考研数学（数学二）模拟试卷467 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设，则当x→0时f(x)是g(x)的 A．高阶无穷小 B．低阶无穷小
C．同阶而非等价无穷小 D．等价无穷小
正确答案：B 解析：这是考察如下的型极限，由洛必达法则与等价无穷小因子替换得其中用了下面的等价无穷小因子替换：当x→0时ln(1+sin2x2)～sin2x2～x4，tan(1—cosx)2～(1—cosx)2～(x2)2．故应选
B．
2． 设f(x)是(—∞，+∞)上的连续奇函数，且满足|f(x)|≤M，其中常数M＞0，则函数F(x)=∫0xte—t2f(t)dt是(—∞，+∞)上的
A．有界奇函数 B．有界偶函数 C．无界偶函数 D．无界奇函数
正确答案：A 解析：首先，由于被积函数te—t2f(t)是(—∞，+∞)上的偶函数，故F(x)是(—∞，+∞)上的奇函数．其次，对任何x≥0，有利用F(x)的对称性，当x≤0时上面的不等式也成立．从而，函数F(x)还是(—∞，+oo)上的有界函数．故应选A．
3． 设f(x)=在x=0处二阶导数存在，则常数a，b分别是 A．a=1，b=1 B．a=1，b= C．a=1，b=2 D．a=2，b=1
正确答案：B 解析：显然有f(x)=即f(x)在x=0处连续，先求出f-′(0)=(x2+ax+1)′|x=0=a，f+′(0)=(ex+bsinx2)′|x=0=(ex+2bxcosx2)|x=0=1．要求f′(0)f+′(0)=f-′(0)即a=1．此时 f-″(0)=(2x+1)′|x=0=2，f+″(0)=(ex+2bxcosx2)′|x=0=(ex+2bcosx2—4bx2sinx2)|x=0=1+2b．要求f″(0)f-″(0)=f+″(0)即2=1+2b，b=．因此选
B．分析2：我们考虑分段函数f(X)=其中f1(x)和f2(x)均在x=x0邻域k阶可导，则f(x)在分界点x=x0有k阶导数的充要条件是f1(x)和f2(x)在x=x0处有相
同的k阶泰勒公式：f1(x)=f2(x)=a0+a1(x—x0)+a2(x—x0)2+…+ak(x—x0)k+o((x—x0)k)(x→x0)把这一结论用于本题：取x0=0．f1(x)=1+ax+x2f2(x)=ex+bsinx2=1+x+x2+o(x2)+b(x2+o(x2))=1+x+(b+)x2+o(x2)．因此f(x)在x=0处二阶可导a=1，b+=1，即a=1，b=．故应选
B．
4． 设f′(x0)=0，f″(x0)＜0，则必定存在—个正数δ，使得 A．曲线y=f(x)在(x0—δ，x0+δ)上是凹的 B．曲线y=f(x)在(x0—δ，x0+δ上是凸的
C．曲线y=f(x)在(x0—δ，x0]上单调减少，而在[x0，x0+δ)上单调增加 D．曲线y=f(x)在(x0—δ，x0]上单调增加，而在[x0，x0+δ)上单调减少
正确答案：D
解析：f″(x0)=．由极限的不等式性质δ＞0，当x∈(x0—δ，x0+δ)且x≠x0时，当x∈(x0—δ，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，x0+δ)时，f′(x)＜0．又f(x)在x=x0处连续f(x)在(x0—δ，x0]上单调增加，在 [x0，x0+δ)上单调减少．故应选
D．
5． 微分方程y″—4y′=2cos22x的特解可设为 A．Ax+B1cos4x+B2sin4x B．A+B1cos4x+B2sin4x C．B1cos22x+B2sin22x D．B1cos4x+B2sin4x
正确答案：A
解析：方程右端的非齐次项f(x)=2cos22x=1+cos4x，相应齐次方程的特征方程是λ2—4λ=0．特征根λ1=0，λ2=4．利用解的叠加原理：相应于非齐次项f1(x)=1，有形式为y1*(x)=Ax(λ1=0为单特征根)的特解，A为待定常数；相应于非齐次项f2(x)=cos4x，有形式为y2*(x)=B1cos4x+B2sin4x的特解，B1，B2为待定常数．因此，原方程的特解可设为Ax+B1cos4x+B2sin4x．故应选A．
6． 设f(x)，g(x)均有二阶连续导数且满足f(0)＞0，f′(0)=0，g(0)=0，则函数u(x，y)=f(x)∫1yg(t)dt在点(0，0)处取极小值的一个充分条件是
A．f″(0)＞0，g′(x)＜0(0≤x≤1) B．f″(0)＜0，g′(x)＞0(0≤x≤1) C．f″(0)＞0，g′(x)＞0(0≤x≤1) D．f″(0)＜0，g′(x)＜0(0≤x≤1)
正确答案：B
