2020-2021济南市高中必修二数学下期末试卷及答案

一、选择题

1．如图，在VABC中，BAC90，AD是边BC上的高，PA平面ABC，则图中

直角三角形的个数是（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

2．设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ） A．若m//，n//，则m//n C．若m//n，n，则m

B．若m//，m//，则// D．若m//，，则m

23．设集合A1,2,4，Bxx4xm0．若AB1，则B ( ) A．1,3

B．1,0

C．1,3

D．1,5

4．已知集合Ax|x3x20,xR,Bx|0x5,xN，则满足条件

2ACB的集合C的个数为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

2，AC2，E是边BC的中点.O为ABC所在平面内一点

uuuv2uuuv2uuuv2uuuvuuuv且满足OAOBOC，则AE·AO的值为（ ）

5．在ABC中，ABA．

1 2B．1

C．2 2D．

3 26．函数fx3sinA．22x的一个单调递增区间是 3B．5, , D．6622uuurrrrruuurr7．C是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，C2ab，则

713, 12127, 1212C．下列结论正确的是（ ）

rA．b1

rrB．ab

12rrC．ab1

11 abuuurrrD．4abC

8．已知0ab1，则下列不等式不成立的是 ．．．A．()()

12abB．lnalnb

C．D．

11 lnalnbx2y29．已知椭圆E:221(ab0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线

abl:3x4y0交椭圆E于A,B两点．若AFBF4，点M到直线l的距离不小于

4，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ） 5A．(0,3] 2B．(0,]

34C．[3,1) 2D．[,1)

3410．设函数，则f(x)sin2xA．yfx在0,B．yfx在0,C．yfx在0,D．yfx在0,cos2x，则（ ） 442单调递增，其图象关于直线x4对称 对称 对称

2单调递增，其图象关于直线x22单调递减，其图象关于直线x4单调递减，其图象关于直线x对称 2211．已知a0,b0，并且A．2

111,,成等差数列，则a4b的最小值为（ ） a2bB．4 C．5 D．9

xa,x112．若函数fx是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )

23ax1,x1A．2,1 3B．,1

34C．23, 34D．2, 3二、填空题

13．在ABC中，若B3，AC3，则AB2BC的最大值为__________．

14．在区间0,1上随机选取两个数x和y，则满足2xy0的概率为________． 15．已知函数f(x)x2xax1在区间范围是____________ 16．不等式()32上恰有一个极值点，则实数a的取值

12x22x31的解集是______．

17．如图，在等腰三角形ABC中，已知ABAC1，A120，E、F分别是边

AB、AC上的点，且AEAB,AFAC,其中,0,1且41，若线段

uuuuvEF、BC的中点分别为M、N，则MN的最小值是_____.

uuuvuuuvuuuvuuuv

18．在ABC中，B120o，BC1，且ABC的面积为19．若tan3，则AC__________． 21,则tan____________. 4620．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．

三、解答题

1m3x21．已知函数f(x)loga（a0，且a1）的图象关于坐标原点对称．

x1（1）求实数m的值；

（2）比较f2与f3的大小，并请说明理由． 22．已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│. （1）求不等式f(x)≥1的解集；

（2）若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.

23．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率． 24．已知不等式（1）求

的解集为

或

.

；（2）解关于的不等式

3 ，525．在VABC 中，a ， b，c 分别是角A ， B，C 的对边，cosBuuuvuuuvABBC21 .

（1）求VABC 的面积； （2）若a7 ，求角C .

26．ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若m(cosB,cosC)，

vuvvvn(2ac,b)，且mn.

（1）求角B的大小；

（2）若b7，ac8，求ABC的面积.

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】

①QPA平面ABC，PAAB,PAAD,PAAC,PAB,PAD,PAC都是直角三角形；

②QBAC90,VABC是直角三角形； ③QADBC,ABD,ACD是直角三角形；

④由PABC,ADBC得BC⊥平面PAD，可知：BCPD,PBD,PCD也是直角三角形.

综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C．



【点睛】

本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．

2．C

解析：C 【解析】

【分析】

根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】

对于A选项，若m//，n//，则m与n平行、相交、异面都可以，位置关系不确定； 对于B选项，若Il，且m//l，m，m，根据直线与平面平行的判定定理知，m//，m//，但与不平行；

对于C选项，若m//n，n，在平面内可找到两条相交直线a、b使得na，

nb，于是可得出ma，mb，根据直线与平面垂直的判定定理可得m； 对于D选项，若，在平面内可找到一条直线a与两平面的交线垂直，根据平面与

平面垂直的性质定理得知a，只有当m//a时，m才与平面垂直． 故选C． 【点睛】

本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．

3．C

解析：C 【解析】

，2，4，Bx|x4xm0，AB1 ∵ 集合A12 ∴x1是方程x24xm0的解，即14m0 ∴m3

， ∴Bx|x4xm0x|x4x3013，故选C

224．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

求解一元二次方程，得

Ax|x23x20,xRx|x1x20,xR 1,2，易知Bx|0x5,xN1,2,3,4.

