基于分数阶微分的边缘检测方法的研究

毕业设计(论文)

题 目 基于分数阶微分的边缘检测

方法的研究 专 业 信息与计算科学 班 级 2006级1班 学 生 陈 辉 指导教师 汪达成 蒋 伟

重庆交通大学 2010年6月 目 录 摘

要 .................................................................................................................................... I

ABSTRACT ........................................................................................................................II

第一章 引

言 ................................................................................................................. 1

1.1 课题研究背景和意

义 ............................................................................................ 1

1.2 边缘检测的研究现

状 ............................................................................................ 1

1.3 本文结

构................................................................................................................ 2 第二章 常用边缘检测方法 ................................................................................................ 3

2.1 经典算子边缘检

测 ................................................................................................ 3

2.2 基于小波变换的边缘检

测 ..................................................................................... 4

2.3 基于数学形态学的边缘检

测 ................................................................................. 6

2.4 其他学科在边缘检测中的应

用 ............................................................................. 7

2.5 本章小

结................................................................................................................ 8 第三章 基于分数阶微分的边缘检测方

法 ......................................................................... 9

3.1 预备知

识................................................................................................................ 9

3.2 一种新的边缘检测模

型 ...................................................................................... 11

3.3 新模型与常用算法的对比实

验 ........................................................................... 13

3.4 本章小

结.............................................................................................................. 16

第四章 总结及未来工

作 .................................................................................................. 18

4.1总

结 ...................................................................................................................... 18

4.2 未来的工

作 .......................................................................................................... 18 致

谢 ............................................................................................................................... 19

参考文

献 ........................................................................................................................... 20

附

录 ............................................................................................................................... 21

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文) 摘 要

图像边缘检测作为数字图像处理的研究热点之一，不仅得到人们广泛的重视和研究，也在实际中得到大量的应用。图像边缘检测效果的好坏直接关系到其后续的图像处理工作，例如图像分割，模式识别等。其目的是提取图像结构信息，剔除不相关的信息。但现有的图像边缘检测方法还存在一些不足，如不能较好的提取图像边缘和不

。近年来，基于分数阶微分(Fractional Differential)的图像边缘检能得到更高的信噪比等

测的研究受到国内外相关学者的极大关注，并取得了一系列的成果。 本文采用了分数阶微分方法对图像边缘检测进行了研究，在Sobel算子的基础上，对其进行推广和改进，得到了一种Sobel算子的分数阶微分新模型，并用直接差分法对该模型进行数值仿真。仿真结果表明，本文模型对图像边缘的准确性高，引入的非边缘噪声少，获得了较好的边缘检测效果。

关键词 边缘检测，分数阶微分，Sobel算子 I

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究 ABSTRACT

Image edge detection as one research topic of the digital image processing, was highly researched and attached by people, and were applied widely in many fields. The quality of image edge detection is directly related to the follow-up image processing tasks such as image segmentation, pattern recognition, and so on. Its purpose is to extract the structure

information of images and eliminate the irrelevant information. However, there was many weaknesses in the present methods of image edge detection. For instance，the present

methods of image edge detection fails to extract the edge of image better and get a higher Signal Noise Ratio(SNR). In recent years, so many researchers had studied image edge detection based on Fractional Differential, and got a series of success.

This paper has discussed the methods of image edge detection based on Fractional Differential Equations, extended and improved the Sobel operator, got a new model of Fractional Differential Equations of Sobel operator. Then we use the direct difference method to simulate the model. The simulation results shows that the new model has the features of high accuracy of image edge and little non-edge noise, got a better effect of edge detection.

KEY WORDS edge detection, fractional differential, Sobel operator II

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文) 第一章 引 言

1.1 课题研究背景和意义

随着计算机科学技术的不断发展以及人们在日常生活中对图像信息的不断需求，数字图像处理技术在近年来得到了迅速的发展，成为当代科学研究和应用开发中一道亮丽的风景线。由于数字图像处理技术以其信息量大、处理和传输方便、应用范围广等一系列优点，图像处理成为人类获取信息的重要来源和利用信息的重要手段，并在宇宙探测、遥感、生物医学、工农业生产、军事、、办公自动化等领域得到了广泛应用，显示出广泛的应用前景。因此图像处理技术已成为计算机科学、信息科学、生物科学、空间科学、气象学、统计学、工程科学、医学等学科的研究热点。

边缘检测作为图像处理的一个最基本内容，作为一个视觉处理过程，具有很长的研究历史，一直以来是人们研究的重点和方向，其学术思想非常活跃，新理论、新方法不断涌现。其原因一方面由于课题本身的重要性，另一方面也反映了这个课题的深度和难度。目前已出现了诸多边缘检测的理论和方法，主要包括微分算子法，基于小波变换法，基于数学形态学法以及基于模糊数学和神经网络法等，其各有利弊，有待于进一步的进展和改善。

