代数式漫谈

蛘史话　”：；；；；团圆墨皿皿一　代数式漫谈　刘云章　（南京师范大学数学科学院　江苏　２１００９７　新课标已把代数式内容安排在七年级到九年级，其　千万个大小不等的圆，它们的面积与半径之间有什么关　间学生将接触到抽象的代数符号体系与代数方法．教师　系呢？利用数学符号可以简单地表示为：．ｓ＝叮ｒ　ｒ２．　能不能结合数学发展史把代数式讲得生动活泼，对学生　建立正确的数学观至关重要．为此，笔者与教师谈　谈　代数式．　代数式是怎样形成的？　用字母表示数是代数式的主要特征之一．代数式是　为什么要用字母表示数？　由有限个代数运算符号＋、一、×、÷及乘方、开方将　在悠久的岁月中不断改进、演变而成的，它经历了三个　阶段．　最初是文字代数式．解题不用简写记法，也不用任　表示数的数码或字母连接而成的式子叫做代数式．在代　何符号，而是用地道的散文形式写成的，在公元３００年前　数式中普遍使用字母表示数．为什么要用字母表示数　的代数式都是文字代数式．到了希腊时代，代数学获得　呢？一方面，因为用字母表示数之后，可以简化语言．例　重大的发展，代表人物是丢番图，被誉为“代数学的鼻　如，把两数和的立方公式用自然语言表达，应该是：　祖”．他的重要贡献之一就是引进了代数式简写记法．他　一“两数和的立方等于第一个数的立方、第一个数的　用简写文字表示三次多项式，还用字母来表示未知元和　平方与第二个数的积的三倍、第二个数的平方与第一个　数的积的三倍以及第二个数的立方这四项的和．”　这样用文字叙述，很繁琐，改成数学语言：（ａ＋ｂ）　些运算，这是近世符号代数的开端．不过，在世界的很　多地方，文字代数式还相当普遍地持续了好几百年．公　元９世纪，在阿拉伯人阿尔・花拉子模的《代数学》中，一　：ｎ　＋３　＋３ｎ６　＋６　，就大大缩短了语言表达的长度，并且　切算法都用文字语言来表达，例如把　＋１０ｘ＝３９说成“一　还呈现出公式本身具有的对称性刑用字母表示数，数　个平方数及其根的十倍等于３９”．尤其是西欧，ｌ５世纪以　学语言就可以从冗长的自然语言中解救出来．另一方　前基本上都是文字代数式，直到后来才开始有一些零星　面，用字母表示数之后，数学语言才能够很好地表示一　的简写记法．１５世纪，阿拉伯人开始在数学中使用印度・　但是形状和现在还有很大的区别，而且按　般规律，极大地扩充了语言表达的范围．例如，世界上有　阿拉伯数码，４３　ｒ　鹃　维普资讯 http://www.cqvip.com

群毫疆　●—圊皿雹雹衄掇；：”　照阿拉伯人的习惯，式子是从右向左读的．　表示立方根．到１６世纪初小点还加上一条尾巴变成“一”．　用字母表示数的做法是１６世纪才开始在西欧出现　就像一只小蝌蚪，这可能是写快时带上的、“小蝌蚪”毕　的，而且发展缓慢，直到１７世纪中叶才广泛流行．在这方　竟不方便，很难标准化、１５２５年，德国数学家鲁道夫的代　面功劳最大的是法国数学家韦达，他第一个比较有意识　数书用ｘ／８，　８，ＶＬ／Ｖ／８分别表示、／　，　，　．　地、系统地在数学式子中引入字母符号．他的名著《分析　用小钩要比“小蝌蚪”好多了，不过后来又发现了新问　方法入门》一书对代数式的发展有不少贡献．其中，他用　１　辅音字母表示已知元，用元音字母表示未知元．对多项　题、据说，两个工程人员为一个式子“ｘ／÷ｇＺ　％ｌＯ０”闹起　式的系数加以修饰，用字母表示一般系数．他还使用过　了矛盾，差一点儿要上法庭打官司、究其原因是，小钩　现在的“＋”号和“一”号．在韦达之前，人们一般用不同的　“、／”的意义不明确，不知道它能管到后面几个字母及　字母表示一个量的各种幂，而韦达用同一个字母表示，　数字．　并适当地加以说明．他明确指出代数和算术的区别，说　后来，笛卡儿在他的《几何学》中首先创造现代的算　算术是与数打交道的，而代数是研究表达式和解方程　术平方根符号“、／一”．