第６卷第３期 ２００６年６月 交通运输系统工程与信息 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｖ０１．６ Ｎｏ．３ Ｊｕｎｅ ２Ｏｏ６ 文章编号：１００９—６７４４（２００６）０３一ＯＯ６４—０７ 有侧向驶入、驶出单车道及多车道 的非平衡交通流模型 张培雷 ，吴晓层 ，简金宝 （１．广西大学电气工程学院，南宁５３０００４；２．广西大学数学与信息科学学院，南宁５３０ｏ０４） 摘要： 在Ｚｈａｎｇ模型的基础上，研究了有侧向驶入、驶出的单车道和多车道的情形，给 出了这些情况下的非平衡交通流模型及相应的Ｇｏｄｕｎｏｖ型有限差分格式．这些模型是 Ｚｈａｎｇ的非平衡交通流模型在更广的范围内的应用与推广，它们和Ｚｈａｎｇ的模型具有同 样的优势：不但克服了ＬＷＲ模型和ＰＷ模型的缺陷，而且能够对现实交通流做出较好 的预测． 关键词： 交通管理；非平衡交通流模型；双曲型偏微分方程；Ｇｏｄａｎｏｖ型有限差分格式； 侧向驶入、驶出 中图分类号：Ｕ４９１ Ｎｏｎ—Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ Ｔｒａｆｉｃ Ｆｌｆｏｗ Ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ Ｓｉｎｇｌｅ Ｌａｎｅ ｏｒ Ｍｕｌｔｉｌａｎｅ 、 ｔｈ Ｌａｔｅｒａｌ Ｅｎｔｒｙ ａｎｄ Ｅｘｉｔ Ｒｏａｄｓ ＺＨＡＮＧ Ｐｅｉ—ｌｅｉ ，ＷＵ Ｘｉａｏ—ｃｅｎｇ￣ＪＩＡＮ Ｊｉｎ—ｂａｏ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｅｎ ｎｅｅｒｉｎｇ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ ５３０００４，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ：Ｍａｔｈｅｍａｉｔｃｓ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｓｒｉｙ，Ｎａｎｎｉｔｎｇ ５３０００４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｚｈａｎｇ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｖｅｓｉｇａｔｔｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅ ｌａｎｅ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｌａｎｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｌａｔｅｒａｌ ｅｎｔｒｙ ａｎｄ ｅｘｉｔ ｒｏａｄｓ，ａｎｄ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅｉｒ ｎｏｎ—ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｔｌ＇ａ￣Ｃ ｆｌｏｗ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｆｉｉｔｅ ｎｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｏｆ ｈｅｓｔｅ ｍｏｄｅｌｓ一一Ｇｏｄｕｎｏｖ ｓｃｈｅｍｅ．Ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｍｏｄｅｌｓ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｎｄ ｐｏｐｕａｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｚｈａｎｇ ｎｏｎ—ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｔｒａｌ￣ｃ ｆｌｏｗ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｒｇｅｒ ｓｃａｌｅ．Ｔｈｅｓｅ ｍｏｄｅｌｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｄ— ｖａｎｔａｇｅ ｗｉｈ Ｚｈａｎｇ ｍｏｄｅｌ：ｔｔｈｅｙ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｏｖｅｒｃｏｍｅ ｔｈｅ ｆｌａｗ ｏｆ ＬＷＲ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ＰＷ ｍｏｄｅｌ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｆｏｒｅｃａｓｔ ｔｈｅ ｔｒａｆｆｉｃ ｆｌｏｗ ｗｅｌ１． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：锄ｃ ａｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎ；ｎｏｎ—ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｔｒａ￣Ｃ ｆｌｏｗ ｍｏｄｅｌ；ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ ｐａｒｔｉｌ ｄｉａｆｅｒｅｎｔｉｌ ｅｑａｕａｔｉｏｎ； ｉｎｆｉｔｅ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｇｏｄｕｎｏｖ ｓｃｈｅｍｅ；ｌａｔｅｒａｌ ｅｎｔｒｙ ａｎｄ ｅｘｉｔ ＣＬＣ ｎｕｍｂｅｒ： Ｕ４９１ ０ 引 言 使在交通产生激波时缺乏有效的加速或减速机制． 后来的ＰＷ（Ｐａｙｎｅ，（１９７１），Ｗｈｉｔｈａｍ，（１９７４））模 型‘３ 虽然考虑了加速度和惯性的影响，但在做这些 交通流理论中的经典模型是ＬＷＲ（Ｌｉｇｈｔｈｉｌｌ ａｎｄ Ｗｈｉｔｈａｍ（１９５５）ａｎｄ Ｒｉｃｈａｒｄｓ（１９５６））模型…，但是随 着对交通流理论的深入认识，发现其中有一定的缺 陷 ：模型认为平衡状态下的平均速度与交通密度 改进的同时却带来了新的问题‘２Ｊ：在一些特定情况 下产生了错误的交通行为，尤其是出现负的交通速 度．这是不现实的．此后，很多学者做了大量的工 作，建立了许多新的模型，如：Ｒｏｓｓ模型‘４Ｊ、Ｋｕｈｎｅ 关系同样适用于实际中的非平衡状态的交通流情 形，而且模型也没有考虑到加速度和惯性的影响， 收稿日期：２００６．０１．０７ 基金项目：国家自然科学基金（１０２６１００１）和广西自然科学基金（０２３６００１，０２４９００３）． 张培雷（１９８２一），女，河南南阳人，广西大学电气工程学院硕士研究生，主要从事交通管理方面的研究．Ｅｍａｌ：ｗｗ ｆｚｐ１２００４＠１６３．