1.2 边缘检测的研究现状

边缘是图像的基本特征，图像边缘是指图像中周围像素灰度具有阶跃变化或屋顶变化的那些像素的集合，它广泛存在于物体与背景之间、物体与物体之间、基元与基

[2][3]元之间。图像的边缘是图像最基本的特征之一。早在1956年就有人提出边缘检测算子，其后一直是研究的难点和热点。

边缘检测是图像处理和计算机视觉领域的一个基本问题，也是图像后续处理，如图像分析、模式识别的前提。检测并提取边缘对图像特征的提取、图像分割、图像分析与理解具有重要意义。迄今为止，人们已发现许多种图像的边缘提取方法，

但其各有优点，也存在不足。如Laplacian算子不具有方向性，对灰度突变敏感，定位精度

[3]高，同时对噪声敏感，且不能获得边缘方向等信息。Roberts算子检测水平和垂直边

[3]缘的效果好于斜向边缘，定位精度高，但受噪声影响大。Sobel算子和Prewitt算子的区别只是选用的模板不同。它们对噪声都具有平滑作用，能滤除一些噪声，去掉部

1

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究

分伪边缘，定位比较准确和完整，但同时也平滑了真正的边缘;容易出现边缘多像素

[4]宽的情况。因此，这四种基于微分运算的算子方法只能进行粗糙的边缘检测。当阈值偏大时，容易丢掉某些弱边缘;当阈值偏小时，又引入了许多非边缘的噪声。Canny算子是目前公认比较好的另外一种经典的边缘检测算子方法，该方法仅当弱边缘与强边缘连接时，弱边缘才能输出。这种边缘检测方法能够检测到更多的弱边缘，不足之

[3][4]处在于检测过细容易引入非边缘噪声。

论文针对边缘检测现有方法的某些不足，利用分数阶微分理论，结合现有的边缘检测方法，获得了一种新的边缘检测模型。该新模型既能克服现有边缘检测算法的部分缺陷，又能在弱边缘和非边缘噪声之间取得较好的平衡。实验结果表明，该模型边缘检测准确性高，引入的非边缘噪声少的特点，能获得较好的边缘检测效果，是一种比较有效的边缘检测方法。

1.3 本文结构

全文共分四章，论文的主要结构如下:

第一章 引言。详细介绍了论文选题的研究背景和意义，分析了图像边缘检测方法研究现状和存在的问题，由此引入本文研究重点:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究。

第二章 常用的图像边缘检测方法。论文在本章主要介绍了常用的图像边缘检测方法及其基本原理。

第三章 基于分数阶微分的边缘检测模型的建立及研究。本章首先介绍了分数阶微分的相关理论，为新模型的建立及数值仿真提供理论依据。然后以分数阶微积分理论为基础，结合现有的Sobel算子方法，得到了一种基于分数阶微分的图像边缘检测新模型，并对该模型进行仿真实验。

第四章 总结及未来的工作，并指出本文模型存在的不足和需改进之处以及今后研究的方向。

2

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文) 第二章 常用边缘检测方法 2.1 经典算子边缘检测

传统的边缘检测算法通过梯度算子来实现。在求边缘的梯度时，需要对每个像素位置计算，在实际中常用小区域模板卷积来近视计算。模板是的权值方阵。利NN，

用不同形式的微分算子，计算各像素灰度的空间导数，给出微分锐化图像。经典的边

[2]缘检测算子有Robert算子、Sobel算子、Prewitt算子、Kirsch算子和Laplacian算子。Roberts算子是算子，对具有陡峭边缘的低噪声图像响应最好。其他的算子，22，33，对灰度渐变和噪声较多的图像处理较好。但Laplacian算子没有平滑噪声的能力。

Roberts算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值来检测边缘。它由下式给出:

22 (2.1) gxyfxyfxyfxyfxy(,)((,)(1,1))((,1)(1,)),,，，，，,， 其中fxy(,)是具有整数像素坐标的输入图像，通过与阈值进行比较，获得二值边缘轮廓图。该方法检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高，但受噪声影响大。

Sobel算子和Prewitt算子都是利用两个3×3模板，图像中的每一个点都用这两

gxy(,)个模板做卷积。一个模板是用来求水平梯度,另外一个用来求垂直梯度x 22gxy(,)gxygxygxy(,)(,)(,),，，最终求出总梯度，然后通过阈值进行比较，yxy

获得二值边缘轮廓图。二者的区别只是在于选用的模板不同。这两种方法对噪声具有平滑作用，能滤除一些噪声，去掉部分伪边缘，但同时也平滑了真正的边缘，定位比较准确和完整，但容易出现边缘多像素宽的情况。这两种算子对灰度渐变和具有噪声的图像处理的效果好。

Kirsch算子是用不等权的个循环平均梯度算子分别于图像进行卷积，取最833，

大值作为输出，可检测各个方向上的边缘。它对灰度渐变和噪声较多的图像处理较好。

Laplacian算子是二阶微分算子，利用边缘点处二阶导函数出现零交叉原理检测边缘。它不具有方向性，对灰度突变敏感，定位精度高，同时对噪声敏感，且不能获得边缘方向等信息。

