行列式|𝟒−𝟓−𝟑|中,

𝟐𝟑𝟔

𝟏−𝟏

元素−𝟑的余子式为𝑴𝟐𝟑=||=𝟏×𝟑−(−𝟏)×𝟐=𝟓,

𝟐𝟑元素−𝟑的代数余子式为𝑨𝟐𝟑=(−𝟏)𝟐+𝟑𝑴𝟐𝟑=(−𝟏)×𝟓=−𝟓.

四、行列式按行(列)展开 行列式𝑫等于它的某一行(列)所有元素与它们的代数余子式乘积之和.

𝟑𝟏𝟎−𝟏𝟐−𝟏𝟐𝟑

例8 计算行式𝑫=||.

−𝟏𝟒𝟎−𝟐𝟎𝟎𝟎𝟓

解 因为第四行中有三个零元素,可按第四行展开,得

𝑫=𝟓×(−𝟏

)𝟒+𝟒

𝟑𝟏𝟎

|𝟐−𝟏𝟐| −𝟏𝟒𝟎

对上面计算得到的三阶行列式,再按第三列展开,得

𝟑𝟏

𝑫=𝟓×𝟐×(−𝟏)𝟐+𝟑||=−𝟏𝟎×(𝟑×𝟒−𝟏×(−𝟏))

−𝟏𝟒

=−𝟏𝟎×𝟏𝟑=−𝟏𝟑𝟎

𝟐𝟑𝟒𝟏

𝟒𝟏

|=160. 𝟐𝟑𝟐𝟑𝟒

−𝟏−𝟐−𝟕

−𝟏−𝟐−𝟕𝟏+𝟏

|=𝟏×(−𝟏)|−𝟐−𝟖−𝟏𝟎|，

−𝟐−𝟖−𝟏𝟎

−𝟕−𝟏𝟎−𝟏𝟑

−𝟕−𝟏𝟎−𝟏𝟑𝟑𝟒𝟏𝟐

𝟏𝟐|𝟑𝟒

𝟏𝟐

练习: 计算|

𝟑𝟒

𝟐𝟑𝟒𝟏𝟑𝟒𝟏𝟎

|=|

𝟒𝟏𝟐𝟎𝟏𝟐𝟑𝟎

−𝟏−𝟐−𝟕

−𝟒𝟒

=|𝟎−𝟒𝟒|=(−𝟏)×(−𝟏)𝟏+𝟏||=−(−𝟏𝟒𝟒−𝟏𝟔)=𝟏𝟔𝟎.

𝟒𝟑𝟔

𝟎𝟒𝟑𝟔

𝒂𝟏𝒂𝟐𝒂𝟑𝒂𝟒𝒂𝟐𝒂𝟐𝒂𝟒𝒂𝟓

练习: 已知|𝒂𝒂𝒂𝒂|, 求𝑨𝟏𝟑+𝑨𝟐𝟑+𝑨𝟑𝟑+𝑨𝟒𝟑.

𝟑𝟐𝟓𝟔𝒂𝟒𝒂𝟐𝒂𝟔𝒂𝟕

𝒂𝟏𝒂

𝑨𝟏𝟑+𝑨𝟐𝟑+𝑨𝟑𝟑+𝑨𝟒𝟑=|𝟐

𝒂𝟑𝒂𝟒

𝒂𝟐𝒂𝟐𝒂𝟐𝒂𝟐

𝟏𝟏𝟏𝟏

𝒂𝟒𝒂𝟓

|=𝟎 𝒂𝟔𝒂𝟕

𝟑𝟎𝟒𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐

练习:𝐃=||, 求第四行元素的余子式之和.

𝟎−𝟕𝟎𝟎𝟓𝟑−𝟐𝟐

提示: 将余子式转化为代数余子式. 𝑴𝟒𝟏+𝑴𝟒𝟐+𝑴𝟒𝟑+𝑴𝟒𝟒=−𝑨𝟒𝟏+𝑨𝟒𝟐−𝑨𝟒𝟑+𝑨𝟒𝟒

𝟑𝟎𝟒𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐=||=−𝟐𝟖..

𝟎−𝟕𝟎𝟎−𝟏𝟏−𝟏𝟏

五、行列式的性质

性质1: 行列式与它的转置行列式相等.

𝟏𝟐𝟏𝟑𝑫=||=−𝟐, 转置行列式𝑫𝑻=||=−𝟐

𝟑𝟒𝟐𝟒性质2: 行列式互换两行(列), 行列式变号.

𝟏𝟑𝟐𝟐𝟏𝟑

|𝟐𝟏𝟑|=−|𝟏𝟑𝟐| 𝟑𝟐𝟏𝟑𝟐𝟏

推论: 行列式中有两行(列)的元素对应相同,则此行列式为零.

𝟏𝟑𝟐

|𝟏𝟑𝟐|=𝟎 𝟒𝟓𝟔

性质3: 行列式某一行(列)中所有元素的公因子,可以提到行列式 符号的外面.