因为ACB，所以根据子集的定义， 集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合3,4的子集个数，即有224个，故选D. 【点评】

本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

uuuv1uuuvuuuvABAC，将所求数量积化为根据平面向量基本定理可知AE2vuuuv1uuuvuuuv1uuuABAOACAO；由模长的等量关系可知AOB和AOC为等腰三角形，根据三22v21uuuv2uuuvuuuvuuuvuuuv1uuu线合一的特点可将ABAO和ACAO化为AB和AC，代入可求得结果.

22【详解】

uuuv1uuuvuuuvQE为BC中点 AEABAC

2uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv1uuuvuuuvAEAOABACAOABAOACAO

222uuuv2uuuv2uuuv2QOAOBOC AOB和AOC为等腰三角形

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv1uuuv1uuuv2ABAOABAOcosOABABABAB，同理可得：

22uuuvuuuv1uuuv2ACAOAC

2uuuvuuuv1uuuv21uuuv213AEAOABAC1

4422本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.

6．A

解析：A 【解析】 【分析】

首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】

22fx3sin2x3sin2x， 函数的解析式即：33其单调增区间满足：2k解得：k232x2kkZ， 232713xkkZ， 1212令k0可得函数的一个单调递增区间为故选A. 【点睛】

713,. 1212本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7．D

解析：D 【解析】

uuurruuuruuurrruuuruuurruuuruuurr试题分析：QAB2a,AC2ab,ACABb,bACABBC．

rrrrr1o由题意知b2,ababcos120121．

2ruuuruuuruuuruuuruuuruuur2rruuu4abBC2ABBCBC2ABBCBCuuuruuuruuurrr1o22ABBCcos120222240．4abBC．故D正确．

2考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】

x1a1b1依题意0ab1，由于y为定义域上的减函数，故()()，故A选项不等222式成立.由于ylnx为定义域上的增函数，故lnalnb0，则项不等式不成立，D选项不等式成立.由于0ab1，故综上所述，本小题选B. 【点睛】

本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.

11，所以B选lnalnb11，所以C选项不等式成立.ab9．A

解析：A 【解析】

试题分析：设F1是椭圆的左焦点，由于直线l:3x4y0过原点，因此A,B两点关于原点对称，从而AF1BF是平行四边形，所以BF1BFAFBF4，即2a4，

a2，设M(0,b)，则d4b4b4，b1，即1b2，又，所以

555c3．故选A． a2c2a2b24b2，所以0c3，0考点：椭圆的几何性质．

【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得a,c关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AFBF就是2a，从而得a2，于是只有由点到直线的距离得出b的范围，就得出c的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．

10．D

解析：D 【解析】

f(x)sin(2x)cos(2x)2sin(2x)2cos2x,

442由02x,得0x2，再由2xk,kZ,所以x2k,kZ. 2所以y=f(x)在yf(x)在(0,2)单调递减,其图象关于直线x2对称,故选D.

11．D

解析：D 【解析】 ∵

111,,成等差数列， a2b11a4ba4b111，a4ba4b5…529， ababbaba当且仅当a=2b即a3,b本题选择D选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

3时“=“成立， 212．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a的取值范围. 【详解】

当x1时，ax为减函数，则0a1，

当x1时，一次函数23ax1为减函数，则23a0，解得：a且在x1处，有：23a11a，解得：a12， 33， 4综上可得，实数a的取值范围是本题选择C选项. 【点睛】

23,. 34对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．

二、填空题

13．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式 解析：27 【解析】 【分析】 【详解】 设

AQABBC322AB2sin2sin, 3sin3322BC2sinAB2BC2sin4sin27sin，最大值为27 3考点：解三角形与三角函数化简

点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为asinbcosa2b2sin的形式

14．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为 解析：

1 41111 22=124【解析】

概率为几何概型，如图，满足2xy0的概率为SOABS正方形

15．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以 解析：1a7

【解析】 【分析】 【详解】

2由题意，f(x)3x4xa，则f(1)f(1)0，解得-1＜a＜7，经检验当a=-1时，

f(x)3x24x10的两个根分别为x1=-,x2=-1，所以符合题目要求，a7时，

13f(x)3x24x10,在区间

无实根，所以1a7．

16．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题 解析：1,3

【解析】 【分析】

先利用指数函数的单调性得x22x30，再解一元二次不等式即可． 【详解】

12 ()x2x31x22x301x3． 2故答案为1,3 【点睛】

本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．

17．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 解析：7 7【解析】

【分析】

根据条件及向量数量积运算求得ABAC,连接AM,AN,由三角形中线的性质表示出

uuuruuuruuuuruuuruuuur2.根据向量的线性运算及数量积公式表示出AM,ANMN,结合二次函数性质即可求得最小

值. 【详解】

根据题意,连接AM,AN,如下图所示:

在等腰三角形ABC中,已知ABAC1,A120

uuuruuuruuuruuur1o则由向量数量积运算可知ABACABACcosA11cos120

2线段EF、BC的中点分别为M、N则

uuuur1AM2uuur1AN2uuuruuurruuur1uuuAEAFABAC

2uuuruuurABAC

uuuuruuuruuuur11uuur11uuur由向量减法的线性运算可得MNANAMABAC

2222uuuur211uuur11uuur2所以MNABAC

22222r2rruuur211uuu211uuu1111uuuABAC2ABAC 222222221111111112 2222222222uuuur2212312111因为41,代入化简可得MN

42447722因为,0,1 所以当因而MNuuuur211时, MN取得最小值 77uuuurmin17 77故答案为:

7 7【点睛】

本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.