Canny把边缘检测问题转换为检测单元函数极大值问题，根据边缘检测的有效性

3

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究

和定位的可靠性，研究了最优边缘检测器所需的特性，推导出最优边缘检测器的数学表达式。对于各种类型的边缘，Canny边缘检测算子的最优形式是不同的。Canny给出了评价边缘检测性能优劣的三个指标:好的信噪比;好的定位性能;对单一边缘仅有唯一响应，即单个边缘产生多个响应的概率要低，并且虚假边缘响应应得到最大抑制。Canny首次将上述判据用数学的形式表示出来，然后采用最优化数值方法，得到了对应给定边缘类型的最佳边缘检测模板。在二维情况下，Canny算子的方向性质使边缘检测和定位性能比较好，具有更好的抗噪性能，而且能产生边缘梯度方向和强度两个信息，为后续处理提供了方便。但也存在不足之处:为了得到较好的结果通常需要使用较大的滤波尺度，容易丢失一些细节。

[3] LoG(Laplacian of Gaussian)算子 22xy，222,xy，,2,22,2 (2.2) ,,gxye(,)()4,

,其中，gxy(,)是对图像进行处理时选用的平滑函数;为整数坐标，为高斯分布xy,

的均方差。对平滑后的图像做拉普拉斯变换得 2 (2.3) hxygxyfxy(,)(,)(,),,,,,

2根据卷积求导法有. 即先对图像平滑后的拉氏变换hxygxyfxy(,)(,)(,),,,,, 求二阶微分，得到一个兼有平滑和二阶微分作用的模板，再与原来的图像进行卷积。

,LoG算子通过检测二阶导数过零点来判断边缘点，因此高斯函数中越大，检测到的图像细节越丰富，但对噪声抑制能力相对下降，易出现伪边缘;反之，则抗噪声性能提高，但边缘定位准确性下降，易丢失许多真边缘。

2.2 基于小波变换的边缘检测

[5]小波变换是近年得到广泛应用的数学工具。与傅立叶变换和窗口傅立叶变换相比，小波变换是时间和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息，它通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的很多困难问题，因而被誉为“数学显示器”，作为多尺度通道分析工具，小波变换为信号在不同尺度上的分析和表征提供了一个精确和统一的框架。

,(,)xy在文献[5]中，假设光滑函数满足 4

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文) (2.4) ,,(,)1,lim(,)0xydxdyxy,,2,,Rx,,x,, 定义下面两个小波函数

,,,,(,)(,)xyxy12,,,,(,),(,)xyxy (2.5) ,,xy

1xy11记，对图像信号的两个卷积型连续小波变换为 fxy(,),,,(,)(,)xys2sss ,11,,,,,Wfxyfsf(,)(),sss,x (2.6) ,22Wfxyfsf(,)(),,,,,,sss,y 12Wfxy(,)Wfxy(,)s和分别是在尺度时函数沿水平方向和垂直方向的偏fxy(,)ss

,导数。它对应于图像水平方向和垂直方向的边缘信息，可以看做被所平滑图像s

jfxy(,)的梯度矢量的2个分量。定义在尺度时，图像梯度矢量的模和幅角(梯s,2

度矢量和水平方向的夹角)为:

22,12MfxyWfxyWfxy(,)(,)(,),，jjj,222 (2.7) ,,112,，，AfxyWfxyiWfxy(,)tan(,)(,),，jjj，，222,

Afxy(,)fxy,,(,)由上式可以看出，平滑后的图像的拐点对应于由梯度矢量方js2

Mfxy(,)Afxy(,)向上的局部模极大值。因此只需沿梯度矢量方向检测模jj22 Mfxy(,)的极大指点，这些极大值点的位置就给出了图像的一个多尺度边缘。 j2

信号突变点检测及由边缘点重建原始信号或图像是小波变换应用的一个很重要的方面。从边缘检测的角度看，小波变换有以下几个优点:(1) 小波分解提供了一个数学上完备的描述; (2) 小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大地减小或去除所提取的不同特征之间的相关性;(3) 具有“变焦”特性;在低频段可用高频分辨率和低时间分辨率;在高频段可用低频率分辨率和高时间分辨率;(4) 小波变换可通过快速算法来实现。

信号的突变点在小波变换域内常对应于小波变换系数模的极值点或过零点。 [5]Mallat率先将小波变换用于信号奇异点的检测，奠定了小波在信号检测方面应用的基础。随后，许多学者开发了基于小波变换的各种边缘检测方法:采用以零点为对称

5

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究

点的对称二进小波来检测屋顶状边缘，用以零点作为反对称点的二进小波来检测阶跃边缘;采用了多进制小波来检测边缘;正交小波也被用来提取多尺度边缘;采用Haar小波来检测边缘，并通过图像奇异度的计算和估计来区分一些边缘类型。另外，巴布小波、B样条小波等也被用于边缘检测。

基于小波的边缘检测算法可以满足不同分辨率下对局部细节进行边缘提取的需要，尤其对于含噪图像，在提取图像边缘时对噪声的抑制效果更好。但由于空域边缘提取的阈值设定、频域高通滤波器和小波函数的参数设定影响边缘提取的效果，所以该算法的自适应能力差。