𝒂𝟏𝟏

例9 已知|𝒂𝟐𝟏

𝒂𝟑𝟏

𝟐𝒂𝟏𝟐𝟐𝒂𝟐𝟐𝟐𝒂𝟑𝟐

𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟐

𝒂𝟏𝟑

𝒂𝟐𝟑|=𝟏, 𝒂𝟑𝟑

𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟐

𝒂𝟏𝟑

𝒂𝟐𝟑|=−𝟔 𝒂𝟑𝟑−𝟑𝒂𝟏𝟑−𝟔𝒂𝟐𝟑|, −𝟑𝒂𝟑𝟑

𝟐𝟑𝟔𝟐𝟑𝟔𝟏𝟑𝟔|𝟒𝟐𝟖|=𝟐×|𝟐𝟏𝟒|=𝟐×𝟐×|𝟏𝟏𝟒| 𝟐𝟏𝟑𝟐𝟏𝟑𝟏𝟏𝟑

𝒂𝟏𝟏

则 |𝒂𝟐𝟏

𝒂𝟑𝟏𝒂𝟏𝟏 |𝟐𝒂𝟐𝟏

𝒂𝟑𝟏𝒂𝟏𝟏|𝟐𝒂𝟐𝟏𝒂𝟑𝟏

𝒂𝟏𝟏−𝟑𝒂𝟏𝟑

−𝟑𝒂𝟐𝟑|=𝟐×(−𝟑)×|𝒂𝟐𝟏

𝒂𝟑𝟏−𝟑𝒂𝟑𝟑

−𝟑𝒂𝟏𝟑𝒂𝟏𝟏

−𝟔𝒂𝟐𝟑|=|𝟐𝒂𝟐𝟏−𝟑𝒂𝟑𝟑𝒂𝟑𝟏

𝟐𝒂𝟏𝟐

𝟐𝒂𝟐𝟐𝟐𝒂𝟑𝟐

𝟐𝒂𝟏𝟐+𝟐𝒂𝟏𝟏𝟒𝒂𝟐𝟐+𝟒𝒂𝟐𝟏𝟐𝒂𝟑𝟐+𝟐𝒂𝟑𝟏𝟐𝒂𝟏𝟐𝟒𝒂𝟐𝟐𝟐𝒂𝟑𝟐

𝟐𝒂𝟏𝟐𝟒𝒂𝟐𝟐𝟐𝒂𝟑𝟐

−𝟑𝒂𝟏𝟑𝒂𝟏𝟏−𝟔𝒂𝟐𝟑|=𝟐×|𝒂𝟐𝟏−𝟑𝒂𝟑𝟑𝒂𝟑𝟏

𝒂𝟏𝟐

𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟐

−𝟑𝒂𝟏𝟑−𝟑𝒂𝟐𝟑|, −𝟑𝒂𝟑𝟑

𝒂𝟏𝟏

=𝟐×𝟐×(−𝟑)|𝒂𝟐𝟏

𝒂𝟑𝟏

𝒂𝟏𝟑

𝒂𝟐𝟑|=−𝟏𝟐. 𝒂𝟑𝟑

性质4: 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式值为零. 𝟏𝟐𝟑𝟏𝟐𝟑

|𝟐𝟒𝟔|=𝟐×|𝟏𝟐𝟑|=𝟎。 𝟑𝟓𝟐𝟑𝟓𝟐

𝒂𝒃𝒂𝒃𝒂𝒃性质5: ||+||=||

𝒄+𝒅𝒆+𝒇𝒅𝒇𝒄𝒆

性质6: 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数K后加到

另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变.

例如, |

𝟏𝟐𝟏𝟐𝟏𝟐

|=||=||=−𝟐 𝟑𝟒𝟑+𝟏×𝟒𝟒+𝟐×𝟒𝟕𝟏𝟐

𝟕𝟎𝟏𝟒𝟏𝟎𝟏𝟐

例10: 计算行列式𝑫=||.

𝟑−𝟏−𝟏𝟎𝟕𝟎−𝟐−𝟓

解: 按第二列展开,得

𝑫=(−𝟏)×(−𝟏

)𝟑+𝟐

𝟕𝟏𝟒𝟕𝟏𝟒|𝟏𝟏𝟐|=|𝟏𝟏𝟐| 𝟕−𝟐−𝟓𝟕−𝟐−𝟓

对上面得到的三阶行列式, 先把第二行元素的-1倍加到第一行上, 得

𝟕−𝟏𝟏−𝟏𝟒−𝟐𝟔𝟎𝟐

𝑫=|𝟏𝟏𝟐|=|𝟏𝟏𝟐|

𝟕−𝟐−𝟓𝟕−𝟐−𝟓

再把第二行的2倍加到第三行上,得

𝟔𝟎𝟐𝟔𝟎𝟐𝑫=|𝟏𝟏𝟐|=|𝟏𝟏𝟐|

𝟕−𝟐−𝟓𝟗𝟎−𝟏

按第二列展开,得

𝟔𝟐

𝑫=𝟏×(−𝟏)𝟐+𝟐||=−𝟔−𝟏𝟖=−𝟐𝟒

𝟗−𝟏

𝒂𝒃

例11. 下列与行列式||的值相等的是( D )

𝒄𝒅𝒂𝒄𝒄𝒅(A) −|| (B) ||

𝒃𝒅𝒂𝒃

𝟐𝒂𝟐𝒄𝒂𝒃

(C) || (D) ||

𝒃𝒅𝒄+𝟐𝒂𝒅+𝟐𝒃

例12 关于行列式的性质叙述, 错误的是( B )

(A) 行列式等于它的转置行列式

(B) 行列式互换两行, 行列式的值不变

(C) 行列式的某行所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 (D) 行列式如果有两行元素完全相同, 行列式的值为0.