ｃｏｍ 第３期 有侧向驶入、驶出单车道及多车道的非平衡交通流模型 ６５ 模型 、Ｌｅｏ和Ｐｒｅｔｔｙ提出的模型［４ 等，但这些模型 都只能在特定的交通条件下使用，而且都无法避免 ＬＷＲ模型和ＰＷ模型中的缺陷． Ｚｈａｎｇ于１９９８年提出了一个模型 ，其后就模 型的解的特征和稳定性进行了分析 ］，并采用Ｇｏ— ｄｕｎｏｖ型有限差分格式来进行数值计算 ］．参考文 献［２］中模型具有一定的优势，在一定程度上既克 服了ＬＷＲ模型的缺陷又避免了ＰＷ模型产生的不 现实情形，同时，从初步的数值计算结果看，该模型 能够对现实交通流做出较好的预测． 本文是在Ｚｈａｎｇ＿２ 的模型基础上，研究了有侧 向驶入、驶出的单车道和多车道的情形，将Ｚｈａｎｇ 的模型在更广的应用范围内进行了推广，并给出了 相应的Ｇｏｄｕｎｏｖ型有限差分格式． １ Ｚｈａｎｇ模型简介 Ｚｈａｎｇ的模型是基于跟驰理论的连续交通流模 型，其主要采用刺激一反应模式，其表现形式为：反 应＝灵敏度×刺激．在文中他引入了非平衡交通 流的概念：所谓交通流的平衡状态，是指所有车辆 的速度相同、车长和相互间的间隔也相同，反之则 是不平衡状态．即，设 （ ，ｔ）、Ｐ（ ，ｔ）分别为时 刻ｔ在地点 处的速度、密度，则 －， ＝０， ＿！：０ｖ ， ． 上面两个式子中如果有一个不成立，则为不平衡状 态． 交通流的不平衡连续模型，是一类很大的模 型，通常用以下的偏微分方程来描述，守恒方程为 Ｐ ＋（ｐｖ） ＝０ （１．１） 动量方程为 Ｖ＋＋ ＶＶ ＋＋— 三二 ： ： ：— 一 （１．ｌ· ２一） 其中Ｐ，ｖ分别为交通密度和速度，下标 ，ｔ分 别表示对空间和时间的偏导数，ｖ ，（Ｐ）表示平衡 状态下ｖ对Ｐ的导数，其中下标ｅ表示平衡状态，ｒ 为松弛时间，即跟驰车辆车速的变化比前方Ａｘ处 密度变化滞后的时间，Ｃ（Ｐ）称为“局部声速（ｔｒａｆｉｆｃ ｓｏｕｎｄ ｓｐｅｅｄ）”，表示平衡交通流中的一个微小扰动 相对于运动中车流的传播速度． Ｚｈａｎｇ模型中，在车辆跟驰过程中引入了不平 衡的状态，根据其理论推导，局部声速取值为 ｃ（Ｐ）＝ｐｖ 。（Ｐ）＝ （Ｐ）一ｖ （Ｐ）＜０， 其中 （Ｐ）为平衡流量函数．这样就克服了 ＬＷＲ模型中的不足，并且模型中的“局部声速”是 密度的函数，避免了ＰＷ模型中的不现实情形． Ｚｈａｎｇ模型还是ＬＷＲ模型和ＰＷ模型的推广． 当在动量方程中取ｃ（Ｐ）＝Ｐ。ｖ 。（Ｐ。）＝ｃ。＜０，ｃ。 为常数，则变成ＰＷ模型；另外若假设后方车辆没 有受到前方车辆影响，即假定交通流处于平衡状态 ｖ＝ｖ。（Ｐ），则 ＝ｖ， （Ｐ） ，笔＝ｖ （Ｐ） ， 将它们代入方程（１．２），得 ｖ，（ＩＤ） ＋ （１０）舞＋１０（ （１０）） 舞＝０， 假定ｖ 。（Ｐ）≠０，并考虑状态方程（流量ｆ（Ｐ） ＝ｐｖ），可得Ｐ ＋／（Ｐ）Ｐ ＝０，即为ＬＷＲ模型．可 以看出ＬＷＲ模型是Ｚｈａｎｇ的模型在ｖ：ｖ，（Ｐ）且 ｖ （Ｐ）≠０时的特殊情况． ２单车道有侧向驶入、驶出的非平衡交通 流模型 设ｔ时刻在 点处车辆的产生（或离去）率为 ｇ（ ，ｔ），它表示每单位长度、每单位时间内的车辆 产生或离去数，单位是：辆／（ｈ·ｋｍ）．此时的守恒方 程中应增加产生或离去项，写为 Ｐ ＋（ｐｖ） ＝ｇ（ ，ｔ） （２．１） 设ｖ 为侧向道路上的车流速度，低于干线车流速 度ｖ，侧向道路上的车辆汇入或驶离干线车流时必 然有个加速或减速的过程，这势必影响到干线车流 速度，因此在动量方程中要引入表示单位时间内侧 向驶入、驶出引起的干线车流速度下降的项，取其 为导（ 一ｖ）．于是，侧向驶入、驶出时的动量方 程为 ｖ ＋ｖ ＋Ｐ（ｖ （Ｐ）） Ｐ ＝ ＋ｒ ｐ 一 ， （２．