2.3 基于数学形态学的边缘检测

[6]数学形态学是一种应用于图像处理和模式识别领域的新方法，是一门综合了多学科知识的交叉学科，建立在严格的数学理论基础之上，用于描述数学形态学的语言是集合论。Minkowski结构和差运算，可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测等图像处理问题。数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程，其基本运算是腐蚀和膨胀。先腐蚀后膨胀的过程称为“开”运算，它具有消除细小物体，在纤细处分离物体和平滑较大物体边界的作用;先膨胀后腐蚀的过程称为“闭”运算，具有填充物体内细小空洞，连接临近物体和平滑边界的作用。

数学形态学的腐蚀和膨胀运算，本质为用结构元素映射输入图像。设为图像矩A阵，为结构元素矩阵，进行数学形态算就是用对进行操作。 BBA

2Z、为中的集合，结构元素对图像的膨胀和腐蚀分别定义为: ABBA

,ˆ膨胀:ABxBA,,,,(),,x, (2.8) , 腐蚀:ABxBA,,,(),,,x,

x其中表示集合平移的位移量，表示空集，和分别表示膨胀和腐蚀运算符。 ,,, 数学形态学的两种重要的变换为开运算和闭运算，其定义分别为:

开运算:ABABB,,,(), (2.9) ,闭运算:ABABB,,,,(),

,其中和分别表示开运算和闭运算的运算符。

数学形态学进行图像处理的基本方法是:用具有一定形状的结构元素探测目标图像，通过检验结构元素在图像目标区域中的可放性和填充方法的有效性来获取有关图像形态结构的相关信息。其中一个很关键的步骤是对结构元素的选取，一般情况下，

6

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文)

小的结构元素去噪能力弱但能检测到好的边缘细节;大的结构元素去噪能力强但检测到的边缘较粗糙。同时，不同结构元素对不同图像边缘感应能力不同。该算法简单，适于并行处理，且易于硬件实现，适于对二值图像进行边缘提取。由于在不同的应用场合，结构元素的选择及其相应的处理算法是不一样的，结构元素的大小、形状选择合适与否，将直接影响图像的形态处理结果。

灰度数学形态学是二值数学形态学对灰度图像的自然扩展，在灰度形态学中，二值形态学所用到的交、并运算分别用最大、最小极值运算来代替。Soille将灰度形态

[6]学梯度与阈值相结合用于边缘检测，可较好检测出被噪声污染图像中的边缘。从目前的研究进展看，数学形态学理论体系是未来的发展目标，它无论在数学意义上还是在实际问题中都具有重要价值。用数学形态学进行图像边缘检测算法简单、结构元素选取灵活，但算法的适应性较差。

2.4 边缘检测在其它方面的应用 2.4.1 模糊数学在边缘检测中的应用

为了用不精确的知识表达事件，人们提出了模糊集合的概念。模糊集合理论能较好地描述人类视觉中的模糊性和随机性。在模式识别的各个层次都可以使用模糊集合理论，如在特征层可将输入模式表达成隶属度值的矩阵;在分类层可表达模糊模式的多类隶属度值，并提供损失信息的估计。模糊集合理论主要可解决在模式识别的不同层次中，由于信息不全面、不准确、含糊、矛盾等造成的不确性问题。八十年代中期，

[7]Pal和King等提出了一种图像边缘检测模糊算法，首次将模糊集理论引入到图像的边缘检测算法中，能有效地将物体从背景中分离出来，并在模式识别和医

疗图像处理中获得了良好的应用。该算法的思想是首先用隶属度函数G将图像映射成一个模糊隶属度矩阵，然后对该矩阵进行多次非线性变换，以得到经过增强的图像，最后用“min”和“max”算子提取边缘。基于模糊理论的边缘检测算法的优势就是自身的数学基础，缺点是计算要涉及变换以及矩阵求逆等较为复杂的运算，另外在增加对比的同时也增强了噪声。

2.4.2 基于人工神经网络的边缘检测方法

[8]人工神经网络是进行模式识别的一种重要工具和方法。它需要的输入知识较少，也比较适合于并行实现。近年来用神经网络提取图像边缘已成为一个新的研究分支。在各种神经网络模型中应用最广泛的一类是前馈神经网络，用于训练前馈网络的最常

7

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究

用的方法是BP算法。目前已有很多基于BP网络的边缘检测算法，但是BP网络收敛速度很慢，容易收敛于局部极小点，且数值稳定性差，参数难以调整，很难满足实际应用的要求。遗传算法是一种新发展起来的优化算法，是基于自然选择和基因遗传学原理的搜索算法，具有计算简单、功能强的特点，已应用于边缘检测算法中。在1988年美国加州大学的Chua教授和Lin Yang博士则提出用细胞神经网络来检测图像边缘，这种方法与传统方法完全不同，首先将图像映射为一个神经网络，每个像素点是一个神经元，然后通过动态方程引导神经元的状态向神经网络所定义的最低能量方向变化，来实现边缘提取。

2.5 本章小结

本章主要对常用的边缘检测方法进行较详细地介绍，主要包括:经典算子边缘检测、基于小波变换的边缘检测、基于数学形态学的边缘检测、基于模糊数学和人工神经网络的边缘检测方法，为后面的实验对比提供理论依据。