解析：利用极值点的充分判别法．由u=f(x)∫1yg(t)dt得若g′(x)＞0(0≤x≤1)g(x)在[0，1]上g(x)＞g(0)=0(0＜x≤1)∫10g(t)dt＜0，又当f″(0)＜0时AC—B2＞0．因此(0，0)是U(x，y)的极小值点．故选
B．
7． 设A=，要使得A正定，a应该满足的条件是 A．a＞2 B．a≥2 C．0＜a＜2 D．a＜0
正确答案：C
解析：用顺序主子式．A的3个顺序主子式为2，4—a2，2a—a2，它们都大于0的条件是0＜a＜2．
8． n维向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs和(Ⅱ)：β1，β2，…，βt等价的充分必要条件是
A．r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，并且s=t B．r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n
C．r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，并且(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示 D．(Ⅰ)和(Ⅱ)都线性无关，并且s=t
正确答案：C
解析：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价的充分必要条件是r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)．(A)缺少条件r(Ⅰ，Ⅱ)=r(Ⅰ)．(B)是(Ⅰ)与(Ⅱ)等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数．(D)(Ⅰ)和(Ⅱ)都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如(Ⅰ)：α1=(1，0，0，0)，α2=(0，1，0，0)，(Ⅱ)：β1=(0，0，1，0)，β2=(0，0，0，1)．(Ⅰ)和(Ⅱ)都无关，并且s=t=2，但是(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价．(C)(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示，则r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)．
填空题
9． 数列极限I=n2[arctan(n+1)—arctann]=___________．
正确答案：1
解析：属∞.0型的数列极限，转化为型的函数极限后再用洛必达法则，即有故原数列极限的值为1．
10． 设y=f(x)在(1，1)邻域有连续二阶导数，曲线y=f(x)在点P(1，1)处的曲率圆方程为x2+y2=2，则f″(1)=_________．
正确答案：—2
解析：曲率圆x2+y2=2在(1，1)邻域确定y=y(x)(y(1)=1)，y=f(x)与y=y(x)在x=1有相同的一阶与二阶导数．现由x2+y2=22x+2yy′=0，即x+yy′=0令x=1，y=1→y′(1)= —1，又1+y′2+yy″=0令x=1，y=1，y′= —1→令y″(1)= —2．因此 f″(1)=y″(1)= —2．
11． 设有摆线x=φ(t)=t—sint，y=ψ(t)=1—cost(0≤t≤2π)的第一拱L，则
L绕x轴旋转一周所得旋转面的面积S=________．
正确答案：
解析：由旋转面面积公式得
12． 已知当x＞0与y＞0时，则函数f(x，y)在点(x，y)=(1，1)处的全微分=_________．
正确答案：
解析：由于，令u=lnx，υ=，从而当x＞0，y＞0时f(x，y)=
13． 设D是以点A(1，1)，B(—1，1)，C(—1，—1)为顶点的三角形区域，则=__________．
正确答案：8
解析：D如图所示，连OB将D分成D=D1∪D2，D1，D2分别关于x，y轴对称，对x，y均为奇函数→
14． 已知α1=(1，2，—1)T，α2=(1，—3，2)T，α3=(4，11，—6)T．矩阵A满足Aα1=(0，2)T，Aα2=(5，2)T，Aα3=(—3，7)T，则A=__________．
正确答案：
解析：用条件可建立一个关于A的矩阵方程：
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． (Ⅰ)设f(x)，g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0，f′(x0)g′(x0)＜0，求证：x=x0是f(x)g(x)的极大值点．(Ⅱ)求函数F(x)=(x∈(—∞，+∞))的值域区间
