2015-2016学年广东省佛山市石门实验中学八年级（上）第一次
月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把选择题的答案填在以下表格内）
1．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a+b=c
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a+b=c
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D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a+b=c
3．分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③17、8、15 ④4、11、9，其中能构成直角三形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
4．如图，已知正方形的B面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（ ）
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A．100 B．121 C． D．25
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，其中斜边上的高为（ ）
A．6cm B．8.5cm
C．
cm D．
cm
6．在长为3，4，5，12，13的线段中任意取三条可构成（ ） 个直角三角形． A．0 B．1 C．2 D．3
7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
8．如图，一圆柱高8cm，底面半径为短路程是（ ）
cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
9．有一个直角三角形，它的斜边比一条直角边长2cm，另一条直角边长6cm，则它的斜边长为多少cm（ ）
A．8 B．10 C．15 D．12
10．（3分）（2015春•扶沟县期中）在△ABC中，三边长满足b﹣a=c，则互余的一对角是（ ） A．∠A与∠B B．∠C与∠A C．∠B与∠C D．∠A、∠B、∠C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．直角三角形一直角边为3cm，斜边长为5cm，则它的面积为 ，斜边上的高为 ．
12．已知三角形ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为 三角形， 为最大角，最大角等于 度．
13．如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米．
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14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm．
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15．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
三、解答题（解答题要有必要的解题过程．第16题7分，其它每小题7分，共55分．） 16．台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？
17．如图，图（1）或图（2）两个图形都是用四个全等的直角三角形围成的图形，请你选择图（1）或图（2）中的有关面积的等量关系证明数学中的勾股定理．
18．如图，∠ABC为直角，BC长为3，AB长为4，AF长为12，正方形的面积为169，求三角形AFC的面积．
19．如图，某隧道是一个双向通车的隧道，隧道的截面是一个半径为5米的半圆形，一辆高4.2米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？为什么？
20．一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？试说明理由．
21．如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，B=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？
22．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=BB′=2，AD=3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
2015-2016学年广东省佛山市石门实验中学八年级（上）
第一次月考数学试卷
参与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把选择题的答案填在以下表格内）
1．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解答： 解：在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，推断出6+8=10，由勾股定理的逆定理得此三角形是直角三角形． 故选B．
点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a+b=c
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a+b=c
222
D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a+b=c 考点： 勾股定理．
专题： 计算题；证明题．
分析： 在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．
解答： 解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角． A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；
B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误； C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；
D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a+c=b，故本命题错误，即D选项错误； 故选 C．
点评： 本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和．
3．分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③17、8、15 ④4、11、9，其中能构成直角三形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一解答即可． 解答： 解：①6+8=100=10，符合勾股定理的逆定理；
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②5+12=13，符合勾股定理的逆定理； 222
③8+15=17，符合勾股定理的逆定理； 222
④4+9≠11，不符合勾股定理的逆定理； 故选：B．
点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角形．
4．如图，已知正方形的B面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（ ）
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A．100 B．121 C． D．25 考点： 勾股定理．
分析： 结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
解答： 解：根据题意知正方形的B面积为144，正方形C的面积为169， 则字母A所代表的正方形的面积=169﹣144=25． 故选D．
点评： 本题考查了勾股定理，解题的关键是：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，其中斜边上的高为（ ）
A．6cm B．8.5cm
C．
cm D．
cm
考点： 勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据直角三角形面积的两种不同求法列出关于CD的方程即可求解．
解答： 解：∵在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm， ∴AB=
=
=13cm；
∴S△ABC=×5×12=30cm； ∴×13CD=30， CD=
cm．
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故选C．
点评： 本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，巧妙利用直角三角形两种面积求法是解题的关键．
6．在长为3，4，5，12，13的线段中任意取三条可构成（ ） 个直角三角形． A．0 B．1 C．2 D．3 考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解答： 解：因为3+4=5，因此3，4，5可以构成直角三角形；
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因为5+12=169=13，故5，12，13可以构成直角三角形； 只能构成2个直角三角形， 故选：C．
点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
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A．6 B．7 C．8 D．9 考点： 勾股定理． 专题： 计算题．
分析： 在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，根据AM+BN﹣AB表示出MN的长，由AM=AC，NB=BC，等量代换后，将各自的值代入即可求出MN的长． 解答： 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9， ∴根据勾股定理得：AB=
=41，
又AM=AC，BN=BC，
则MN=AM+BN﹣AB=AC+BC﹣AB=40+9﹣41=8． 故选C
点评： 此题考查了勾股定理，利用了等量代换的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
8．如图，一圆柱高8cm，底面半径为短路程是（ ）
cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 解答： 解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×展开得：
∵BC=8cm，AC=6cm， 根据勾股定理得：AB=故选C．
=10（cm）．
=6（cm），
点评： 此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．
9．有一个直角三角形，它的斜边比一条直角边长2cm，另一条直角边长6cm，则它的斜边长为多少cm（ ）
A．8 B．10 C．15 D．12 考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理，列方程即可解答．