8

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文) 第三章 基于分数阶微分的边缘检测方法

分数阶微积分也叫非整数阶微积分，是微积分学的一个分支，是整数阶微积分运算的一种推广，或者说整数阶微分是分数阶微分的一种特例。近年来，采用分数阶微分理论进行图像处理是一个新的热点，部分研究成果已经表明分数阶微分在数字图像处理中的优越性。作为图像处理的基本内容之一，简而言之，边缘检测就是锐化高频边缘的同时平滑图像的低频灰度变换平坦区域，并且突出图像纹理细节信息，以便检测出的边缘尽可能丰富和准确。

由于微分运算对图像的高频成分有提升作用，一阶或二阶对高频成分特别敏感，在提取边缘的同时受到噪声的影响较大，所以论文第二章介绍的常用边缘检测方法中，往往不能得到比较理想的结果。例如，小波变换容易出现边缘存在不连续的现象;基于数学形态学的边缘检测难点是结构元素的选取，通常情况下检测的边缘比较粗糙，有时候不能得到比较理想的结果。在文献[9]、[10]、[11]中，提出了分数阶微积分理论用于数字图像处理，定义了相应地微分运算。分数阶微分是整数阶微分运算的推广，通过理论分析不难发现，对信号进行分数vv(01),,阶微分运算时，在信号高频分量被大幅提升的同时中频信号相应有所增加，且信号的低频没有进行大幅衰减，而是进行了非线性的保留。随后，很多学者把分数阶微分理论应用于数字图像处理的

[11]各个领域，如图像分割、图像增强等。

针对现有方法的不足，我们以分数阶微积分理论为基础，结合现有的Sobel算子方法，提出了一种新的边缘检测模型。实验结果表明，本文提出的新模型既能克服经典边缘检测算法的部分缺陷，又能在边缘和噪声之间取得较好的平衡，并且一定程度上检测出图像的纹理细节信息，达到了边缘检测的目的。

3.1 预备知识

3.1.1 微分运算对信号的作用

2ftLR()(),对于任意能量函数(或信号)，设其傅里叶变换为

,it,ˆ. (3.1) fftedt,,()(),R ，kkZ(),ft()假设的阶微分存在 9

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究 kdft()()kftDft()(),,. (3.2) kkdt [9]则其傅里叶变换为:

kˆˆˆˆ. Dfifdf,,,,,,,()()()()()()kk

kˆˆ其中称为阶微分乘子函数，的指数形式为: di,,,kd,()()()kk

ˆ,ˆdai()()exp[()],,,,,kkk,， (3.3) kZ,,k,kˆa()||,()sgn(),,,,,,,,kk,2 ()vDft()将式(3.1)的整数阶推广到任意阶算子，对应的，就得到分数阶导数()vR,kv

在频域的形式:

vˆˆˆˆ. Dfifdf,,,,,,,()()()()()()vv ˆ其中，乘子的指数形式为: d,()v

ˆ,ˆdai()()exp[()],,,,,vvv, (3.4) ,v,vˆa()||,()sgn(),,,,,,,,vv,2 从信号处理的角度来看，信号的分数阶微分的物理意义可以理解为广义的调幅调

[9]相，其振幅随频率呈分数阶幂指数变化，相位是频率的广义Hilbert变换。这样，得

4

到1阶、2阶和分数阶微分的幅频特性曲线如图3.1所示。 幅频特性图3.5 3 2.5w=2 2w=1

幅度D(w)1.5w=0.7 1 w=0.5 w=0.20.5

000.20.40.60.811.21.41.61.82频率w 图3.1 信号的幅频特性图

可以看出，微分运算都有提高信号高频的作用，且随频率和微分阶数的增加呈非

[9][10]线性急速增长，同时对信号的低频有消弱作用。从图中可以看出，阶微分对信2

10

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文) 号高频成分的提升大于阶微分，且对低频信号的消弱也明显强于阶微分。对于分数11阶微分，当时，设，则对应阶段，信号高频成分的幅度被大幅提,101,,v,,,

升，虽小于、阶微分，但也获得了足够的提升;同时在阶段，信号中频121,,,,也有所加强，相对于、阶微分增加幅度较小;在段，信号低频幅度随频率1201,,,的降低呈非线性保留，表明分数阶微分在加强图像高中频成分的同时，也对信号的低

频成分做了非线性保留。 3.1.2 分数阶微分算子的实现

m文献[9]中，如果函数存在阶连续导数，在时，至少aRa,,,0ftat(),,m，1,, av取到的整数部分，则的阶导数定义为 ft() ta,

h1(1),，vGvm. (3.5) Dftmh,,,lim(1)(),atv0h,hvm,,，(1)0m,

其中，Gamma函数,,,()(1)!nn，若一元信号ft()的持续时间为tat,[,]，将信号持

h,1ta,,,续时间[,]at按单位等分，得到，可以推导出一元信号分数h,1nta,,,,,，，,,h，，

阶微分的差分近似表达式为:

vdftvvv()()(1)(1),,，,,，,，,,，,，，,ftvftftftn()()(1)(2)(). (3.6) vdtnvn2!(1),,，，3.2 一种新的边缘检测模型