２） 其中各变量的含义同Ｚｈａｎｇ的模型，该模型向量形 式为 ＋Ａ（Ｕ）Ｕ ＝Ｓ（Ｕ） （：）， ｃ ，：（．０ ， ．０ ：）， ｓ‘ ｌｆ， ｒ ＋ｇ Ｐ ｃ 一一 ／ ，１Ｊ‘ ２·３ ６６ 交通运输系统工程与信息 ２００６年６月 或者写成如下的守恒形式 ＋Ｆ（Ｕ） ＝Ｓ（Ｕ） （２．４） 系数．则车道２的守恒方程为 １０２ ＋（１０２ ｖ２） ＝Ｑ２ （３．３） 其中 动量方程为 Ｆ（ ）＝（ ／２： （ｐ））， （１０）＝１０（ｖ， （ＩＤ）） ． 因为Ａ（Ｕ）有相异的实特征根 、 ，并且 ＝ ｖ ＋ｖ ｖ ，＋１０ （ ， （１０ ）） １０ ： （＿ ＋ （ 一 （３．４） Ｖ＋ （１０）＜ｖ一 （１０）＝ ，由双曲型方程的 定义知该模型为严格双曲型的． ３两车道有侧向驶入、驶出的非平衡交通 流模型 考虑一个同向２车道，车道１有侧向驶入、驶 出的情形：假定每一条车道都满足流量守恒，两车 道之间车流的交换代表所研究车道的车辆产生和 离去． 设 ，ｖ 分别表示第 车道的密度和速度，Ｑ 为车道交换率（ｉ车道的车辆变化率），正值表示进 入，负值表示离开，其中 ＝１，２．另外设时刻ｔ地 点 处，车道１上的车辆产甥或离去率为ｇ（ ，ｔ） （当ｇ（ ，ｔ）＝０时可以认为车道１无侧向驶入、驶 出）． 对于车道１而言，它既受侧向驶入、驶出影响 又受车道２上转道车辆的影响，综合这两方面因 素，它的守恒方程写为 １０ｌ。＋（ＩＤｌ Ｖ１） ＝ｇ＋Ｑｌ （３．１） ｇ＋Ｑ 表示受侧向驶入、驶出车辆和车道２转道车 辆影响，车道１总的车辆产生或离去率． 考虑到车道２转道车道１相当于车道１增加 了一个侧向驶入、驶出道路的影响，并且该“侧向道 路”上的车辆净流率为Ｑ。，车流速度为 ，ｐ表 示车辆转道时的加速或减速系数，这样车道１就相 当于有两个侧向驶入、驶出道路．它的动量方程可 以参照单车道有侧向驶入、驶出时的情形，写为 ｖ ＋ ｖ ＋１０ （ｖ， （１０ ）） １０ ： ＋ （ 一ｖ ）＋ （ 一ｖ ）（３．２） Ｉ Ｉ 对于车道２而言，它无侧向驶入、驶出，只受车 道１转道车辆的影响．同样地，车道１转道车道２ 相当于车道２上增加了一个侧向驶入、驶出道路的 影响，并且侧向道路上的车辆净流率为Ｑ ，车流 速度为 ， 同样表示车辆转道时的加速或减速 考虑到当两车道密度相差不大时，车辆一般不 改道行驶以及车辆相互作用的时间滞后影响，将车 道交换率表示为 Ｑｌ＝ａ｛［Ｊ０２（ ，￡一ｒ）一１０ｌ（ ，￡一ｒ）］ （１０２０一１０ 。）｝ Ｑ２＝口｛［１０ｌ（ ，ｔ—ｒ）一１０２（ ，ｔ—ｒ）］ （１Ｄ。。一ｌＤ２０）｝ 其中 １０ 表示第ｉ车道的平衡密度，ａ为敏感系 数，单位是时间的倒数，它随两车道之间密度的不 同而不同 ０， Ｉ Ｊ０２（ ，ｔ—ｒ）一１０ｌ（ ，ｔ—ｒ）Ｉ≤１０＾ ： ［Ｉ １０ｚ（ ，ｆ—ｒ）一１０ （ ，ｆ—ｒ）Ｉ １０＾］，Ｉ １０２（ ，ｔ—ｒ）一１０ｌ（ ，ｔ—ｒ）ｌ＞１０＾ 为恒定值，如果密度值低于它，车流将不变换车 道，ｒ是车辆间相互作用的滞后时间，１０．衄是阻塞 密度．两车道模型的向量形式为 ＋Ａ（ ）Ｕｘ＝Ｓ（ ） （３．５） 或者写成守恒形式 ＋Ｆ（Ｕ） ＝Ｓ（ ） （３．６） 其中 ｌ Ｊ０ｌ ０ ０ １０１ ——Ｖ， ，Ｕ、 ，Ｕ、 Ｖ１ Ａ（Ｕ）＝ １０１ １０２ ０ ０ ２ １０ Ｖ２ ｏ ｏ ， Ａ（Ｕ）中，ｃ（ＩＤ ）＝１０ ｖ （１０ ），ｃ（１０ ）＝１０ ｖ （１０ ） ｇ＋Ｑ１ Ｓ（Ｕ）＝ ＋ ）＋导（ ） Ｑ ｒ ＋ ｐ’ （ ’ 。 