他在有关几项的上方加一条横　的．但是他的文章中缺乏等号与乘号．他的代数式写法还　线，前面再放上记号“、／”，这样就可避免混淆．　是混乱的，言辞与缩写混在一起．　现在使用的立方根符号出现很晚，一直到１８世纪才　英国数学家雷科德于１５５７年出版了一本代数学，书　在一些书中看到，在１７３２年以后才渐渐通行’稍后，一般　中首次使用了现代的等号．过去也曾有人使用平行线段　的　次方根符号也就相继出现了．　作等号，但是写得太长了．１６３７年，笛卡儿的《几何学》问　零的故事也很有趣，这里不多谈、　世，他提出用字母表中的字母　，’，，ｚ表示未知数，用前面　的字母ｎ，ｂ，ｃ表示已知数，他所给出的代数式的形式和　关于代数式的一些规定　现在的写法已基本一致，只是缺少幂的符号，他把Ｘ２，　人类社会为了生存发展，总要作出一系列的规定．　分别写成　・　，　・　现在的代数式写法主要是采用笛卡　为了学习和工作方便，为了有利于数学的研究、传播与应　儿的符号．　用，代数式也要作规定．例如，一万个ａ连乘－ａ・ａ…ａ…ａ．　１　－一　某些名词和符号发明的故事　不但写起来很不方便，而且看起来也不方便，按规定把　与代数式有关的某些名词和符号的发明是很有趣　它写成ｎ　，写和看都方便多了．那么，为什么要合并同　的．例如，“幂”这个词是怎样引进数学的？求几个相同数　类项？道理很简单．假如有人买早点时这样讲：“我要买　的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．幂的概念的　两个大饼、一根油条；我还要买三个大饼、两根油条；我　形成是相当曲折和缓慢的．我国古代“幂”字至少有１０种　还要买一个大饼、一根油条……”读者听到以后，会有　不同的写法．最简单的是“一”．“幂”作名词用是指覆盖食　什么感觉？“此人有毛病．”人们讲话做事，总是合并同类　物的方巾，作动词用就是指用方巾来覆盖．《说文解字》　项的。数学也是如此．这些普通常识似乎不值得一谈，但　解释说“一者，覆也，从一下垂也．”　是这种普通常识已经渗透到数学的很多角落．　用一块方形的布盖东西，四角垂下来，就成“一”的　数学中为什么要规定出各种最简形式，如最简多项　形状．将这意义加以引申，凡是方形的东西都可叫做幂．　式、最简分式、最简根式呢？道理也很简单，人们不管研　现在进一步推广，矩形面积或两数的积（特别是一个数　究什么问题，为了看清研究对象的本质特征，总要尽量　自乘的结果）也叫做幂．这种推广是从刘徽开始的．　化简其外形．例如，人员抓到坏人后，总要剥去他的　另一方面．幂的概念的形成还受到国外的影响．　一切伪装：假头发．假胡子，等等．这就是化简外形，目的　１５９１年，法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中　是要看清楚他的真面目．数学也一样，化简是为了求真，　曾经用拉丁文字表达“幂”，以后译成英文就变成意义相　规定各种最简形式．是为了突出它们的本质属性．如：　当的“ｐｏｗｅｒ＂．１９３５年，我国出版《数学名词》，把“ｐｏｗｅｒ”　３Ｘ２一　ｚ＋　一２ｘ２＋８似乎比较复杂，合并同类项使它变成　译成“幂”，这个术语从此才算确定下来．　最简形式，原来就是一个８．有经验的教师总会讲：“拿到　根号是怎样产生的？例如，“３的算术平方根”在古代　题目，先要化简．”这就是道理．　的数学课本中，只能老老实实地写上这七个字，很不方　数学是生动活泼有趣的，也是好玩的，教师所要做　便．能不能用个速记的符号来代表它呢？　的就是引导学生喜欢数学，会学数学，学活数学．但愿本　起初，德国人在１４８０年前后，用一个点来表示算术　文对教师有所帮助．　平方根，如・３就是３的算术平方根，一表示４次方根，…　（责任编辑李闯）