如第二章的介绍，Sobel算子是两个3×3的行和列模板，图像中的每一个点都用

[1]这两个模板做卷积。Sobel算子的行梯度模板和列梯度模板分别为 ,,,,101121，，，，11,,,,SS,,,202,000. RC,,,,44,,,,,101121，，，， 设为所要处理的图像矩阵，则Sobel算子的行梯度差分形式为: F 1GijFijFijFijFijFijFij,,，,，，，,,，，,,,，,. (3.7) (,)[(1,1)(1,1)2(1,)2(1,)(1,1)(1,1)]R4

根据差分的定义，将式(3.7)中每一项转变为微分形式，采用步长为，可得式(3.8)x,2如下:

,，，Fxy(1,1). (3.8) FxyFxy(1,1)(1,1)2,，,，，,,,x 11

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究 同理，得: ,，Fxy(1,). (3.9) FxyFxy(1,)(1,)2,,，,,,x ,，,Fxy(1,1). (3.10) FxyFxy(1,1)(1,1)2,,,，,,,,x Gij(,)的微分形式为 所以，R

1(1,1)(1,)(1,1),，，,，,，,FxyFxyFxy，，Gxy(,)2,,，，. (3.11) R,,2,,,xxx，，

同理可得Sobel算子的列梯度是微分形式为:

，，1(1,1)(,1)(1,1),,，,，,，，FxyFxyFxy. (3.12) Gxy(,)2,,，，C,,2,,,yyy，，

Sxy(,)将推广到分数阶微分形式 R

vvv，，1(1,1)(1,)(1,1),，，,，,，,FxyFxyFxyv. (3.13) Gxy(,)2,,，，R,,vvv2,,,xxx，，

根据(3.6)式，取其前三项，得到式(3.13)各项的近似计算公式如下: v,,，，,,，Fxyvv(1,1)()(1),，，，,，，,，FxyvFxyFxy(1,1)()(,1)(1,1),,v,x2,v,，,,，

Fxyvv(1,)()(1),,，，,，,FxyvFxyFxy(1,)()(,)(1,), (3.14) ,v,x2,v,,，,,,，Fxyvv(1,1)()(1),，,，,,，,,FxyvFxyFxy(1,1)()(,1)(1,1).,v,x2,

这样，得到Sobel算子分数阶行梯度模型如下: 1vGijFijFijFij(,){(1,1)2(1,)(1,1),,，，，，，，,R2 (3.15) ，,，，，,()(,1)2(,)(,1)vFijFijFij,, 2vv,，,，，,，,,FijFijFij(1,1)2(1,)(1,1)},,2 同理可得Sobel算子分数阶列梯度模型为:

1vGijFijFijFij,,,，，，，，，(,){(1,1)2(,1)(1,1)C2 (3.16) ，,,，，，vFijFijFij()[(1,)2(,)(1,)] 2vv,，,,，,，，,FijFijFij[(1,1)2(,1)(1,1)]}2

mn，一般来说，在的图像上，用大小的滤波器掩模进行线性滤波由下FMN， [9]式给出: 12

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文) ab

SxywstFxsyt(,)(,)(,),，， (3.17) ,,,,,,satb

mn,,11其中，，为了得到一幅完整的经过滤波处理的图像，必须对ab,,,22

一次应用上述公式。这样就保证了对图像中的所xMyN,,,,0,1,2,,1.0,1,2,,1 有像素进行处理。

这样，得到新模型行梯度的分数阶模板如下

2，，vv,,v1,,2,,12v Sijvvv(,)22,,,,,,R2,,2vv,,,,v1,,2，， 同理，可得新模型的列梯度分数阶模板如下 ，，

,,121,,1v Sijvvv,,,,,(,)2,,C2,,22vvvv,,2,,vv,，，22 这样，就得到Sobel算子分数阶形式的空间梯度的振幅如下: vvv22GijGijGij(,)((,))((,)),，. (3.18) RC 其近似表达式为:

vvvGijGijGij(,)(,)(,),，. (3.19) RC 3.3 新模型与常用算法的对比实验

[13][14]在此节中，将对本文模型进行计算机仿真实验。为了得到较好的实验效果，对新模型的参数进行选取，由于实验中有两个参数，选用了两幅图像各做了两组实验，即开始将其中的一个参数阈值固定，选取不同的阶数来观察实验效果，从而确定较优的阶数，然后以得到的阶数，用同样的方法确定阈值，这样就得到了比较好的阈值和阶数;另一组实验是本文方法与其它常用的边缘检测方法进行对比，从实验上证明本文得到的新模型是一种更有效的方法。

第一组和第二组实验是用上述方法对tire图进行边缘检测处理，得到的结果如图

v5070,3.2和图3.3所示，从图中可以看出，当取在左右，阈值在之间时得到的0.7

13

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究 边缘检测效果较好。 第三组和第四组实验是对cameraman图进行的边缘检测处理，如图3.4、3.5所示。

v其中，(a)为原始图像，(b)~(f)是本文模型选取不同的参数得到的边缘检测结果。和T分别表示边缘检测的阈值和分数阶微分的阶数。

(a) 原图 (b) (c) v,0.1v,0.3

(d) (e) (f) v,0.5v,0.7v,0.9

图3.2 取定阈值时不同阶数微分的边缘检测图 T,80

(a)原图 (b) (c) T,30T,50

(d) (e) (f) T,70T,90T,110

图3.3 取定微分阶数时不同阈值的边缘检测图 v,0.7 14

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文)