𝒂𝟏𝟎

练习: 计算|

𝟎𝒃𝟒

𝟎𝒂𝟐𝒃𝟑𝟎

𝟎𝒃𝟐𝒂𝟑𝟎

𝒃𝟏𝟎

|=(𝒂𝟐𝒂𝟑−𝒃𝟐𝒃𝟑)(𝒂𝟏𝒂𝟒−𝒃𝟏𝒃𝟒). 𝟎𝒂𝟒

提示: 按照第一行展开, 再计算.

𝟏−𝟏𝟏𝒙−𝟏𝟏−𝟏𝒙+𝟏−𝟏

练习: 计算||=𝒙𝟒.

𝟏𝒙−𝟏𝟏−𝟏𝒙+𝟏−𝟏𝟏−𝟏

提示: 将第2,3,4列加到第1列上, 再计算.

练习: 求5阶行列式中包含因子𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟓的并带负号的所有项. 所有项:

−𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟓𝒂𝟑𝟏𝒂𝟒𝟐𝒂𝟓𝟒, 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟓𝒂𝟑𝟐𝒂𝟒𝟏𝒂𝟓𝟒, 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟓𝒂𝟑𝟒𝒂𝟒𝟐𝒂𝟓𝟏, −𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟓𝒂𝟑𝟒𝒂𝟒𝟏𝒂𝟓𝟐, 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟓𝒂𝟑𝟏𝒂𝟓𝟐𝒂𝟒𝟒, −𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟓𝒂𝟑𝟐𝒂𝟒𝟒𝒂𝟓𝟏,

𝟏𝟐𝟑𝟒𝟏𝟎𝟏𝟐

练习:计算 𝐃=||

𝟑−𝟏−𝟏𝟎𝟏𝟐𝟎−𝟓

𝟏𝟐𝟑𝟒𝟎−𝟐−𝟐−𝟐=||=-24. 𝟎−𝟕−𝟏𝟎−𝟏𝟐𝟎𝟎−𝟑−𝟗

第二章 矩阵及其运算

一. 矩阵概念

𝒎行𝒏列的数表, 𝑨=𝑨𝒎×𝒏=(𝒂𝒊𝒋)

1. 几种特殊矩阵

(1) 方阵: 行数与列数相同的矩阵

𝒂𝒃𝒄

(𝒅𝒆𝒇)是一个3阶矩阵. 𝒈𝒉𝒊

𝒎×𝒏

(2) 单位矩阵

𝟏𝟎𝟎

𝑬=(𝟎𝟏𝟎)就是一个三阶单位矩阵

𝟎𝟎𝟏𝒂𝟎𝟎

(𝟎𝒃𝟎), 记作diag(a,b,c) 𝟎𝟎𝒄

(3) 对角阵,方阵

2.

矩阵的同型: 两个矩阵行数相同, 列数也相同.

矩阵相等: 矩阵A与B相等是指, 两个矩阵的行数一样, 列数也一样,

并且对应位置的元素相等, 𝟏𝒙𝟐𝒛𝟑𝟐

例1 矩阵𝐀=()与矩阵𝑩=()相等, 则

𝒚𝟑𝟒𝟓𝟑𝟒

𝒙=𝟑,𝒚=𝟓,𝒛=𝟏.

二. 矩阵的运算 1. 矩阵的加法和减法

𝒂𝒃𝒄𝒂±𝟏𝒃±𝟐𝒄±𝟑𝟏𝟐𝟑

()±() )=(𝒅𝒆𝒇𝒅±𝟒𝒆±𝟓𝒇±𝟔𝟒𝟓𝟔𝒂𝒃𝒄𝒌𝒂𝒌𝒃𝒌𝒄𝒌()=() 𝒅𝒆𝒇𝒌𝒅𝒌𝒆𝒌𝒇

2. 数与矩阵的乘法

𝒂𝒃𝟐𝒂𝟐𝒃

注意与行列式性质区别：𝟐×||=||

𝒄𝒅𝒄𝒅

3. 矩阵与矩阵的乘法 𝑨𝒎×𝒔×𝑩𝒔×𝒏=𝑪𝒎×𝒏

①

𝒂𝒃

𝒂+𝟐𝒄+𝟑𝒆𝒃+𝟐𝒅+𝟑𝒇𝟏𝟐𝟑𝒄𝒅

)=() ()(

𝟒𝒂+𝟓𝒄+𝟔𝒆𝟒𝒃+𝟓𝒅+𝟔𝒇𝟒𝟓𝟔

𝒆𝒇运算规律:

(1) 不满足交换律 𝑨𝑩≠𝑩𝑨 𝟏−𝟏𝟏𝟑𝐀=(),𝑩=()

𝟐𝟑𝟐𝟒

−𝟏−𝟏𝟕𝟖𝑨𝑩=(), 𝑩𝑨=(), 𝑨𝑩≠𝑩𝑨.

𝟖𝟏𝟖𝟏𝟎𝟏𝟎𝑨𝟑×𝟒𝑩𝟒×𝟐存在, 𝑩𝟒×𝟐𝑨𝟑×𝟒不存在.

