高中数学 第一章 解三角形 1.3 实习作业习题 新人教A版必修5

第1题 如图，一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东20o的方向，30 min后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东

65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可

以继续沿正北方向航行吗？

1.答案：在△ABS中，AB32.20.516.1nmile，ABS115þ， 根据正弦定理，

A 南 西 东 B 65o S 北 20oASAB， sinABSsin65o20oASABsinBoABsinABS216.1sin1152， oosin6520S到直线AB的距离是

dASsin20o16.1sin115o2sin20o7.06（cm）．

所以这艘船可以继续沿正北方向航行．

第2题. 如图，在山脚A测得出山顶P的仰角为a，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为，求证：山高h

Ｐ asinasin．

sin-a

Ｃ γ

2.答案：在△ABP中，

ABP180o+，

Ｑ B β a α Ａ

BPA180o-ABP 180o-180o+．

=-

在△ABP中，根据正弦定理，

APABsinABPsinAPBAP osin-sin180+APαsin-sin-所以山高为hAPsin

sin sin-．

sin-第3题. 测山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC65.3m，塔顶B的仰角是25o25．

已知山坡的倾斜角是17o38，求井架的高BC．

3.答案：在△ABC中，AC65.3m，

BAC=25o2517o387o47，

Ａ

D

Ｂ

Ｃ

β

α

ABC90o=90o17o3872o22，

根据正弦定理，

ACBC sinABCsinBACACgsinBAC65.3sin7o47BC9.3m osinABCsin7222井架的高约为9.3m．

第4题. 如图，货轮在海上以35n mile / h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148o的方向航行．为了确定船位，在B点观察灯塔A的方位角是

126o，航行半小时后到达Ｃ点，观察灯塔A的方位角是78o．求

B 126o A 货轮到达Ｃ点时与灯塔A的距离（精确到１ n mile）．

ABC148o126o12o，4.答案：在△ABC中，mile ， BC＝350.517.5n

C

78 oACB78o180o148o110o，BAC180o110o12o58o， 根据正弦定理，

ACBC， sinABCsinBACBCgsinABC17.5gsin12oAC4.29（nmile）． osinBACsin58货轮到达Ｃ点时与灯塔的距离是约4.29n mile．

第5题. 轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120o，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离是多少？

5.答案：70 n mile．

第6题. 如图，已知一艘船从30 n mile/h的速度往北偏东10o的A岛行驶，计划到达A岛后停留10 min后继续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西60o的方向上．船到达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西30o的方向，经过20 min到达Ｄ处，测得B岛在北偏西45o的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B岛？

6.答案：在△BCD中，

BCD30o10o40o,

BDC180oADB180o45o10o125o，

C

60 oB

45o 30oA

20 min

1CD3010（n mile），

3根据正弦定理，

CDBD10BD，， sinCBDsinBCDsin180o40o125osin40o10sin40oBD．

sin15o在△ABD中，

ADB45o10o55o，BAD180o60o10o110o， ABD180o110o55o15o．

根据正弦定理， 就是

ADBDAB， sinABDsinBADsinADBADBDAB， sin15osin110osin55oADBDgsin15osin110o10gsin40o6.84（n mile）． osin70BDgsin55o10gsin40ogsin55oAB21.65(n mile)． ooosin110sin15gsin70如果这一切正常，此船从Ｃ开始到Ｂ所需要的时间为：

20ADAB6.8421.656010306086.98（min） 3030即约１小时26分59秒．所以此船约在11时27分到达Ｂ岛．

第7题. 一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是27o和39o，计算这个海岛的宽度．

P

Q 8000m 27 o39o

7.答案：约5821.71m．

第8题. 一架飞机从A地飞到B到，两地相距700km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21o角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35o夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少？

8.答案：在△ABC中，AB700km，ACB180o21o35o124o， 根据正弦定理，

A 21o 700km C 35o B

700ACBC， ooosin124sin35sin21700gsin35oAC， osin124700gsin21oBC，

sin124o700gsin35o700gsin21oACBC786.（km）， oosin124sin124所以路程比原来远了约86.km．

第9题. 为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．

9.答案：在△ABT中，ATB21.4o18.6o2.8o，ABT90o18.6o，

AB15（m）．

15cos18.6oABAT根据正弦定理，，AT． ooosin2.8sin2.8cos18.615gcos18.6ogtan21.4o114.05（m）． 塔的高度为ATgtan21.4osin2.8o

第10题. A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的 两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离 两个探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？

10.答案：飞机离A处控照灯的距离是4801.53m， 飞机离B处探照灯的距离是4704.21m， 飞机的高度是约4574.23m．

第11题. 一架飞以326km/h的速度，沿北偏东75o的航向从城市A出发向城市B飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？

11.答案：AE=

3261897.8km， 60在△ACD中，根据余弦定理：

ACAD2CD22gADgCDgcos66o 5721102257110gcos66o 101.235

根据正弦定理：

ADAC，

sinACDsinADCADgsinADC57gsin66osinACD0.5144，

AC101.235ACD30.96o，ACB133o30.96o102.04o．

在△ABC中，根据余弦定理：

ABAC2BC22gACgBCgcosACB 101.235220422101.235204gcos102.04o 245.93，

AB2AC2BC2cosBAC

2gABgAC245.932101.23522042

2245.93101.2350.5847，

BAC54.21o．

在△ACE中，根据余弦定理：

CEAC2AE22gACgAEgcosEAC101.235297.822101.23597.80.5487 90.75，

AE2EC2AC2cosAEC．

2gAEgEC97.8290.752101.23520.4254， AEC.82o，

297.890.75 180oAEC180o75o75o.82o10.18o．

所以，飞机应该以南偏西10.18o的方向飞行，飞行距离约90.75km．

D

C

A

E

B

第12题. 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18o30，经过150s后又看到山顶的俯角为81o，求山顶的海拔高度（精确到1m）．

12.答案：飞行在150秒内飞行的距离是d10001000根据正弦定理，

18þ30' 81þ 150m， 3600dx，这里x是飞机看到山顶的俯角为ooosin8118.5sin18.581o时飞机与山顶的距离．飞机与山顶的海拔的差是：

dgsin18.5ooxgtan81gtan8114721.(m)， oosin8118.5o山顶的海拔是2025014721.5528m．

第13题. 一个人在建筑物的正西A点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从A点向南走到B点，再测得建筑物顶的仰角是，设A，B间的距离是a．

证明：建筑物的高是

13.答案：设建筑物的同度是h，建筑物的底部是C，

asinsinsinsin．

D

h

A



C

则AChh，BC． tantan△ABC是直角三角形，BC是斜边，

bh所以a2，

tantan221122ah， tantan22a2tan2tan2h

tan2tan22a2sin2sin2 sin2cos2cos2sin2a2sin2sin2． sinsin所以，hasinsinsinsin．