(a) 原图 (b) (c) v,0.5v,0.6

(d) (e) (f) v,0.7v,0.8v,0.9

图3.4 取定阈值时不同阶数微分的边缘检测图 T,90

(a)原图 (b) (c) T,50T,70

(d) (e) (f) T,90T,110T,130

图3.5 取定微分阶数时不同阈值的边缘检测图 v,0.8

图3.2和图3.3的实验结果表明，本文模型对于tire图，分别取参数、v,0.7T,70得到了相对较好的边缘检测效果，如图3.2(e)、图3.3(d)所示。而从图3.4和图3.5中也可得出，本文模型对于cameraman图像，分别取参数、得到了相对较v,0.8T,90好的边缘检测效果，如图3.4(e)、图3.5(d)所示。

15

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究

不难看出，当固定时，适当增大v，能够检测到比较丰富的边缘，但v不能过T

v分增大，否则，边缘检测的效果不够理想，而且还产生了比较多的噪声。当固定时，如果过小，图像的边缘纹理信息不能较好地检测出来;如果过大，图像的边缘被TT

v滤去，甚至不能检测到边缘。只有选择合适的和，才能检测到比较理想的边缘，T

达到较好的检测效果。

下面的第五组实验是对rice图作边缘检测处理。分别采用Sobel算子、Prewitt算子、Roberts算子、Canny算子及本文方法()作图像边缘检测处理，结Tv,,50,0.9

果如图3.6(b)~(f)所示。

(a) 原图 (b) Sobel算子 (c) Prewitt算子

(d) Roberts算子 (e) Canny算子 (f) 本文方法 图3.6 本文方法与其他常用方法的对比

从图3.6实验结果中可以看出，Sobel和Prewitt算子有比较好的检测边缘，但是在某些点不能严格的将图像主体和背景区分出来;Roberts算子虽然也能比较好的起到了边缘检测作用，但是存在很多边缘不连续现象，即某些边缘不能检测出来;Canny算子检测的边缘很理想，但其为了得到较好的结果，通常需要使用较大的滤波尺度，容易丢失一些细节;而本文方法边缘检测准确性高，引入的噪声少，能够获得更多的目标物体的细节信息，检测到的内容更加丰富，优于常用的边缘检测算法，较好地达到了边缘检测的目的。

3.4 本章小结

分数阶微积分理论与图像边缘检测相结合，还很少有人应用。并且几乎未见到采

16

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文)

用分数阶理论来改进Sobel算子方法对边缘检测的研究。本文把分数阶微分理论与现有的Sobel算子方法相结合，应用于边缘检测方法的研究，得到了一种边缘检新模型，并对模型进行了一定程度的改进和推广。理论研究和实验结果均表明，与现有的边缘检测方法相比，本文方法不仅能克服经典边缘检测算法的部分缺陷，又能在弱边缘和

是一种比较有效的边缘检测方法。 非边缘噪声之间取得较好的平衡， 17

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究 第四章 总结及未来工作 4.1总结

图像边缘检测是计算机图像处理中的重要问题之一，随着数字图像处理技术的发展，边缘检测方法越来越多，新方法不时的出现，传统方法也不断得到改进。在许多人员的研究结果基础上，基于分数阶微积分理论方法的图像处理的研究逐渐丰富和成熟，已迅速发展成为一种理论上严谨，实用上有效的方法。

论文首先介绍了边缘检测的研究意义和背景，边缘检测的研究现状和存在的问题;然后对常用的边缘检测方法进行较详细地介绍。最后，我们受分数阶微分理论的启发，在现有Sobel算子方法的基础上，对边缘检测方法进行了改进，获得了一种基于分数阶微分的边缘检测新模型。实验结果表明，本文方法边缘检测的准确性高，引入的噪声少，能获得较好的边缘检测效果，优于常用的边缘检测算法，是一种比较有效的边缘检测方法。

4.2 未来的工作

由于时间关系以及基础知识功底欠深厚，本人对上述方法研究有待进一步深化和优化，应用更为广泛的方法需提出、论证和应用。对本文方法作为将来的研究内容之一，本人认为还可以做出进一步的改进如下:

v1、在仿真实验中，本文模型选取的效果较好的参数和与其他常用方法进行对T

v比实验，并没有对和进行详细讨论，参数的取值也不一定是最优结果。但是我们T

没有也不可能对所有取值进行实验验证，所得出的结论也就缺乏普遍性。因此，对参数的最优选取是今后研究的内容之一。

2、我们的仿真实验都是采用Matlab7.0编程，限于研究精力和研究兴趣，我们未对本文所得到的图像边缘检测模型讨论时间复杂度和空间复杂度。这些是我们今后的研究内容之一。