18．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解 解析：7

【解析】 【分析】

根据三角形面积公式得到S【详解】

在ABC中，B120o，BC1，且ABC的面积为

1331ABAB2.再由余弦定理得到AC长. 2223，由正弦定理的面积公式得2到：S1331ABAB2. 2227.

再由余弦定理得到AC2AB2BC22ABBCcos12007 故得到AC故答案为：7. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

19．【解析】故答案为 解析：

【解析】

751tantan1744tantan6

154411tantan47故答案为.

520．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形

面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图 解析：7

【解析】

试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形，面积为3，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为22的等腰三角形，面积为7，所以面积最大的面的面积是7．

考点：三视图．

三、解答题

21．（1）m1；（2）当a1时， f2f3；当0a1时， f2f3，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有fxfx在函数的定义域内恒成立，进而求得m的值，再进行检验； （2）根所在（1）中求得的m值，得到f(x)logax1，再求得f2,f3的值，对 x1a分两种情况讨论，从而得到f2,f3的大小关系.

【详解】

1m3x1m3(x)解：（1）Qf(x)loga，f(x)loga．

x1x1又Q函数fx的图象关于坐标原点对称，f(x)为奇函数，

fxfx在函数的定义域内恒成立，

1m3(x)1m3x， logalogax1x11m3(x)1m3x1，

x1x1m61x20在函数的定义域内恒成立，

m1或m1．

当m1时，函数的真数为1，不成立，

m1．

（2）据（1）求解知，f(x)logax1， x1f(2)loga3，f(3)loga2．

当a1时，函数g(x)logax在(0,)上单调递增，

Q23，loga2loga3f(3)f(2)；

当0a1时，函数g(x)logax在(0,)上单调递减，

Q23，loga2loga3f(3)f(2)．

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a分a1和0a1两种情况讨论. 22．（1）1,；（2）,.

45【解析】 【分析】

3，x＜11x2，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2（1）由于f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|2x1，3，x＞2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；

（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max【详解】

5，从而可得m的取值范围． 43，x＜11x2，f（x）≥1， 解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|2x1，3，x＞2∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．

（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立， 即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．

x2x3，x121＜x＜2， 由（1）知，g（x）x3x1，x2x3，x2当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；

当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x∴g（x）≤g（

1＞1， 23∈（﹣1，2）， 23995）1； 2424当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g（x）max1＜2， 25， 45]． 4∴m的取值范围为（﹣∞，【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 23．(1) 【解析】 【分析】 【详解】

设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y． 用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），

（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．

（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A， 则A＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}． 事件A由4个基本事件组成，故所求概率P（A）＝

＝

．

． (2)

．

（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，

则B＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B由7个基本事件组成，故所求概率P（A）＝考点：古典概型的概率计算

24．（1）a＝1，b＝2；（2）①当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，解集为∅． 【解析】 【分析】

（1）根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值； （2）把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，讨论c的取值，求出对应不等式的解集． 【详解】

（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}， 所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；

．

由根与系数的关系，得解得a＝1，b＝2；

，

（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0， 即（x﹣2）（x﹣c）＜0；

①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}； ②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}； ③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅． 【点睛】

本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题． 25．(1)14;(2) C45. 【解析】

试题分析：（1）先求出ac的值，再由同角三角函数基本关系式求出sinB，从而求出三角形的面积即可；（2）根据余弦定理即正弦定理计算即可． 试题解析：（1）∵ABBC21 ，BABC21 ，

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvBABCBABCcosBarccosB21

∴ac35 ，∵cosB34114 ，∴sinB ，∴SVABCacsinB3514 55225（2）ac35 ，a7 ，∴c5 由余弦定理得，b2a2c22accosB32 ∴b42 ，由正弦定理：

cbc542 ，∴sinCsinB sinCsinBb2425∵cb 且B 为锐角，∴C 一定是锐角， ∴C45 26．（1）【解析】

2153；（2）. 34试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若mn，则有cosB•（2a+c）+cosC•b=0，结合正弦定理可得cosB•（2sinA+sinC）+cosC•sinB=0，将其整理变

vv1，由B的范围分析可得答案；（2）结合题意，根据余弦定理分析可得249=a2+c2+ac，又由a+c=8，变形可得ac=15，由三角形面积公式计算可得答案． 详解：

形可得cosB（1）∵mn，∴cosB2accosCb0，

∴cosB2sinAsinCcosCsinB0，

∴2cosBsinAsinCcosBcosCsinB sinBCsinA， ∴cosB12，∴B. 232（2）根据余弦定理可知b2a2c22accosB，∴49a2c2ac， 又因为ac8，∴ac，∴a2c22ac，∴ac15， 则S1153. acsinB24点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.