守恒形式中 第３期 有侧向驶入、驶出单车道及多车道的非平衡交通流模型 ６７ ｐｌ Ｖｌ ｖ２￣道车道ｍ时的车辆速度， 表示车辆转道时的加 Ｆ（ ）＝ １２＋ （１０１） 速或减速系数．对于最内侧车道，由于ｍ＝１，令 （Ｐ）＝Ｐ（ｖ （Ｐ）） 。ＩＤ２ Ｖ２ ２中的ｍ一１＝１，即此时ｍ一１表示第１车道； 中的ｍ＋ ｖ２／２＋ （１０２） 对于最外侧车道，由于ｍ＝Ｍ，令 ＝ Ａ（ ）有相异的实特征根 。＝ｖ ＋ｃ（Ｊ０。）， １＝Ｍ，即此时ｍ＋１车道表示第肘车道． Ｖ１一ｃ（１０１）， ３＝ｖ２＋ｃ（１０２）， ４＝ｖ２一ｃ（１０２）， 类似于两车道中车道交换率ｑ。、ｑ 的写法， 该模型方程也为双曲型的． ４多车道有侧向驶入、驶出的非平衡交通 流模型 对于多车道（总车道数大于等于２）中的每一 车道而言，要么相当于两车道模型中的车道１（如 最外侧和最内侧车道有侧向驶入、驶出），受侧向道 路和转道车辆的双重影响；要么相当于车道２（如 所有内侧车道），只受转道车辆影响．因此多车道 模型可以参照两车道模型而写成如下的统一形式， 设肘代表总车道数，Ｍ≥２，则各车道的一般守恒 方程为 Ｐ ＋（１０ ｖ ） ＝ｇ ＋ｑ ，ｍ＝１，２，３，…，Ｍ（４．１） 对于所有内侧车道即ｍ＝２，３，…，Ｍ一１时， ｇ ＝０． 每一车道的动量方程的一般形式为 ｖ ＋ｖ ｖ ＋Ｐ （ｖ （Ｐ ）） Ｐ ＝ ｒ ＋ 一 ’ ） ｎ ＋ （ 一ｖ ） （４．２） ｔ－＇ｍ 同样对于所有的内侧车道，即对于ｍ＝２，３， Ｍ一１，ｇ ＝０， 分别表示第ｍ土１车道转 １０ｌ Ｖ１ Ｐ２ Ｖ２ Ａ（ ）＝ ： ＰＭ Ｖ＾ｆ 。ｑ 可以写成类似的形式，不过考虑到所有内侧车 道都受到相邻两侧车道转道车辆的影响，即ｑ 是 两侧车道转道车辆综合作用的结果，我们把ｑ 写 成如下的形式为 ｑ ＝口 。 一１｛［Ｐ 一１（ ，ｔ—ｒ）一Ｐ （ ，ｔ—ｒ）］ （Ｐ 一１。０一Ｐ ０）｝＋口 ． ＋１｛［Ｐ ＋ｌ（ ，ｔ—ｒ） Ｐ （ ，ｔ—ｒ）］一（Ｐ ＋。。。一Ｐ 。）｝ 式中Ｐ 。分别表示ｍ车道两侧车道（即ｍ土１ 车道）的平衡密度，右端第一项表示车道ｍ一１与 车道ｍ之间的车辆交换率，第二项表示车道ｍ＋１ 与车道ｍ之间的车道交换率，ａ …。是敏感系数， 表示式如下 口ｍ。ｍ±１＝ ０， ｌ Ｐ （ ，ｔ—ｒ）一Ｐ ｌ（ ，ｔ—ｒ）ｌ≤Ｐ＾ ： ［１ １０ （ ，￡一ｒ）一１０ －（ ，￡一ｒ）ｌ Ｐ＾］，ｌ Ｐ （ ，ｔ—ｒ）一Ｐ １（ ，ｔ—ｒ）ｌ＞Ｐ＾ Ｐ 为恒定值，如果密度值低于它，车流将不改变车 道，ｒ是相互作用滞后时间，Ｐｊ删是阻塞密度． 多车道模型的向量形式也为 ＋Ａ（Ｕ）Ｕ ＝ ．ｓ（ ），或守恒形式 ＋Ｆ（Ｕ） ＝Ｓ（Ｕ），其中 。。一· ｖ ｃ、 一 一 一 ０ ００ ０～ ～ ０ ０６８ 交通运输系统工程与信息 ２００６年６月 半Ｓ（Ｕ）＝ ＋ ｒ Ｄ ）＋鲁（ ） ＋ （ 。… 一 ｌＤ１ Ｖｌ ／２＋声（１Ｄ ） ｌＤ２ ） Ｆ（Ｕ）＝ ；／２＋声（１Ｄ ） ｐＭｖＭ ｉ Ｑ ／２＋声（１Ｄ ） —ｒ —＋ ＋—— Ｖ 一 ＾一，，＋——Ｌ）＋ （ ， ＾一１一ｖ＾一，，） ｌＤｍ ～ ｌＤ ‘‘ 其中 声 （１Ｄ）＝ｌＤ（ｖ （１Ｄ）） ．Ａ（Ｕ）有２Ｍ个相异 的实特征根： ２ｍ－Ｉ＝Ｖ ＋ｐｒａｙ 。（１Ｄ ）， ２ ＝ｖ 一ｐｒａｙ （１Ｄ ），，ｎ 征根）来实现 ］． 我们所建立的模型为非齐次双曲型偏微分方 程组．我们首先来研究模型齐次时的情况，然后推 １，２，…， ．故多车道时的模型也为双曲型的． 假定所有这些模型都是在给定初值和边界流 广到非齐次模型．