3、本文只是分先后将分数阶微分方法和整数阶微分方法相结合进行边缘检测，未能将其合并为一个模型，由于时间和精力有限，将在今后做进一步的研究内容之一。

此外，将分数阶微分方程方法应用于图像处理和分析的其他方向也是将来研究的内容。由于本人水平有限，在此论文中难免存在一些错误和不足之处，请各位老师、同学批评指正。

18

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文) 致 谢

四年的读书生活在这个季节即将画上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，或者说才刚刚开始，毕业即始业，我将面对又一次征程。经过半年的忙碌和努力，本次毕业论文已经完成，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导以及一起努力的同学们的支持，想要完成此文是难以想象的。

本文是在汪达成教授和蒋伟老师的悉心指导下完成的。从我开始接触这个论题到论文写作，汪达成教授和蒋伟老师都十分细心的给我讲解我所遇到的每一个问题，并给我推荐了很多的有用参考文献。在阅读了这些文献之后，对我的论文写作和新的图像边缘检测方法研究都有很深的启发。另外，在论文写作过程中，汪达成教授和蒋伟老师又仔细地帮我找出了论文中所存在的问题，并提出宝贵的建议，他们这种严谨的态度，让我受益匪浅。在这里，再次向汪达成教授和蒋伟老师表示衷心的感谢～

此外，本文是在我阅读了大量与本文相关的图像处理文献后完成的，在此，我衷心的感谢所以我引用的参考文献的作者。

最后，我还要感谢的是一直关心和帮助我的所有老师、同学和亲人们。在我遇到困难时，他们给我很大的支持和帮助，在此，我向他们表示由衷的感谢～

19

陈辉:基于分数阶微分的边缘检测方法的研究 参考文献

[1] 威廉姆. 数字图像处理[M]. 北京: 机械工业出版社, 2005.

[2] 张凯丽, 刘辉. 边缘检测技术的发展研究[J]. 昆明理工大学学报: 理工版, 2000, 25(5): 36-39.

[3] 牛保青, 李文林. 图像边缘检测算法分析[J]. 安阳工学院学报, 2009, 8(6): 52-55. [4] 张建德, 邵定宏. 基于Sobel细化算法的螺纹边缘检测[J]. 机械与电子, 2007, 25(5): 77-78.

[5] 宋凯, 纪建伟, 孙晓艳. 基于小波变换的图像边缘检测算法[J]. 沈阳建筑大学学报, 2006, 22(6): 1012-1014.

[6] 王慧锋, 战桂礼, 罗晓明. 基于数学形态学的边缘检测算法研究及应用[J]. 计算机

工程与应用, 2009, 45(9): 223-226.

[7] 邓亚明. 基于模糊数学的图像处理方法[J]. 电脑开发与应用, 2008, 21(3): 24-26. [8] 何春香, 刘泊. 小波与BP神经网络在零件识别应用中的研究[J]. 哈尔滨理工大学

学报, 2009, 13(5): 50-53.

[9] 杨柱中, 周激流, 黄梅, 晏祥玉. 基于分数阶微分的边缘检测[J]. 四川大学学报: 工程科学版, 2008, 40(1): 152-156.

[10] 张旭秀, 卢洋. 基于分数阶微分的医学图像边缘检测方法[J]. 大连交通大学学报, 2009, 30(6): 61-65.

[11] 艾必刚, 罗以宁, 蒋涛, 张旭光. 分数阶微分梯度算子在图像增强中的应用[J]. 四川大学学报: 自然科学版, 2009, 46(2): 343-347.

[12] LIU Guan-song, LIANG Cheng. Color Edge Detection Technique Based on the

Gradient Operators[J]. Journal of Shanghai University(English Edition), 2001, 5(9):

259-262.

[13] 阮秋奇, 数字图像处理学[M]. 北京: 电子工业出版社, 2001. [14] 冈萨雷斯. 数学图像处理[M]. 北京: 电子工业出版社, 2005. 20

2010届信息与计算科学专业毕业设计(论文) 附 录 clear all; close all; clc;

X=imread('cameraman.tif'); %读入要处理的图像 T=70; %阈值

% X=rgb2gray(X);%转换 X=double(X); %转变为十进制数

[m n]=size(X); %图像的大小(长和宽) v=0.75;%分数阶阶数 u=(v^2-v)/2; for i=2:m-1

for j=2:m-1 Dx(i,j)=(0.5*(u*X(i-1,j+1)-v*X(i,j+1)+X(i+1,j+1)+2*u*X(i-1,j)-2*v*X(i,j)+2*X(i+1,j)+u*

X(i-1,j-1)-v*X(i,j-1)+X(i+1,j-1)))^2;

Dy(i,j)=(0.5*(X(i-1,j+1)+2*X(i,j+1)+X(i+1,j+1)-v*X(i-1,j)-2*v*X(i,j)-v*X(i+1,j)+u*X(i-1,j

-1)+2*u*X(i,j-1)+u*X(i+1,j-1)))^2;

g(i,j)=round(sqrt(Dx(i,j)+Dy(i,j))); %取整 end end

for i=1:m %对模板不能处理的区域进行处理 g(i,1)=0; g(i,n)=0; end for j=1:n g(1,j)=0; g(m,j)=0; end for i=1:m for j=1:n

if g(i,j)>T

g(i,j)=255; %与阈值进行比较 else g(i,j)=0; end end end

imshow(g); %显示边缘检测图 21