当𝑨𝑩=𝑩𝑨时，称𝑨,𝑩可交换的。

(2) 𝑨𝑩𝑪=(𝑨𝑩)𝑪=𝑨(𝑩𝑪)≠(𝑨𝑪)𝑩 (3) 𝑨(𝑩+𝑪)=𝑨𝑩+𝑨𝑪; (𝑩+𝑪)𝑨=𝑩𝑨+𝑪𝑨 (4) (𝝀𝐀)𝐁=𝐀(𝛌𝐁)

一般情况下，不满足的公式有： 𝑨𝟐−𝑩𝟐=(𝑨+𝑩)(𝑨−𝑩) (𝑨−𝑩)𝟐=𝑨𝟐−𝟐𝑨𝑩+𝑩𝟐 *方阵的幂

𝑨𝒌=⏟𝑨 ⋅𝑨 ⋯ 𝑨

𝒌个

满足的运算规律:

𝑨𝒎𝑨𝒏=𝑨𝒎+𝒏; (𝑨𝒎)𝒏=𝑨𝒎𝒏

不满足的: 𝑨𝒌𝑩𝒌≠(𝑨𝑩)𝒌 4. 矩阵的转置

𝟏𝟒

𝟏𝟐𝟑𝐓

𝑨=(), 𝑨=(𝟐𝟓).

𝟒𝟓𝟔

𝟑𝟔运算规律:

(1) (𝑨𝑻)𝑻=𝑨;

(2) (𝑨+𝑩)𝑻=𝑨𝑻+𝑩𝑻; (3) (𝝀𝑨)𝑻=𝝀𝑨𝑻 (4) (𝑨𝑩)𝑻=𝑩𝑻𝑨𝑻.

𝑻

𝟏−𝟐−𝟏

对称矩阵: 𝑨为𝒏阶方阵, 且满足𝑨=𝑨. 例如(−𝟐𝟑𝟎)

−𝟏𝟎𝟎𝟏𝟐𝟏𝟑−𝟐

练习: 设𝑨=(−𝟐𝟎), 𝑩=(𝟎𝟐𝟏), 求𝑨𝑻𝑩−𝟐𝑨𝑻.

−𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟒

𝟏𝟑−𝟐

𝟏−𝟐−𝟏𝟏−𝟐−𝟏

𝑨𝑩−𝟐𝑨=()(𝟎𝟐𝟏)−𝟐()

𝟐𝟎𝟏𝟐𝟎𝟏

−𝟏𝟏𝟒

𝑻

𝑻

𝟐−𝟐−𝟖𝟐−𝟒−𝟐=()−()

𝟏𝟕𝟎𝟒𝟎𝟐𝟎𝟐−𝟔=().

−𝟑𝟕−𝟐

练习: 设𝑨是3阶矩阵, |𝟐𝑨|=𝟐𝟑|𝑨|=𝟏𝟔, 则|𝑨|=𝟐 练习: 设𝑨是3阶矩阵, 且|𝑨|=𝟐, 则|𝟐𝑨𝟑|=? |𝟐𝑨𝟑|=𝟖×|𝑨×𝑨×𝑨|=𝟖×|𝑨|𝟑=𝟔𝟒.

伴随矩阵:行列式|𝑨|的各元素的代数余子式所构成的如下矩阵:

𝒂𝟏𝟏𝒂𝟐𝟏

𝑨=(

⋮𝒂𝒏𝟏

𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟐⋮𝒂𝒏𝟐

……⋯

𝒂𝟏𝒏𝑨𝟏𝟏𝒂𝟐𝒏𝑨

),𝑨∗=(𝟏𝟐⋮⋮𝒂𝒏𝒏𝑨𝟏𝒏

𝑨𝟐𝟏

𝑨𝟐𝟐⋮𝑨𝟐𝒏

……⋯

𝑨𝒏𝟏𝑨𝒏𝟐

) ⋮𝑨𝒏𝒏

5. 方阵的行列式

𝟏𝟐𝟑𝟏𝟐𝟑

𝑨=(𝟎𝟒𝟓), |𝑨|=|𝟎𝟒𝟓|=𝟐𝟒.

𝟎𝟎𝟔𝟎𝟎𝟔运算规律(𝑨,𝑩为𝒏阶方阵, 𝝀为数): (1) |𝑨𝑻|=|𝑨|; (2) |𝝀𝑨|=𝝀𝒏|𝑨|;

(3) |𝑨𝑩|=|𝑨||𝑩|=|𝑩𝑨|.

𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐𝒄𝒂𝒃𝒄𝑨=(𝟐𝒅𝟐𝒆𝟐𝒇), |𝑨|=𝟐×𝟐×𝟐×|𝒅𝒆𝒇|

𝟐𝒈𝟐𝒉𝟐𝒊𝒈𝒉𝒊

伴随矩阵满足性质: 𝑨𝑨∗=𝑨∗𝑨=|𝑨|𝑬.

𝟏−𝟏𝟎𝟐𝟑𝟎𝟏𝟐

例 𝑨=[], 𝑨∗中第三行第二列的元素为_________

−𝟏𝟑𝟐𝟏𝟏𝟐𝟑𝟒∗

解 𝑨中第三行第二列的元素为𝑨中第二行第三列元素的代数余子式，即 𝑨𝟐𝟑=(−𝟏

)𝟐+𝟑

𝟏−𝟏𝟐|−𝟏𝟑𝟏|=? 𝟏𝟐𝟒

练习: 设𝑨是3阶方阵, |𝑨|=−𝟐, 设𝑨=(𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑),

令𝑩=(𝒂𝟑−𝟐𝒂𝟏,𝟑𝒂𝟐,𝒂𝟏), 求|𝑩|.

提示: |𝑩|=|𝒂𝟑−𝟐𝒂𝟏,𝟑𝒂𝟐,𝒂𝟏|=|𝒂𝟑,𝟑𝒂𝟐,𝒂𝟏|=𝟑|𝒂𝟑,𝒂𝟐,𝒂𝟏| =−𝟑|𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑|=−𝟑×(−𝟐)=𝟔.

