考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编10
(总分54,考试时间90分钟)
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. 设两个相互的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X－2Y的方差是 A. 8 B. 16 C. 28 D. 44
2. 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ＝X＋Y与η＝X－Y不相关的充分必要条件为 A. E(X)＝E(Y)
B. E(X2)＝[E(X)]2＝E(Y2)＝[E(Y)]2 C. E(X2)＝E(Y2)
D. E(X2)＋EE(X)]2＝E(Y2)＋EE(Y)]2
3. 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于 A. －1 B. 0 C. D. 1
4. 设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)同分布，且其方差σ2＞0，令Y＝，则
A. cov(X1，Y)＝
B. cov(X1，Y)＝σ2 C. D(X1＋Y)＝σ2
D. D(X1－Y)＝σ2
5. 设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(χ)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(χ｜y)为 A. fX(χ)． B. fY(y)．
C. fX(χ)fY(y)． D.
6. 设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数．ρXY＝1，则 A. P{Y＝－2X－1}＝1 B. P{Y＝2X－1}＝1 C. P{Y＝－2X＋1}＝1 D. P{Y＝2X＋1}＝1
7. 设随机变量X的分布函数为F(χ)＝0．3Ф(χ)＋0．7Ф()，其中Ф(χ)为标准正态分布的分布函数，则EX＝
A. 0． B. 0．3． C. 0．7． D. 1．
2. 填空题
1. 已知连续型随机变量X的概率密度为 f(χ)＝则EX＝_______，DX＝_______．
2. 已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且随机变量Z＝3X－2，则EZ_______． 3. 设随机变量X服从均值为2、方差为σ2的正态分布．且P{2＜X＜4}＝0．3，则，P{X＜0}＝_______．
4. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X＋e2X)＝_______．
5. 设X表示10次重复射击命中日标的次数。每次射中日标的概率为0．4．则E(X2)＝_______．
6. 设ξ和η是两个相互且均服从正态分布N(0，)的随机变量，则F(｜ξ－η｜)＝_______．
7. 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．
8. 设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．
9. 设随机变量X的概率分布为P{X＝k}＝，k＝0．1，2，…，则EX2＝_______．
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 设随机变量X与Y．H X～N(1．2)，Y～N(0，1)，试求随机变量Z＝2X－Y＋3的概率密度函数．
2. 设二维随机变量(X，Y)在区域D：0＜χ＜1，｜y｜＜χ内服从均匀分布，求笑于X的边缘概率密度函数及随机变量Z＝2X＋1的方差DZ．
3. 设随机变量X的概率密度为 f(χ)＝e-χ，－∞＜χ＜＋∞ (1)求EX和DX； (2)求X与｜X｜的协方差，并问X与｜X｜是否不相关? (3)问X与｜X｜是否相互?为什么?
4. 已知随机变量X～N(1，32)．Y～N(0，42)．而(X，Y)服从二维正态分布且X与Y的相关系数ρXY＝－，设Z＝． (1)求EZ和DZ； (2)求X与Z的相关系数ρXZ； (3)间X与Z是否相互?为什么?
5. 设ξ和η是相互且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为，P(ξ＝i)＝，i＝1，2，3，又设X＝max(ξ，η)，Y＝min(ξ，η)． (1)写出二维随机变量(X，Y)的分布律； (2)求EX．
6. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互的，并且概率都是，设X为途巾遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望．
7. 设两个随机变量X、Y相互，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求｜X－Y｜的方差．
8. 设随机变量X的概率密度为对X地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求Y2的数学期望．
9. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品．从甲箱中任取3件产品放人乙箱后，求： (1)乙箱中次品件数X的数学期望； (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率．
10. 设A，B为随机事件，且P(A)＝，P(B｜A)＝，P(A｜B)＝，令求(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的概率分布； (Ⅱ)X与Y的相关系数ρ(X，Y)．
11. 设随机变量X与Y的概率分布分别为且P{X2＝Y2}＝1． (Ⅰ)求二维随机变量(X，Y)的概率分布； (Ⅱ)求Z＝XY的概率分布； (Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY．