模型齐次时，其与初值构成的初 值问题为 Ｕ ＋Ｆ（Ｕ） ＝０ （５．１） 量值分别为 Ｕ（ ，０）＝Ｕ０（ ），一Ｌ≤ ≤Ｌ； Ｕ（ ，０）＝Ｕ （ ） （５．２） Ｆ（ｕ（一Ｌ，ｔ））＝Ｆ（Ｕ一（ｔ））， Ｆ（ｕ（Ｌ，ｔ））＝Ｆ（Ｕ＋（ｔ）），ｔ≥０． 的情况下的． 该初值问题的守恒型有限差分格式ｎ 为 —■ Ｆ（ ＋ ， ）一Ｆ（ ， 一 ） ，、 ＋—————— ———一 （５．３） 至此，我们建立了各种情况下道路的非平衡交 通流模型．从数学的角度来看，这些模型都为双曲 型偏微分方程组，因此对模型的求解就可以转化为 求解这些双曲型偏微分方程组，而双曲型偏微分方 程组的解的求法可以借鉴参考文献［７］来进行．则 模型的求解即为求解在已知边界条件下的如下的 初值问题： ｆ Ｕ ＋Ｆ（Ｕ） ＝Ｓ（Ｕ） 其中 为单元平均： ＝百１ ｆＸｉ ￣ｌ “（ ， ）ｄ ， ｉ一１／２和ｉ＋１／２分别表示单元格ｉ的左、右边界． Ｆ（ ＋ ， ）称为数值通量，它的表达式为Ｆ（ ＋ ， ）＝ １ Ｆ（“（ ｔ））ｄｔ，表示在时间间隔 （ｔｊ，ｔ…）内通过单元格边界 ， 的平均流量． 下面给出该初值问题的Ｃ￣ｄｕｎｏｖ型格式的推 导． 【Ｕ（ ，０）＝Ｕ （ ） 该初值问题的求解可以采用建立在守恒律基 础上的守恒型差分格式来近似求解，本文采用Ｇｏ． ｄｕｎｏｖ型有限差分格式． 假定在ｔ＝ｔｉ这个时间层上的值 （ｉ＝０， 土１，土２，…，Ｌ／ｈ）已经求出，定义 （ ）＝ ∈（ …／２） （５．４） 显然 （ ）是一个阶梯函数．令 （ ， ，）＝ ５模型的Ｇｏｄｕｎｏｖ型格式 我们称满足 ＝ 一 （ 一Ｚｊ＿ ）的差 分格式为Ｃ￣ｄｕｎｏｖ型格式，它是守恒型差分格式的 （ ），那么（５．１）和（５．４）式构成了一个新的初值 问题．为把这个初值问题的解从￡ 推进到ｔｊ＋ ，首 先必须求解这个初值问题．在每个区间［ｔｉ，ｔｊ＋ ］ 上，这个初值问题定义了一个（局部）Ｐｄｅｍａｎｎ问 题．由ＣＦＬ条件保证区间［ｔｉ，ｔｉ＋，］足够小，从而保 证每个（局部）Ｉｔｉｅｍａｎｎ问题的解不相交．这些Ｒｉｅ— 种，其中 ＝ｘ／ｈ， 为时间步长，ｈ为空间步 ＝ｆ（ ）， ＝ （０； ， ＋ ）．这 长， 种差分格式的相容性由ｇ（∞，∞）＝ｆ（∞）来保证， 而稳定性和收敛性则由ＣＦＬ条件（即ｍａｘ Ｉ ， ｍｎｎ问题以如下初始条件为特征： ｌ≤１，ｉ＝１，２，…，ｎ， 为模型方程中Ａ（Ｕ）的特 第３期 有侧向驶入、驶出单车道及多车道的非平衡交通流模型 ｉ＝０，±１，±２，…， ／ｈ （５．５） 并且这些Ｒｉｅｍａｎｎ问题的解是自相似的，表示 形式为 （ 二 ； ＋ ， ）．由于它们解的自 相似性以及（５．１）和（５．４）构成的初值问题的解在 特征线上为常数，则Ｕ（ ｔ）在时间间隔［￡ ， ］内也是常数，记为 ：ｊ，：，这时守恒型差分格 式中的数值通量 （ ＋ ， ）变为 （ ＋ ， ）： Ｆ（ － ｊ：），即满足相容性条件． 这时即可得到齐次模型的Ｇｏｄｕｎｏｖ型有限差 分格式为 ＋ ； ：０（５．６） ｎ 其中 ，：一＝ （０； ＋ ， ）．余下的问题就是 求 ：ｊ，：，它的值的求法见参考文献［６］． 下面来看非齐次模型的情形．由于其右端项 Ｓ（Ｕ）中不包括空间梯度，就可以简单地用Ｓ（ ） 或ｓ（ ）来近似ｓ（ ），于是非齐次模型 的Ｇｏｄｕｎｏｖ型格式表示为 ＋ Ｆ（Ｕ ，： ）一Ｆ（Ｕ ： ） ＝Ｓ（ ） （５．７） 这便是我们建立的各种情况下道路模型的Ｇｏｄｕｎｏｖ 型格式． ６边界条件处理 这里所谓的边界条件就是边界流量值．