额济纳旗民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 若直线L：(2m1)x(m1)y7m40圆C：(x1)(y2)25交于A,B两点，则弦长

22|AB|的最小值为（ ）

A．85

B．45

C．25

D．5

2． 已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0,n)，B(0,n)（n0）.命题p：若存在点P在圆

(x3)2(y1)21上，使得APB2，则1n3；命题：函数f(x)4log3x在区间xD．(p)q）

(3,4)内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）

A．p(q)

B．pq

C．(p)q

3． 如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（

A．B．1C．D．

）

D．∅={0}

4． 下列关系式中，正确的是（ A．∅∈{0}

B．0⊆{0}

C．0∈{0}

5． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ A．2日和5日　

6． 如图，已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，

）

B．5日和6日

C．6日和11日

D．2日和11日

）

直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（

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A．y=±xB．y=±3xC．y=±xD．y=±x

7． 设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8． 函数y=

+

的定义域是（

）

D．{x|x≥﹣1且x≠3}

）

A．{x|x≥﹣1}B．{x|x＞﹣1且x≠3}C．{x|x≠﹣1且x≠3}

）

9． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（

A．7B．15C．31D．63

10．如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（

A

）

D

OB

C

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A．

1 B．

1 2C．

11 2D．

1142【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．

11．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α12．已知x，y∈R，且积为（ A．4　

﹣

）B．4

﹣

C．

D．

+

，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面

）

二、填空题

x2y213．设某双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为

2736.(15,4)，则此双曲线的标准方程是 14．已知函数f（x）=围是　　．，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范

15．在正方形ABCD中，ABAD2,M,N分别是边BC,CD上的动点，当AMAN4时，则MN的取值范围为 和基本运算能力．

16．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．　b17．已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极小值10，则的值为 ▲ ．a18．函数f（x）=2ax+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是　　　　　　．．【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想

三、解答题

19．设A（x0，y0）（x0，y0≠0）是椭圆T：

+y2=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依

次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示．（Ⅰ） 若点A横坐标为

，且BD∥AE，求m的值；

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（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆+y2=（）2上．

20．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1AAB,CBA1ABB1．（1）求证：AB1平面A1BC；

（2）若AC5,BC3,A1AB60，求三棱锥CAA1B的体积．

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21．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为

极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

22．（本小题满分10分）已知函数f(x)|xa||x2|.

（1）当a3时，求不等式f(x)3的解集；（2）若f(x)|x4|的解集包含[1,2]，求的取值范围.

23．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；

（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．

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24．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，a∈R（1）当a=1，求f（x）的单调区间；（4分）

（2）a＞1时，求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（5分）（3）g（x）=（1﹣a）x，若

使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围.

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额济纳旗民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）一、选择题

1． 【答案】B【解析】

试题分析：直线L:m2xy7xy40，直线过定点（3,1）是弦中点时，此时弦长AB最小，圆心与定点的距离d2xy70，解得定点3,1，当点

xy401322125，弦长

AB225545,故选B.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.

【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是l2Rd，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离.1111]

2． 【答案】A【解析】

试题分析：命题p：APB222,则以AB为直径的圆必与圆x3y1221有公共点,所以

n12n1,解得1n3,因此,命题p是真命题.命题：函数fx44x，f41log30,log3x4log330,且fx在3,4上是连续不断的曲线,所以函数fx在区间3,4内有零点，因此,命题是3假命题.因此只有p(q)为真命题．故选A．f3考点：复合命题的真假．

【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P满足APB2,因此在以AB为直径的圆上,又点P在圆

(x3)2(y1)21上，因此P为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数

4f(x)log3x是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.

x3． 【答案】D

【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是

，

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∴直角三角形的面积是∴原平面图形的面积是1×2故选D．　

4． 【答案】C

=2

，

【解析】解：对于A∅⊆{0}，用“∈”不对，

对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确；对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．　

5． 【答案】C

【解析】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，

根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，

据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．

【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．　

6． 【答案】D

【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，|PF1|=m，|QF1|=n，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，|MF2|=|NF1|=n，即有m﹣1=n，②由①②解得a=1，由|F1F2|=4，则c=2，b=由双曲线

