南洋模范中学初三第二周提高班(9月14日)

 初三数学提高班 2012、9、14 初三 班 学号 姓名 一、两个基本图形 1、如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，E在AB上，DE⊥EC. 求证：△ADE∽△BCE AD E BC 2、在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，将一个与∠B相等的角的顶点放在D处，角的两边与直线AB、AC分别相交于点E、F.求证：(1)△BDE∽△DEF∽△CDF；(2)DE、DF分别平分∠BEF、∠CFE；(3)DE2=BE·EF；2DF=CF·EF A F E C BD二、几个例子 DA1、如图，将矩形ABCD以AE为折痕进行折叠，使点D落在BC边上的点F处， 若AB=8，BC=10，则CE= E CB F2、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，E在AB上，DE⊥DC，AD=a，AB=b，BC=2a. 问在△ADE、△CDE、△EBC中有无相似的三角形？若有，请证明；若无，求相似时a与b的数量关系. DA E BC 3、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，E在AB上，DE⊥EC，AD+DE=AB=a，AE=m. 那么△BEC的周长是否与m有关？若有关，试用含a的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由. D A E BC 4、如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，P是边BC上的一个动点(与B、C不重合)，PE⊥AP. 问是否存在这样的点P，使△ABP与△APE相似. 若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由. EC D P AB 5、如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB边以3cm/s的速度运动，点Q从点C出发沿CD边以1cm/s的速度运动. 如果两点同时出发，当其中一点到达B点或D点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s). (1)当t为何值时，P、Q之间的距离为5cm；(2)联结PD，当t为何值时，∠DPQ=90°？ AD P Q BC 6、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点与点P重合，三角板两直角中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E. (1)设PD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域； (2)是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由. AD C B 7、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC边上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点分别为D、E，是否存在这样的位置，使得△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由. A E D C BP 8、如图，AB⊥AC，AB=AC=2，过点B作直线l⊥AB. 点P是直线l上点B左侧的一个动点，联结PC交AB于E，过点C作CD⊥PC交直线l于点D. (1)若PB=1，求PD的长； (2)在点P的移动过程中，△BDE与△ACE是否可能相似？若可能，求PB的长；若不能，请说明理由. C A E lDPB CE19、如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，CD=2，CH⊥AB于H，AE⊥BC于E，，F是CDEB4上一点，FG⊥CD交AE于G. (1)求CH的长；(2)若SCEGF1，求CF的长. S△ABE4 A DFCEGHB 参 一、两个基本图形 1、略；2、略. 二、几个例子 1、AF=AD=10，又AB=8，由勾股定理得BF=6，∴CF=4，Rt△ABF∽Rt△CEF，得CE=3. 感悟：求CE的长用相似较勾股定理方便. 2、△ADE∽△CDE；△EBC与△CDE不一定相似. 下面证明△ADE∽△CDE 思路1、由∠A=∠B=∠EDC=90°，想到一线三直角的基本图形. 过C作CF⊥AD的延长线于F(如图)，由Rt△ADE∽Rt△FCD， 得AEADa，得AE=a2b2，而DC=a2b2， DFFCbADDCaa2b2AEDEa22abba2baa2b2AEaDaFbB2aC ∵，，∴ADAE，又∠A=∠EDC=90°， DCDE ∴△ADE∽△CDE. 思路2，由AD//BC，且AD=1BC，想到三角形三角形中位线定理. 21HDAD1BC，得，知D为HC中点， 2HCBC2 延长BA、CD交于点H，由AD//BC，且AD=又ED⊥HC，∴DE是HC的垂直平分线，∴EH=EC，∴∠H=∠ECD，又∠H=∠ADE， ∴∠ADE=∠ECD，又∠EAD=∠EDC=90°，∴△ADE∽△CDE. 