练习: 设𝑨是n阶可逆阵, 求|𝑨∗|=|𝑨|𝒏−𝟏. 𝑨∗=𝑨−𝟏|𝑨|⇒|𝐀∗|=|𝑨−𝟏||𝑨|𝒏=|𝑨|𝒏−𝟏

三. 逆矩阵 1. 定义: n阶矩阵𝑨, 𝑨𝑨−𝟏=𝑨−𝟏𝑨=𝑬. 𝑨−𝟏称为𝑨的逆矩阵. 2. 性质: (1) 一个矩阵的逆矩阵存在的话是唯一的. (2) 𝑨可逆, 𝑨−𝟏可逆, (𝑨−𝟏)−𝟏=𝑨. (3) 𝑨可逆, 𝑨𝑻可逆, (𝑨𝑻)−𝟏=(𝑨−𝟏)𝑻. (4) 𝑨可逆,𝝀≠𝟎, 𝝀𝐀可逆, (𝝀𝑨)−𝟏=𝟏

−𝟏𝝀𝑨.

(5) 𝑨,𝑩同为n阶可逆阵, 则𝑨𝑩可逆的, (𝑨𝑩)−𝟏=𝑩−𝟏𝑨−𝟏.

(6) 𝑨可逆, |𝑨|≠𝟎, |𝑨−𝟏|=

𝟏|𝑨|

.

3. 逆矩阵存在的充要条件:

𝑨可逆⇔|𝐀|≠𝟎⇔𝑨是非奇异矩阵

⇔𝐀是满秩矩阵(它的秩等于它的行数) ⇔𝐀的列向量组线性无关

⇔线性方程组𝑨𝒙=𝟎只有零解 ⇔非齐次线性方程组𝑨𝒙=𝒃唯一解

4. 求逆矩阵的公式: 𝑨−𝟏=𝟏

∗|𝑨|𝑨

(𝑨,𝑬)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 初等行变换化为行最简形矩阵 (𝑬,𝑨−𝟏)

(𝒂𝒃−𝟏𝟏𝒅−𝒃𝒄𝒅)=𝒂𝒅−𝒃𝒄(−𝒄𝒂).

练习: 求逆矩阵

(1) 𝐀=(𝟐𝟑

𝟑𝟐)

𝑨−𝟏=−𝟏𝟐−𝟑

𝟓(−𝟑𝟐

)

(2) 𝑨=(𝟏𝟐𝟑𝟒), 𝑨−𝟏=−𝟏𝟒−𝟐

𝟐(−𝟑𝟏

)

𝟎𝟎−𝟏

(3) 𝐁=(−𝟐𝟎𝟎)

𝟑−𝟐𝟔

𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎

(𝑩,𝑬)=(−𝟐𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎)→(𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟎𝟎)

𝟑−𝟐𝟔𝟎𝟎𝟏𝟑−𝟐𝟔𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎−𝟏/𝟐𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎−𝟏/𝟐𝟎

(𝟎𝟎−𝟏𝟏

𝟎𝟎)→(𝟎−𝟐𝟔𝟎−𝟑/𝟐𝟏𝟎−𝟐𝟔𝟎−𝟑/𝟐𝟏) 𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎−𝟏/𝟐𝟎

→(𝟎𝟏𝟎−𝟑𝟑/𝟒−𝟏/𝟐)

𝟎𝟎𝟏−𝟏𝟎𝟎

→

𝑨

−𝟏

𝟎−𝟏/𝟐𝟎=(−𝟑𝟑/𝟒−𝟏/𝟐)

−𝟏𝟎𝟎

P45 例2；P67 例3

四. 矩阵方程: (1) 𝑨𝑿=𝑩

⇒𝑨−𝟏𝑨𝑿=𝑨−𝟏𝑩 ⇒𝑬𝑿=𝑨−𝟏𝑩 ⇒𝑿=𝑨−𝟏𝑩 (2) 𝑿𝑨=𝑩 ⇒𝑿=𝑩𝑨−𝟏 (3) 𝑨𝑿𝑩=𝑪

⇒𝑿=𝑨−𝟏𝑪𝑩−𝟏 P46 例3

五. 分块矩阵

𝑨𝟏𝟏𝟎

𝐀=(

𝟎𝟎

𝟎𝑨𝟐𝟐𝟎𝟎

𝟎𝟎𝟎

𝟎𝟎) 𝟎𝑨𝒏𝒏𝟎𝟎𝟎

𝟎𝟎 𝟎𝑨−𝟏𝒏𝒏)𝟎) 𝑩−𝟏𝑩−𝟏) 𝟎

𝟎) 𝑩−𝟏

|𝑨|=|𝑨𝟏𝟏|⋅|𝑨𝟐𝟐|⋯|𝑨𝒏𝒏| 𝑨−𝟏𝟏𝟏 𝐀−𝟏= 𝟎

𝟎(𝟎

𝟎𝑨−𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎

−𝟏𝑨𝟎−𝟏

练习: ()=(𝑨

𝟎𝑩𝟎

𝟎𝑨−𝟏

()=(𝟎

𝑩𝟎𝑨−𝟏

−𝟏𝑨𝟎−𝟏𝑨 ()=(−𝟏−𝟏𝑪𝑩−𝑩𝑪𝑨

练习: 求矩阵的逆矩阵.