正确答案：(Ⅰ)由于=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0)=0，因此x=x0是f(x)g(x)的驻点，进一步证明是它的极大值点．由条件f′(x0)g′(x0)＜0 f′(x0)＜0，g′(x0)＞0(或f′(x0)＞0，g′(x0)＜0)，由g′(x0)=及极限的保号性质δ＞0，当x∈(x0—δ，x0+δ，x≠x0时x∈(x0，x0+δ)时f(x)＜0(＞0)， g(x)＞0(＜0)；x∈(x0—δ，x0)时f(x)＞0(＜0)， g(x)＜0(＞0)x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时f(x)g(x)＜0=f(x0)g(x0)x=x0是f(x)g(x)的极大值点．(Ⅱ)由题设知F(x)是(—∞，+∞)上连续的偶函数，且由F(x)在(—∞，0]上，在[0，+∞)上．由于F(0)=0．又因此，函数F(x)的值域区间是[0，arctant2)．
16． (Ⅰ)求积分f(t)=(—∞＜t＜+∞)．(Ⅱ)求
正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ)其中C是一个任意常数．
设f(x)=∫—1xt3|t|dt．
17． 求函数f(x)的单调性区间与正、负值区间．
正确答案：f′(x)=f(x)在(—∞，0]上，在[0，+∞)上．为求f(x)的正负值区间，先求出使f(x)=0的x值．易知f(—1)=∫—1—1t3|t|dt=0，f(1)=∫—11t3|t|dt=0．再由f(x)的单调性知，f(x)＞f(—1)=0(x＜—1)，f(x)＞f(1)=0(x＞1)，f(x)＜f(—1)=0(—1＜x≤0)，f(x)＜f(1)(0≤x＜1)．因此f(x)＞0(x∈(—∞，—1)或x∈(1，+∞))，f(x)＜0(x∈(—1，1))．
18． 求曲线y=f(x)与x轴所围成的封闭图形的面积．
正确答案：曲线y=f(x)与x轴所围成的封闭图形是{(x，y)|—1≤x≤1，f(x)≤y≤0}见上图，该图形的面积A=∫—11|f(x)|dx=|∫—11f(x)dx|(因为f(x)在(—1，1)上恒负值)=—∫—11xf′(x)dx|=2∫01x.x3|x|dx=2∫01x5dx=
19． 计算二重积分I=|sin(x—y)|dxdy，其中D：0≤x≤2π，x≤y≤2π．
正确答案：对被积函数先不去掉绝对值符号，直接在区域D(0≤x≤2π，x≤y≤2π)上化为累次积分I=∫02πdx∫x2π|sin(x—y)|dy对内层积分作变量替换t=x—y，(y为积分变量，x为常量)I=—∫02π(∫0x—2π|sint|dt)dx=∫02πx|sinx|dx=∫0πxsinxdx—∫π2πxsinxdx=π+3π=4π．
20． 设u=f(2x+3y，z)，其中f具有二阶连续偏导数，而z=z(x，y)是由方程z+lnz—=1确定并满足z(0，0)=1的函数，求．结果用fi′(0，1)，fij″(0，1)表示(i，j=1，2)．
正确答案：u与x，y的变量依赖关系如图，其中z与x，y的函数关系由以下方程确定：z+lnz—∫yxe—t2dt=1．由u=f(2x+3y，Z)，有将z+lnx—∫yxe—t2dt=1两边分别对x，y求偏导数有将代入(*)式可得，该式再对y求偏导数并将的表达式代入有当x=0，y=0时有z(0，0)=1，代入即得
设xOy平面第一象限中有曲线Γ：y=y(x)，过点A(0，—1)，y′(x)＞0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为—1．
21． 导出y=y(x)满足的积分、微分方程．
正确答案：先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程Y—y(x)=y′(x)(X—x)，其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距X=x—．又弧段的长度为，按题意得这是y(x)满足的积分、微分方程．
22． 导出y(x)满足的微分方程和初始条件．
正确答案：①式两边对x求导，就可转化为二阶微分方程：又由条件及在①式中令x=0得y(0)=—l，y′(0)=1．因此得y(x)满足的二阶微分方程的初值问题问题①与②是等价的．
23． 求曲线Γ的表达式．
正确答案：下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换P=y′，并以Y为自变量得由y(0)=—1得P=1 C′=0将上面两式相减再积分得x=+C， ③其中C=，则③就是所求曲线Γ的表达式.