感悟：由AD//BC，且AD=1BC，想到三角形三角形中位线定理更方便. 23、△BEC周长与m无关. C△BECama2－m2设AD=x，由△ADE∽△EBC知，∵C△ADE=a+m，∴C△BEC= C△ADExxa2m2a2－m2在Rt△ADE中，AD+AE=DE，即x+m=(a－x)，∴x=，∴C△BEC=2=2a. 22aam2a222222∴△BEC周长与m无关. 感悟：相似三角形的性质中，相似比等于周长比最不易想到；而相似三角形判定中，直角三角形相似的判定(即斜边、直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似)最不易想到.今后一定要熟记. 4、若△ABP与△APE相似，由于∠EPA=∠PBA=90°，所以只有①∠EAP=∠APB或②∠EAP=∠PAB. 若∠EAP=∠APB，则AE//BC，又AD//BC，∴E与D重合，由一线三直角的基本图形知CPAB，即xa，DCPBabx-bb24a2整理，得x－bx+a=0，当b－4a≥0，即b≥2a时，x= 22222若∠EAP=∠PAB.则AP平分∠EAB，此时，∠AEP=∠APB=∠PEC，∴PE平分∠AEC，作PF⊥AE于E，则CP=PF=PB，∴P为BC中点。即CP=1b 2bb24a2综上所述，当CP长为，△ABP与△APE相似. 2想一想：最后结论中为什么只有CP情况？ bb24a2长为2，而没有CP=1b这种25、(1)作QM⊥AB于M，在Rt△PQM中，有PM2+QM2=PQ2，将PQ=5，QM=3，PM=7－4t，代入，并解得t=3或t=11，由题意t≤7，∴t=3时，PQ=5. 4434 (2)由一线三直角的基本图形可得33t，解得t=1或t=3 74t346、(1)审题时关键词“射线BA”要留心到.这样分成两种情况就很自然了. ①P在线段AD上时，由一线三直角的基本图形可得②P在线段DA延长线上时，仿上可得y=(2)存在. ①P在线段AD上时，易得②P在线段DA延长线上时，yAEPD123x，即，∴y=－x+x(06). 24C△AEP6x2，解得x=－2，舍去. C△PDC4C△AEPx62，解得x=14. ∴当x=14时，存在这样的点P，使△EAP周C△PDC4长等于△PDC周长的2倍，此时PD的长为14. 感悟：审清题意，一字一句读题，划出关键词很重要.否则就会漏掉一半解，扣掉一半分数.切切记住. 7、显然△BPD∽△CEP，如果△PDE为直角三角形，由∠DPE=∠B≠90°， 故只能∠PDE=90°或∠DEP=90°，过A作AF⊥BC于F，则△PDE∽△ABF. ①如果∠PDE=90°，则可设DP=3k，那么DE=4k，PE=5k，∴由△BDP∽△CEP知DP3 PE5B AEDCBDDP312<5=AB. ，而PC=4，解得BD=PCPE55PF②如果∠DEP=90°，则可设DE=4k，DP=5k，PE=3k，仿①有BD=所以，当BD长为12时，△PDE为直角三角形. 520>5=AB，舍去. 3感悟：5、5、6也是一个基本三角形，它是由两个全等的3、4、5的直角三角形组成的，由∠DPE=∠B≠90°，所以如果△PDE为直角三角形，那只能和3、4、5的直角三角形相似，那么夹直角的两条直角边只能是3:4，再由一线三等角基本图形知BD与PC是对应边，由此写出两种情况分别解之即可. 但由于D在AB上，BD应小于AB的长，故对解得的BD长需检验，舍去不合题意的解. 8、(1)过C作CF⊥PD于F，在Rt△PCD中，由射影定理易求PD=13. 3(2)如果△BDE∽△ACE，由∠EBD=∠A=90°，那么只能有以下两种情况： ①∠AEC=∠BED，∵∠AEC=∠PEB，∴∠PEB=∠BED，又EB⊥PD，∴B为PD中点，即B为Rt△PCD斜边PD上的中点，∴PD=2BC=22 感悟：证出B为PD中点，但想不到联结BC，B也是Rt△PCD斜边PD上的中点，这是第一小题仅求做出，没能认真地好好想一想. ②∠BED=∠ACE，∵∠ACE=∠EPD，∴∠EPB=∠BED，进而∠PED=90°=∠PCD，得ED//CD，这与ED与CD相交于点D矛盾，舍去. ∴仅当PB=22时，△BDE∽△ACE. 9、(1)BH=1，Rt△BCH∽Rt△ABE，得∴CH=BHBE14k1，设CE=k，则EB=4k，∴，k2=， CBAB5k455k2 12. DFCEM(2) 延长DC、AE交于M，显然Rt△CEM∽Rt△FGM∽Rt△CHB∽Rt△ABE. 且S1BHCE1CE1， ，∴EM=2k，∵△CEMS△ABEEB416CHEM2222GAHBSS△EGFS141EM1EM，∴△CEM，又△CEM∽△MFG，∴△CEM， ，∴S△MFGFMS△ABE416FMS△MFG55∴FM=5·2k=5·2·15=2. 又CM=5k=515=1，∴CF=2－1=1. 本题另外的解法你会吗？ 感悟：朱老师语录： 看到面积想到：1、相似三角形的面积比等于相似比的平方. 2、同底同高的两个三角形等积；同底不同高的两个三角形的面积比等于高之比；同高不同底的两个三角形的面积比等于底之比. 3、一个图形的面积等于各部分面积之和. 4、常用的面积公式(三角形面积公式:S=1ah、平行四边形面积公式:S=ah等2等，需非常熟练地滚瓜烂熟、脱口而出、倒背如流地背烂).