𝟒−𝟏𝐀=(

𝟎𝟎𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

)

𝟎𝟑−𝟔𝟎−𝟑𝟑

𝑨−𝟏

𝟎−𝟏𝟎𝟎𝟏/𝟑𝟒/𝟑𝟎𝟎=()

𝟎𝟎−𝟏/𝟑−𝟐/𝟑𝟎𝟎−𝟏/𝟑−𝟏/𝟑

𝟎𝟑𝟑

练习: 设𝑨=(𝟏𝟏𝟎), 𝑨𝑩=𝑨+𝟐𝑩,求𝑩.

−𝟏𝟐𝟑

解: 由𝑨𝑩=𝑨+𝟐𝑩 ⇔ 𝑨𝑩−𝟐𝑬𝑩=𝑨 ⇔ (𝑨−𝟐𝑬)𝑩=𝑨 ⇔ 𝑩=(𝑨−𝟐𝑬)−𝟏𝑨

−𝟐𝟑𝟑−𝟏

(𝑨−𝟐𝑬)−𝟏=(𝟏−𝟏𝟎),

−𝟏𝟐𝟏

第三章 线性方程组

一、矩阵的初等行变换： （1）互换两行； （2）某一行乘以一个不为零的数； （3）将某行的𝐤倍加到另一行对应元素上去。 二、行变换通常的目标： （1）行阶梯形矩阵：求矩阵的秩，判定向量组的线性相关性

𝟐

𝟎𝟎𝟐

例如(

𝟎𝟑−𝟐𝟑

𝟎𝟎𝟎𝟐)

𝟎

𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏

𝐀=(𝟐𝟏−𝟐−𝟐)→(𝟎−𝟑−𝟔−𝟒)

𝟏−𝟐−𝟒−𝟑𝟎−𝟒−𝟔−𝟒𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏

→(𝟎−𝟏𝟐−𝟐𝟒−𝟏𝟔)→(𝟎−𝟏𝟐−𝟐𝟒−𝟏𝟔)

𝟎−𝟏𝟐−𝟏𝟖−𝟏𝟐𝟎𝟎𝟔𝟒

𝑹(𝑨)=𝟑, 𝑨的列向量组线性相关，𝑨的行向量组是线性无关的。

(2)行最简形矩阵：求解线性方程组，求向量组的极大无关组 𝟏𝟎𝟎𝟎

例如，𝑨~(

𝟎

𝟏−𝟐𝟎

𝟎𝟎𝟎𝟏),

𝟎

𝟎𝟎𝟎

𝑨的列向量组的一个极大无关组是𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟒

𝒙𝟏=𝟎𝑨𝒙=𝟎解的情况是：有非零解（无限多解）{𝒙=𝟐𝒄

𝒙𝟐𝟑=𝒄(𝒄∈𝑹)

𝒙𝟒=𝟎基础解系是：一个向量(𝟎,𝟐,𝟏,𝟎)𝑻

三、线性方程组的解： （1）齐次线性方程组

𝒏元齐次线性方程组𝑨𝒙=𝟎: (1) 只有零解的条件𝑹(𝑨)=𝒏

(2) 有非零解（有无穷多解）的条件𝑹(𝑨)<𝒏 （2）非齐次线性方程组 𝒏元非齐次线性方程组𝑨𝒙=𝒃 (1) 无解充要条件𝑹(𝑨)<𝑹(𝑨,𝒃) (2) 唯一解充要条件𝑹(𝑨)=𝑹(𝑨,𝒃)=𝒏 (3) 无穷多解充要条件𝑹(𝑨)=𝑹(𝑨,𝒃)<𝒏 四、求解线性方程组的解

𝟐𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐+𝒙𝟑=𝟒例 {𝒙−𝟐𝒙𝟑𝒙𝟏𝟐+𝟒𝒙𝟑=−𝟓𝟏+𝟖𝒙𝟐−𝟐𝒙𝟑=𝟏𝟑

𝟒𝒙𝟏−𝒙𝟐+𝟗𝒙𝟑=−𝟔解：对增广矩阵进行初等行变换：

𝟐𝟑𝟏𝟒𝟏−𝟐𝟒−𝟓𝟏−𝟐𝟒(𝟏−𝟐𝟒−𝟓𝟐𝟑𝟖−𝟐𝟏𝟑)→(𝟑𝟏𝟒𝟑𝟖−𝟐𝟏𝟑)→(𝟎𝟕−𝟕𝟎𝟏𝟒−𝟏𝟒𝟒−𝟏𝟗−𝟔𝟒−𝟏𝟗−𝟔𝟎𝟕−𝟕𝟏−𝟐𝟒−𝟓

𝟏𝟎𝟐−𝟏(𝟎𝟏−𝟏𝟐

𝟏−𝟏𝟐

𝟎𝟎𝟎𝟎

)→(

𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎)

𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

得到原方程组的同解方程组

{𝒙𝟏+𝟐𝒙𝒙𝟑=−𝟏𝟐−𝒙𝟑=𝟐 移项 {𝒙𝟏=−𝟐𝒙𝒙𝟑−𝟏

𝟐=𝒙𝟑+𝟐 令𝒙𝟑=𝒄(𝒄∈𝑹), 得到方程组的通解 𝒙𝟏=−𝟐𝒄−𝟏

{𝒙𝟐=𝒄+𝟐 (𝒄∈𝑹)，

𝒙𝟑=𝒄

𝒙𝒙𝟏−𝟐−𝟏

向量形式的解为(𝒙𝟐)=𝒄(𝟏)+(𝟐)

