数学三试题

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析

一、选择题:1

8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项

符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

(1)设xn是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若limxna,则limx2nlimx2n1a

nnn(B) 若limx2nlimx2n1a, 则limxna

nnn(C)若limxna,则limx3nlimx3n1a

nnn(D) 若limx3nlimx3n1a,则limxna

nnn (2) 设函数fx在,内连续,其2阶导函数fx的图形如右图所示,则曲线

yfx的拐点个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 (3) 设Dx,yx2cos2y22x,x2y22y,函数fx,y在D上连续,则

fx,ydxdy ( )

D(A)

40dd0frcos,rsinrdrdfrcos,rsinrdrdfx,ydy

24242sin0frcos,rsinrdr frcos,rsinrdr

(B)

4012sin2cos00(C)2dx010x11x2(D) 2dx2xx2xfx,ydy

(4) 下列级数中发散的是( )

n(A) n (B)

n13n111ln(1)

nn(1)n1(C)(D)

lnnn2n!n n1n

1

-

1111 (5)设矩阵A12a,bd.若集合1,2，则线性方程组Axb有无

14a2d2穷多解的充分必要条件为 ( )

(A) a,d (B) a,d (C)a,d(D) a,d

(6)设二次型fx1,x2,x3在正交变换xPy下的标准形为2y1y2y3，其中

222P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)则f(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准形为

( )

(A)2y1y2y3 (B) 2y1y2y3 (C)2y1y2y3(D) 2y1y2y3

(7) 若A,B为任意两个随机事件,则: ( )

(A)PABPAPB (B)PABPAPB (C)PAB222222222222PAPB2(D) PABPAPB2

(8) 设总体X~Bm,,X1,X2,,Xn为来自该总体的简单随机样本,X为样本均

n值,则EXiXi1 ( ) 2(A) m1n1 (B)mn11 (C)m1n11 (D)mn1

二、填空题：9(9) lim14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

ln(cosx)__________.

x0x2 (10)设函数f(x)连续，(x)x20xf(t)dt,若(1)1,(1)5,则f(1)________.

xyz1确定，则dz(0,0) (11)若函数zz(x,y)由方程ex2y3z_________.

2

-

(12)设函数yy(x)是微分方程yy2y0的解，且在x0处取得极值3，则

y(x)________.

(13)设3阶矩阵A的特征值为2,2,1，BAAE,其中E为3阶单位矩阵，则行列式B________.

(14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则

2P{XYY0}_________.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说．．．明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10 分)

设函数f(x)xaln(1x)bxsinx,g(x)ckx.若f(x)与g(x)在x0时是等价无穷小，求a,b,k的值.

(16)(本题满分10 分) 计算二重积分

(17)(本题满分10分)

为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，

222x(xy)dxdy，其中D{(x,y)xy2,yx}. 3DP为价格，MC为边际成本，为需求弹性(0).

(I) 证明定价模型为PMC； 11(II) 若该商品的成本函数为C(Q)1600Q，需求函数为Q40P，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.

(18)(本题满分10 分)

设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0I，曲线yf(x)在点

2(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)2，求f(x)表

3

-

达式.

(19)(本题满分 10分)

（I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x); （II）设函数u1(x),u2(x),求导公式.

(20) (本题满分 11分)

,un(x)可导，f(x)u1(x)u2(x)un(x)，写出f(x)的

a10设矩阵A=1a1，且A3O.

01a(I) 求a的值；

(II)若矩阵X满足XXA2AXAXA2E，其中E为3阶单位矩阵，求X.

(21) (本题满分11 分)

023120设矩阵A133相似于矩阵B=0b0.

12a031(I) 求a,b的值；

（II）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵.

(22) (本题满分11 分)

x2ln2,x0设随机变量X的概率密度为fx,对X进行重复的观测,直到

x00,1第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数

(I)求Y的概率分布； 4

-

(II)求E(Y).

(23) (本题满分11 分)

1,x1,设总体X的概率密度为f(x,)1其中为未知参数，

其他,0,X1,X2,,Xn为来自该总体的简单随机样本.

(I)求的矩估计量； (II)求的最大似然估计量.

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