24． 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f″(ξ)=—4．
正确答案：转化为证明某函数的二阶导数在(0，2)零点．设g″(x)= —4．令F(x)=f(x)—g(x)则ξ∈(0，2)，使f″(ξ)= —4F″(ξ)=0．注意g(x)= —2x2+c1x+c2，于是F(0)=f(0)—g(0)= —c2 ，F(1)=f(1)—g(1)=4—c1 —c2 ，F(2)=f(2)—g(2)=8—2c1 —c2 ．为使F(0)=F(1)=F(2)，取c1=4，c2=0，F(x)=f(x)—g(x)=f(x)—(—2x2+4x)满足F(0)=F(1)=F(2)=0．由于函数F(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间[0，1]与[1，2]上分别对函数F(x)应用罗尔定理，从而知分别存在η1∈(0，1)与η2∈(1，2)使得F′(η1)=F′(η2)=0，由题设知F′(x)在区间[η1，η2]上也满足罗尔定理的条件，再在区间[η1，η2]上对导函数F′(x)应用罗尔定理，又知存在ξ∈(η1，η2)(0，2)使得F″(ξ)=f″(ξ)—g″(ξ)=0，即f″(ξ)=g″(ξ)= —4成立．
设α1=(1，3，5，—1)T，α2=(2，7，α，4)T，α3=(5，17，—1，7)T．
25． 若α1，α2，α3线性相关，求a．
正确答案：α1，α2，α3线性相关，则r(α1，α2，α3)＜3．(α1，α2，α3)=得a= —3．
26． 当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4．
正确答案：与α1，α2，α3都正交的非零向量即为齐次方程组的非零解，解此方程组：解得α4=c(19，—6，0,1)T，c≠0.
27． 设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α2，α3，α4可表示任何一个4维向量．
正确答案：只用证明α1，α2，α3，α4线性无关，此时对任何4维向量α，有α1，α2，α3，α4，α线性相关，从而α可以用α1，α2，α3，α4线性表示．方法：由(Ⅱ)知，当a=3时，α1，α2，α3线性无关，只用证明α4
不能用α1，α2，α3线性表示．用反证法，如果α4能用α1，α2，α3线性表示，设α4=c1α1+c2α2+c3α3，则(α4，α4)=(α4，c1α1+c2α2+c3α3)=c1(α4，α1)+c2(α4，α2)+c3(α4，α3)=0，得α4=0，与α4是非零向量矛盾．
已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，—1)T满足Aα=2α．
28． 求xTAx的表达式．
正确答案：设A=，则由条件Aα=2α,即得2a—b=2，a—c=4，b+2c= —2，解出a=b=2，c= —2．此二次型为4x1x2+4x1x3—4x2x3．
29． 求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．
正确答案：先求A的特征值．|λE—A|==(λ—2)2(λ+4)．于是A的特征值就是2，2，—4．再求单位正交特征向量组．属于2的特征向量是(A—2E)x=0的非零解．A—2E=得(A—2E)x=0的同解方程组：x1—x2—x3=0．显然β1=(1，1，0)T是—个解，设第二个解为β2=(1，—1，c)T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2．再把它们单位化：记η1=β1／，η2=β2／．属于—4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解．求出β3=(1，—1，—1)T是一个解，单位化：记η3=β3／．则η1，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，—4．作正交矩阵Q=(η1，η2，η3)，则Q—1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，—4．作正交变换x=Qy，它把f(x1，x2，x3)化为2y12+2y22—4y22．