𝟑𝟏𝟎𝟐𝒙𝟏+𝟑𝒙𝟐+𝒙𝟑=𝟎

练习: 求解线性方程组{𝒙−𝟐𝒙𝟑𝒙𝟏𝟐+𝟒𝒙𝟑=𝟎

𝟏+𝟖𝒙−𝒙𝟐−𝟐𝒙𝟑=𝟎

𝟒𝒙𝟏𝟐+𝟗𝒙𝟑=𝟎解: 对系数矩阵进行初等行变换:

𝟐𝟑𝟏𝟏−𝟐𝟒𝟏−𝟐𝟒𝑨=(𝟏−𝟐𝟒𝟐𝟑𝟏𝟑𝟖−𝟐)→(𝟑𝟖−𝟐)→(𝟎𝟕−𝟕𝟎𝟏𝟒−𝟏𝟒)

𝟒−𝟏𝟗𝟒−𝟏𝟗𝟎𝟕−𝟕

𝟏−𝟐𝟒𝟏𝟎𝟐

→(𝟎𝟏−𝟏𝟎𝟏−𝟏

𝟎𝟎𝟎)→(

𝟎𝟎𝟎) 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎得到原方程组的同解方程组

−𝟓𝟏𝟒𝟐𝟖) →

𝟏𝟒𝒙+𝟐𝒙𝟑=𝟎𝒙=−𝟐𝒙𝟑{𝟏 移项 {𝟏

𝒙𝟐=𝒙𝟑𝒙𝟐−𝒙𝟑=𝟎

𝒙𝟏=−𝟐𝒄

令𝒙𝟑=𝒄(𝒄∈𝑹), 得到方程组的解{𝒙𝟐=𝒄 (𝒄∈𝑹)

𝒙𝟑=𝒄𝒙𝟏−𝟐𝒙向量形式的解(𝟐)=𝒄(𝟏) 𝒙𝟑𝟏−𝟐

基础解系含1个向量，即(𝟏)

𝟏

非齐次线性方程组解有三种情况：无解、唯一解和无穷多解

齐次线性方程组解有两种情况：只有零解和无穷多解（非零解）

五、矩阵的秩 求矩阵的秩方法：（1）定义法：是矩阵最高阶非零子式的阶数（繁琐） （2）化为行阶梯形矩阵， 阶梯数就是矩阵的秩 P71 例2

𝟏𝟐−𝟏𝟏

例 𝐀=(𝟑𝟐𝒂−𝟏), 已知𝑹(𝑨)=𝟐, 求𝒂,𝒃的值。a=5,b=1

𝟓𝟔𝟑𝒃秩的性质：略（见课本）

(1) 𝑹(𝑨𝒎×𝒏)≤𝐦𝐢𝐧{𝒎,𝒏}; (2) 𝑹(𝑨)=𝑹(𝑨𝑻);

(3) 若𝑨~𝑩, 则𝑹(𝑨)=𝑹(𝑩);

(4) 若𝑷,𝑸可逆, 则𝑹(𝑷𝑨𝑸)=𝑹(𝑨).

第四章 向量组的线性相关性

一、向量组： 𝟏𝟐𝟑

比如：(𝟐),(𝟑),(𝟐)

𝟑𝟔𝟓

向量组的线性运算遵循矩阵的运算规律。

二、向量的线性表示 向量𝒃能由向量组𝑨:𝒂𝟏,𝒂𝟐,⋯,𝒂𝒎线性表示。 𝐤𝟏𝒂𝟏+𝒌𝟐𝒂𝟐+⋯+𝒌𝒎𝒂𝒎=𝒃 能否表示的判定： 𝑹(𝑨)=𝑹(𝑨,𝒃) P96 例3

三、向量组的等价 𝑨:𝒂𝟏,𝒂𝟐,⋯,𝒂𝒎 和 𝑩:𝒃𝟏,𝒃𝟐,⋯,𝒃𝒏 等价即就是两组向量可以相互线性表示。

等价的判定： 𝑹(𝑨)=𝑹(𝑩)=𝑹(𝑨,𝑩) P97 例4

四、向量组的线性相关性： 定义：向量组𝑨:𝒂𝟏,𝒂𝟐,⋯,𝒂𝒎 𝐤𝟏𝒂𝟏+𝒌𝟐𝒂𝟐+⋯+𝒌𝒎𝒂𝒎=𝟎成立时， （1）系数可以不全为零， 此时称𝑨组线性相关； （2）系数只能全为零，此时称称𝑨组线性无关。 理解：

A组线性相关：A组中至少有一个向量能被其余向量线性表示 A组线性无关：任何一个向量都不能被其余向量线性表示 常见的结论： （1）两个向量线性相关的充要条件对应分量成比例。 （2）含有零向量的向量组一定是线性相关的。 （3）相关时，越多越相关；无关时，越少越无关。 （4）向量组中个数大于维数时，线性相关 𝒏+𝟏个𝒏维向量是线性相关 （5）原组无关，加入一向量变成相关，则加入的向量

可由原无关组唯一表示

数字型向量组相关性的判定：

𝑨:𝒂𝟏,𝒂𝟐,⋯,𝒂𝒎线性相关的条件是𝑹(𝑨)<𝒎 线性无关的条件是𝑹(𝑨)=𝒎 P99 例6

非数字型的证明题型：要用定义法判定相关性。

五、向量组的秩和极大无关组 1. 定义： 𝑨:𝒂𝟏,𝒂𝟐,⋯,𝒂𝒎中数量最多的线性无关的部分组，称为𝑨组的 一个极大无关组，它是不唯一的。

注意：同一向量组中不同极大无关组中所含向量个数相同. 向量组的秩定义为：向量组中极大无关组所含的向量个数.