﹣=

，

=1的渐近线方程为y=±x，

x．

即有渐近线方程为y=故选D．

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【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．　

7． 【答案】B

【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ），且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限，∴故选：B．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．　

8． 【答案】D

【解析】解：由题意得：

，

解得：x≥﹣1或x≠3，故选：D．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．　

9． 【答案】 D

【解析】解：模拟执行算法框图，可得A=1，B=1

满足条件A≤5，B=3，A=2满足条件A≤5，B=7，A=3满足条件A≤5，B=15，A=4满足条件A≤5，B=31，A=5满足条件A≤5，B=63，A=6

不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．故选：D．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．

，∴θ为第二象限角，

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10．【答案】C【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为

21，扇形

OAC的面积为，所求概率为P211．【答案】D

111．2【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；

C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D．　

12．【答案】 A

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，则令sinα=则方程等价为即sin（α+θ）=﹣

（

cosθ+，则cosθ=

sinθ）=﹣1，，

sin（α+θ）=﹣1，，

∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，∴|﹣

|≤1，即x2+y2≥1，

则对应的区域为单位圆的外部，由

，解得

，即B（2，2

×

），=4

，

A（4，0），则三角形OAB的面积S=直线y=则∠AOB=

x的倾斜角为

，

，

﹣

，即扇形的面积为

则P（x，y）构成的区域面积为S=4，

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故选：A

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．　

二、填空题

y2x213．【答案】145【解析】

x2y2试题分析：由题意可知椭圆1的焦点在y轴上，且c236279，故焦点坐标为0,3由双曲

2736线的定义可得2a150432215043224,故a2，b2945，故所求双

y2x2y2x2曲线的标准方程为1．故答案为：1．

4545考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．14．【答案】　（0，1）　．

【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：

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令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为（0，1）．

【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．　

15．【答案】[2,2]（0£x£2，0£y£2）上的点(x,y)到定点(2,2)的距离，其最小值为2，最大值为2，故MN的取值范围为[2,2]．

yD2NCMA16．【答案】12【解析】

B2x考

点：球的体积与表面积．

【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．

117．【答案】2第 12 页，共 17 页

考

点：函数极值

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.

（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.

18．【答案】　（﹣1，﹣1）　．

【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，∴BD⊥AC，可知A（故

，m=2；

），

（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形，设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则

，

由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0，

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显然x1≠x0，从而

∵AE⊥AC，∴kAE•kAC=﹣1，

=，

∴，

解得，

代入椭圆方程，知．

【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．　

20．【答案】（1）证明见解析；（2）43.【解析】

试题分析：（1）有线面垂直的性质可得BCAB1，再由菱形的性质可得AB1A1B，进而有线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证三角形A1AB为正三角形，再由于勾股定理求得AB的值，进而的三角形A1AB的面积，又知三棱锥的高为BC3，利用棱锥的体积公式可得结果.

考

点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式.21．【答案】（1）点P在直线上（2）

【解析】（1）把极坐标系下的点

化为直角坐标，得P（0，4）。

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因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程所以点P在直线上，

（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为从而点Q到直线的距离为

，

，

，

22．【答案】（1）{x|x1或x8}；（2）[3,0].【解析】

试

2x5,x22x3，当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；题解析：（1）当a3时，f(x)1,2x5,x3当2x3时，f(x)3，无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x8，∴f(x)3的解集为

{x|x1或x8}.

（2）f(x)|x4||x4||x2||xa|，当x[1,2]时，|xa||x4|4xx22，∴2ax2a，有条件得2a1且2a2，即3a0，故满足条件的的取值范围为[3,0].考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.23．【答案】

【解析】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，

且b＞1．由根与系的关系得

，解得

，所以得

．

（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．

①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．

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综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．　

24．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），∴

…（2分）

，解得x=1或x=，x∈

（，1），

函数是减函数．…（4分）（2）∴当1＜a＜e时，

，∴

，

，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈

∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）

当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，∴综上

（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在∵当

时，lnx≤0＜x，

上有解，

…（9分）上有解

当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，∴令∵

，∴x+2＞2≥2lnx∴在区间

上有解．

…（10分）

时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，

x∈（1，e]，h（x）是增函数，

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∴∴

时，

…（14分）

，，∴

∴a的取值范围为

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