模型 的Ｇｏｄｕｎｏｖ型格式中只有Ｆ（ ）和Ｆ（ ，：）分 别作为离散后各个单元格的最左和最右流量边界 出现，它们即成为整个Ｇｏｄｕｎｏｖ型格式的边界条 件．由于 ： ，：＝ （０； ＋ ， ），则边界流量值 Ｆ（ ）及Ｆ（ ，：）就可以由Ｒｉｅｍａｎｎ问题的解 唯一的确定．给定￡尸±， ＝０，１，…，Ｔ／ｘ分别为单 元格右／左边界值，此时由初值（ ， ）和（ ， ）构成的Ｒｉｅｍａｎｎ问题的解分别为 一 （ ； ， ）和 ＋（ ； ， ），则 边界条件为 Ｆ（ ）＝Ｆ（ 一（０；／Ｙ＿， ）） （６．１） Ｆ（Ｕ ，： ）＝Ｆ（ ＋（０； ， ））（６．２） ７数值例子 应用上述模型，研究长ｌｋｍ的某路段２００５年 ９月９日下午１７：００到１８：０ｏ的交通状况，路段示 意图如图１．计算过程中取时间步长ｋ为２ｓ，空间 步长ｈ为７．５ｍ，则该路段被划分为１３４个空间段， 每个空间段又被划分为３０个时段（每２分钟为一 个时段）．其他参数值是通过统计方法估计得到 的，具体取值如表１． 车道２ 车道１ 图１路段示意图 表１ 参数 取值 车辆转道加速或减速系数口 １．２ 滞后时间ｒ １．６ｓ 敏感系数ａ ０．９／ｈ 转道密度定值 ｌ５辆／Ｉｎｎ 自由流速度ｖｆ ４０ｋｍ／ｈ 阻塞密度Ｐ ２５０辆／Ｉｎｎ 车道１的平衡密度ｐ ０ ６０辆／Ｉｎｎ 车道２的平衡密度ｐ２０ ６０辆／ｋｉｎ 测得第１个空间段和侧向驶入车流各个时段 的交通密度和速度值，如图２和３示． ６０ 第１个空 柏问段车道 １２０ １的密度 嚣 第１个空 间段车道 ２的密度 侧向驶入 ０ 车流的密 度 图２各时段密度值 第１个空 问段车道 １的速度 第１个空 间段车道 ２的速度 侧向驶入 车流的速 度 图３各时段速度值 应用上述模型进行数据仿真，会观察到交通流 的密度和速度随时间和空间的不同呈现出不同的 ７０ 交通运输系统工程与信息 ２００６年６月 变化，我们取位于侧向驶入路口之前和之后的两个 空间段：第ｌ８和第１００个空间段，将其在各个时段 的交通密度和速度值分别用图４和图５表示． ６０ ４０ ２０ ００ 辩 ８０ ６０ ４０ ２０ 图４各时段密度值 ２０ ／ｌ５ 椎 ｌ０ ５ 时段 图５各时段速度值 ８ 总结 随着对交通流理论研究的深入，广大学者提出 了许多成功的具有实际指导意义的模型，解决了不 少交通问题，但是至今还没有一个描述有侧向驶 入、驶出的单车道及多车道交通流的比较完善的理 论．本文在Ｚｈａｎｇ的非平衡交通流模型的基础上， 推出了有侧向驶入、驶出的单车道及多车道的非平 衡交通流模型，并进一步得出了模型的Ｇｏｄｕｎｏｖ型 有限差分格式，最后给出实例验证了模型的实用 性，希望能为进一步解决交通问题提供有效的理论 工具．我们曾经进行多组数据仿真，试验表明，该 模型对密度较大的交通流能得到较满意的结果． 参考文献 ［１］ “ｇ｝ｌｔＩＩｉｌｌ，Ｍ．Ｊ．，Ｗｈｉｔｈａｍ，Ｇ．Ｂ．，１９５５．Ｏｎ ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｗａｖｅｓ：Ⅱ．Ａ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｒａｆｆｉｃ ｆｌｏｗ ｏｎ ｌｏｎｇ ｃｒｏｗｄｅｄ ｒｏａｄｓ ［Ｊ］．Ｉｎ：Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｒｏｙａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ．ｖｏ１．Ａ ２２９ （１１７８），ｐｐ．３１７—３４５．