结论：向量组与它的极大无关组等价.

重点：向量组中不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示

2. 向量组的秩和矩阵秩的关系：

矩阵的秩=该矩阵列向量组的秩=该矩阵行向量组的秩 向量组的秩=向量组构成矩阵的秩。

例 求向量组𝒂𝟏=(𝟏,𝟐,𝟐)𝑻,𝒂𝟐=(𝟏,𝟎,𝟑)𝑻,𝒂𝟑=(𝟎,𝟒,−𝟐)𝑻的秩 𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎解 [𝟐𝟎𝟒]→[𝟎−𝟐𝟒]→[𝟎𝟏−𝟐]

𝟐𝟑−𝟐𝟎𝟏−𝟐𝟎𝟎𝟎

得𝑹(𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑)=𝟐

例 求矩阵𝑨的列向量组的一个极大无关组, 并将其余向量

用该极大无关组线性表示出来. 解 将矩阵𝑨化为行最简形矩阵

𝟏𝟑𝑨=(

𝟎𝟓

𝟏𝟐𝟏𝟒

𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟎

) →(𝟐𝟔𝟎𝟑−𝟏𝟎

𝟎−𝟏−𝟓

𝟏𝟐𝟔

)

𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

由𝑹(𝑨)=𝟐, 则向量组极大无关组含2个向量, 由行阶梯形矩阵

的非零首元在第1,2列, 故可取一个极大无关组为𝒂𝟏,𝒂𝟐. 𝒂𝟑,𝒂𝟒用极大无关组可表示为

𝒂𝟑=−𝒂𝟏+𝟐𝒂𝟐 , 𝒂𝟒=−𝟓𝒂𝟏+𝟔𝒂𝟐 P103 例3

例 已知向量组𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑线性无关, 设

𝒃𝟏=𝒂𝟏−𝒂𝟐+𝒂𝟑, 𝒃𝟐=𝒂𝟐+𝒂𝟑, 𝒃𝟑=𝟐𝒂𝟏−𝒂𝟐+𝟑𝒂𝟑, 证明𝒃𝟏,𝒃𝟐,𝒃𝟑也是线性无关.

解: 利用定义, 设𝒙𝟏𝒃𝟏+𝒙𝟐𝒃𝟐+𝒙𝟑𝒃𝟑=𝟎, 代入已知有 𝒙𝟏(𝒂𝟏−𝒂𝟐+𝒂𝟑)+𝒙𝟐(𝒂𝟐+𝒂𝟑)+𝒙𝟑(𝟐𝒂𝟏−𝒂𝟐+𝟑𝒂𝟑)=𝟎 整理得

(𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟑)𝒂𝟏+(−𝒙𝟏+𝒙𝟐−𝒙𝟑)𝒂𝟐+(𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝟑𝒙𝟑)𝒂𝟑=𝟎, 由于向量组𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑线性无关, 则有

𝒙𝟏+𝟐𝒙𝟑=𝟎

{−𝒙𝟏+𝒙𝟐−𝒙𝟑=𝟎, 𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝟑𝒙𝟑=𝟎

由𝑹(𝑨)=𝟑, 得方程组只有零解, 即𝒙𝟏=𝒙𝟐=𝒙𝟑=𝟎 故向量组𝒃𝟏,𝒃𝟐,𝒃𝟑线性无关. P100 例7

六. 方程组的解的结构

齐次:𝑨𝒙=𝟎 两个解向量的和仍然是其解

𝛏是其解向量, 则𝒌𝝃也是其解向量. 推广: 齐次的解向量的线性组合仍是其解. 基础解系：所有解向量的极大无关组，

通解就用该极大无关组（基础解系）的线性组合表示

非齐次: 𝑨𝒙=𝒃

𝝃,𝜼是其解向量, 则𝝃+𝜼不一定是其解向量, 而𝝃−𝜼是其对应齐次方程组的解向量.

设𝝃是对应齐次的解向量, 𝜼是非齐次的解向量, 则𝝃+𝜼是非齐次 解向量

非齐次线性方程组的通解=对应齐次的通解+非齐次的一个特解

例 已知向量组𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑线性无关, 若向量组𝒂𝟏+𝒂𝟐, 𝒂𝟐+𝒂𝟑,

𝒌𝒂𝟑+𝒍𝒂𝟏, 线性相关, 则𝒌,𝒍的关系为( 𝒌+𝒍=𝟎 ).

七、向量空间

对向量的加法和数乘封闭的向量组，称为向量空间。

向量空间看成向量组后，其极大无关组就是该向量空间的基

1. 𝑨,𝑩是同阶可逆矩阵，下列结论正确的是（ C ） （A）(𝑨𝑩)𝑻=𝑨𝑻𝑩𝑻 （B）|𝑨−𝟏|=|𝑨|

（C）(𝑨𝑩)−𝟏=𝑩−𝟏𝑨−𝟏 （D）𝑨𝑩=𝑩𝑨

2.设𝑨𝒎×𝒏,𝑩𝒔×𝒌, 𝑨𝑩存在的条件是（ 𝒏=𝒔 ） 𝟏𝟐𝟑

3.矩阵𝐀=(𝟎𝟒𝟓), 则该矩阵的秩𝑹(𝑨)=（ 2 ）

𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟑

4.矩阵𝐀=(𝟎𝟒𝟓)的三个列向量是线性（ 相关 ）

𝟎𝟎𝟎