解答： 解：设斜边为x，那么根据勾股定理可以得出：（x﹣2）+6=x，解得：x=10， 因此它的斜边长是10cm． 故选B．
点评： 本题主要考查的是勾股定理的运用．
10．（3分）（2015春•扶沟县期中）在△ABC中，三边长满足b﹣a=c，则互余的一对角是（ ） A．∠A与∠B B．∠C与∠A C．∠B与∠C D．∠A、∠B、∠C 考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 先由勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 解答： 解：∵b﹣a=c，
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∴b=a+c，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°， ∴∠C与∠A互余． 故选B．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角是直角．同时考查了直角三角形两锐角互余的性质．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．直角三角形一直角边为3cm，斜边长为5cm，则它的面积为 6cm ，斜边上的高为 cm ．
考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理求得其另一直角边的长，再根据面积公式即可求得其面积，然后利用面积不变求出斜边上的高．
解答： 解：∵直角三角形一直角边为3cm，斜边长为5cm， ∴另一直角边=
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=4（cm），
∴面积=×3×4=6（cm）， 设斜边上的高为xcm， 则×5x=6， 解得：x=
．
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故答案为：6cm，cm．
点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据勾股定理求得另一直角边
的长．
12．已知三角形ABC中，BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为 直角 三角形， ∠A 为最大角，最大角等于 90 度．
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 由勾股定理的逆定理，可得此三角形是直角三角形，最大的内角∠A即是90°． 解答： 解：∵BC=41，AC=40，AB=9，9+40=41，
∴此三角形是直角三角形，∠A为最大角，最大角等于90°． 故答案为：直角，∠A，90．
点评： 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角形．
13．如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 4 米．
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考点： 勾股定理的应用．
分析： 在直角三角形ABC中利用勾股定理可得AB=AC﹣BC=10﹣6=8，进而得到AB长． 解答： 解：在Rt△ABC中，BC=3，AC=5，
由勾股定理，得AB=AC﹣BC=5﹣3=4， 所以AB=4（米）．
所以地面拉线固定点A到电线杆底部的距离为4米． 故答案为4．
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点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm．
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考点： 勾股定理．
分析： 根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
解答： 解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm．
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故答案为：49cm．
点评： 熟练运用勾股定理进行面积的转换．
15．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 4 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
2
考点： 勾股定理的应用． 专题： 应用题．
分析： 本题关键是求出路长，即三角形的斜边长．求两直角边的和与斜边的差． 解答： 解：根据勾股定理可得斜边长是
=5m．
则少走的距离是3+4﹣5=2m， ∵2步为1米， ∴少走了4步， 故答案为：4．
点评： 本题就是一个简单的勾股定理的应用问题．
三、解答题（解答题要有必要的解题过程．第16题7分，其它每小题7分，共55分．） 16．台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？
考点： 勾股定理的应用．
分析： 旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．
解答： 解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为（16﹣x）m，
根据勾股定理得：x+8=（16﹣x）， 可得：x=6m，即距离地面6米处断裂．
点评： 本题的关键是建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解．
17．如图，图（1）或图（2）两个图形都是用四个全等的直角三角形围成的图形，请你选择图（1）或图（2）中的有关面积的等量关系证明数学中的勾股定理．
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考点： 勾股定理的证明．
分析： 利用四个直角三角形三角形的面积加上中间正方形的面积，得出大正方形的面积，整理得出勾股定理即可．
解答： 解：①如图1正方形的面积=c，
用三角形的面积与边长为a﹣b的正方形的面积表示为4×ab+（a﹣b）， 即c=4×ab+（a﹣b）化简得a+b=c．
②如图2正方形的面积=（a+b），
用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c， 即（a+b）=4×ab+c化简得a+b=c．
点评： 此题考查勾股定理的证明，利用面积方法建立等式是证明勾股定理常用的方法．
18．如图，∠ABC为直角，BC长为3，AB长为4，AF长为12，正方形的面积为169，求三角形AFC的面积．
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考点： 勾股定理．
分析： 先利用勾股定理求出AC的平方，再由正方形的面积为169，得出FC的平方为169，利用勾股定理的逆定理得出∠FAC是直角，再利用三角形的面积公式即可求出三角形AFC的面积．
解答： 解：∵∠ABC为直角，BC长为3，AB长为4， ∴AC=AB+BC=16+9=25， ∵正方形的面积为169， ∴FC=169，
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∵AF+AC=144+25=169=FC， ∴∠FAC=90°，
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∴三角形AFC的面积=AF•AC=×12×5=30．
点评： 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的面积，三角形的面积，利用勾股定理的逆定理得出∠FAC是直角是解题的关键．
19．如图，某隧道是一个双向通车的隧道，隧道的截面是一个半径为5米的半圆形，一辆高4.2米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？为什么？
考点： 勾股定理的应用．
分析： 根据题意作出直角三角形，进而得出AC的长，即可得出答案． 解答： 解：不能通过该隧道． 理由：
当CO=3m时，过点C作AC⊥OC， 则AO=5m， 故AC=
=
=4（m），
∵4＜4.2，
∴一辆高4.2米，宽3米的卡车不能通过该隧道．
点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意作出直角三角形是解题关键．
20．一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？试说明理由．
考点： 勾股定理的应用． 专题： 应用题．
分析： 根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答． 解答： 解：由题意可知，AB=10m，AC=8m，AD=2m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=
=
=6；
当B划到E时，DE=AB=10m，CD=AC﹣AD=8﹣2=6m； 在Rt△CDE中，CE=
=
=8，
BE=CE﹣BC=8﹣6=2m．
答：梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米．
点评： 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
21．如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，B=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8﹣x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可． 解答： 解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB=由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C． ∴BE=4，∠DEB=90°． 设DC=x，则BD=8﹣x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE+ED=BD，即4+x=（8﹣x）． 解得：x=3． ∴CD=3．
点评： 本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出△DBE的三边长是解题的关键．
22．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=BB′=2，AD=3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
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==10．
考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 做此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，由于在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
解答： 解：如图1所示：
由题意得：AD=3，DC′=2+2=4， 在Rt△ADC′中，由勾股定理得AC′=如图2所示：
=
=5，
由题意得：AC=5，C′C=2， 在Rt△ACC′中，由勾股定理得；
=
，
∵．
∴第一种方法蚂蚁爬行的路线最短，最短路程是5．
点评： 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的路线．