一ｎｇ，Ｈ．Ｍ．，１９９８．Ａ ｔ ［２］Ｚｈａｈｅｏｒｙ ｏｆ ｎｏｎ—ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｔｒａｆｉｃ ｌｆｏｗ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｂ ３２（７），４８５—４９８． ［３］Ｐａｙｎｅ，Ｈ．Ｊ．，１９７１．Ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｆｒｅｅｗａｙ ｃ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ ［Ｍ］．Ｉｎ：Ｂｅｋｅｙ，Ｇ．Ａ．（Ｅｄ．），Ｍａｈｔｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ Ｐｕｂｌｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ Ｃｏｕｎｃｉｌｓ Ｐｒｏｃ．Ｓｅｒ．，ｖｏ１．１，ＰＰ． ５１—６０． ［４］冯蔚东，贺国光，刘豹，著．交通流理论评述［Ｊ］．系统 工程学报，１９９８，９，１３（３）：７１—８２． ［５］Ｚｈａｎｇ，Ｈ．Ｍ．，１９９９．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｙｔ ｎａｄ ｗａｖｅ ｐｒｏｐ— ｃｉｔｉｅｓ ｏｆ ａｎｏｎ－ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｍｕ ｔｒａ￣Ｃ ｆｌｏｗ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓｏｐｒｔａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｐａｒｔ Ｂ ３３（６），３８７—３９８． ［６］Ｚｈａｎｇ，Ｈ．Ｍ．，２００１．Ａ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｅｅｒｎｃｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｏｆ ａ ｎｏｎ－ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｍｕ砸曲ｃ ｆｌｏｗ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓｏｐｒｔａｔｉｏｎ Ｒｅ— ｓｅａｒｃｈ Ｐａｒｔ Ｂ ３５（４），３３７—３６５． ［７］陆金甫，关治，著．偏微分方程数值解法［Ｍ］．北京： 清华大学出版社，２００４，１：１４３—１５５． ［８］Ｚｈａｎｇ，Ｈ．Ｍ．１９９９ｂ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｐｒｏｐｅｒｉｔｅｓ ｆｏ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ａ ｎｏｎ－ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｍｕ ｔｒａ￣ｃ ｆｌｏｗ ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｐａｒｔ Ｂ ３４（７）。５８３—６０３． ［９］王殿海，严宝杰，著．交通流理论［Ｍ］．北京：人民交 通出版社，２００２，１１：６０—６９．
