向儿童展现数学本身

【摘要】数学课程建设的一个重要方向，就是回归教育的原点――儿童。儿童的特性是在“生长中”，数学“既是学生成长的需要，又是学生成长的载体”。儿童学习的数学不应是数学知识的简单汇集，而是通过对数学知识的原味解读、数学学习的原态过程、数学思维的原质提升等本质展现，重新赋予数学、数学教学应有的魅力，使得儿童在数学学习中能够获得智慧的启蒙、素养的滋润和生长的力量。 【关键词】儿童生长数学 数学教育 新教学主张课程观

一、“儿童生长数学”的内涵诠释

(一)“儿童生长数学”的提出背景

可能很多人觉得这是不成问题的问题：数学课要关注教什么吗?因为我们的印象中，相对于语文等其他学科，数学知识内容明确，条线清晰，教师一看教材，就知道今天这节课要讲什么。这种认识长期以来带来极明显的弊端。却又极容易被忽视。

笔者做过一项调查，在某次公开教学“圆的认识”后。向学生发放一张调查问卷，问题为：“学完了这节课，你有

什么收获?”绝大多数学生的数学学习感受停留于数学知识结论层面。笔者还试图从教师角度探究问题的成因，向执教和听课的教师发放一张问卷，提问同一个问题：“除了书上的数学知识结论，这节课还有什么地方是属于数学特性的?”教师的反应几乎一致，都觉得从没有人提问过自然也没有认真思考过这个问题。如本课执教者，虽然设计了“在操场上用绳子画圆”和“介绍荀子关于圆的描述”这些教学环节，但未能意识到它们背后对于儿童学习的内在价值。这些现象值得深思。

很多老师可能非常关注“怎样教数学”，而很少思考“数学是什么、数学教什么”，更甚少涉及“儿童需要怎样的数学”。这就不难解释“为什么很多学生不喜欢数学、为什么数学会成为枯燥和机械的代名词、为什么很多非数学教育工作者都信心满满地说能教好小学数学”这样的问题。 因为这样的数学教学，忽略了作为学习主体的儿童的生长需求，忽略了数学本身所具有的生长特性，在教者的眼里更多的是一种知识的积累，而非思维的提升、智慧的启蒙、素养的滋润。当数学成为一种解题工具，成为一种“冰冷”的知识被传授；当老师的眼里没有完整的数学、动态的数学，当数学教学不能给学生带来良好的学科感受。不能培养其良好的数学情怀，“必将使学生对知识产生冷淡的和漠不关心的态度”，数学教学也就失去了教育的价值和意义。

(二)“儿童生长数学”的核心理念

儿童学习数学。与成人或者数学专业工作者不一样。儿童需要的不只是数学知识的汇集，儿童视界观照下的小学数学教学，更多的应给儿童的成长历程以启蒙、滋润和力量。所以，数学教学更要展现“温情”的一面。让学生体验数学发展的历程，感受数学独特的思维方式。让学生穿越历史和思维的，获得超越知识的价值认同。这才是数学本身的魅力。

因此，“儿童生长数学”的核心价值理念包括： 第一，儿童是生长的，儿童需要生长的数学。小学数学教学的主体是儿童，儿童的最大特性是在“生长中”。儿童的数学学习和研究，是儿童的思想实验或“准实验”。是人类思维体操的“童年”。因此，数学“既是学生成长的需要。又是学生成长的载体”。数学知识具有不同的形态，知识结论属于固化形态，儿童需要的应当是一种具有生长形态的数学知识。

第二。数学本身的生长才是数学教学的最好资源。数学知识经历了漫长的发展历程，这一发展过程以及过程背后的发展规律是数学知识最大的魅力所在。当然，儿童的数学学习，不同于数学家研究过程的简单复制，也不是数学发展史的浓缩，数学教师应当敏锐地感受到数学发展的“内核”，

引导学生参与知识的“创造”、“发现”的过程。

第三，儿童学习数学的本质，即通过数学知识的生长性。给儿童的生长以启蒙和滋润。儿童数学要求教者转变“已知者”的身份，成人眼里极为简单、高度概括的知识结论、自动化的思维程序、内隐的学习系统，这些都需要教者还原、品味和提升，都是儿童需要学习的资源。数学教学要努力摆脱“只学不问、只知不识”的教学状态。儿童数学既需要教者儿童化自己的思维。了解儿童是怎么想的，又要能够跃居于儿童的思维之上，挖掘、发现儿童成长所不可缺少的“东西”。

归纳起来讲，就是：儿童性主体、数学味本质和生长型结构。

二、“儿童生长数学”的实践建构

如何实践“儿童生长数学”的教学愿景呢?笔者以为。在日常数学教学中至少有3个维度的生长性需要得到应有的重视：

(一)数学知识中的生长性――从情趣到理趣：向儿童展现数学知识的原味解读

当前的数学教学情境，更多的是重视营造一种情趣，试

图激发起学生的兴趣，创设进入问题的途径，但这样并不能触及数学知识的本质。

另外。很多数学知识的教学停留于告知的状态。这就有必要从儿童的角度解读数学知识在人类发展历程中的原味。让学生感受到知识的来源。并进而让他们体验到，通过自身经验的累积，也可以创造“知识”。这对儿童的成长无疑是一种很好的启蒙和洗礼。 1 生活常识的合理提炼。

生活是数学的源泉。很多数学知识追溯其源头，会发现就是生活常识的合理提炼。例如：为什么正数前面的正号可以省略?就是因为生活中正数用得比负数多，规定正号可以省略，可以更方便些。为什么加号写成“+”?据说，中世纪的酒商在售出酒后，曾用横线标出酒桶里的存酒。而当桶里的酒又增加时。便用竖线条把原来画的横线划掉。于是出现了表示减少的“一”和用来表示增加的“+”，等等。 2 数学发展的合理选择。

很多数学知识的教学往往基于实际情境给出结论，这就有可能让学生形成数学知识由具体实际问题简单归结的错误认识。例如“乘法和加、减法的两步混合运算”教学，如果我们列举“一支圆珠笔2元，一本笔记本比圆珠笔贵4元。购买3本笔记本一共需要多少钱”的问题情境。是否就可说明先算加法是合理的呢?

事实上，混合运算的运算顺序，是根据数算本身的特点而确定的。它产生于人们解决问题时的一种“求简”本能。教师可设置一个冲突情境：13+6+6+6+6+6，数据的增多让学生感到惊讶，但又很快能发现规律，得出结果：这道算式里有5个6。所以可以先算“五六三十”，然后再用30加13等于43。师引导出综合算式：13+5*6，5*6+13，体验到不管5*6在前还是在后，都要先算。这样，借助计算效率的极大反差，很自然地使得学生由“从左到右”转向“先用乘法算相同加数的和”。进而扭转成“先算乘法”。接着通过类似的算式，让学生说出对应的简便算式，如20+4+4+4，15+15+15-6，50-8-8-8-8，丰富强化学生的“简便”体验。很自然地实现由例证向数学知识的跨越。 3 数学过程的合理还原。

很多数学知识，尤其是操作技能作为一项已经简化的程序。学生的理解比较困难。必要的还原会让学生体验更为深刻。例如教学“角的度量”，把量角器作为现成 产品介绍给学生。由于学生对量角器的结构特点不甚理解，他们无法理解量角器上为什么会有那么多的小格，为什么要标里一圈外一圈的刻度。更难理解“量角器就是单位小角的集合”。 如何突破这一难点呢?我们通过还原量角器的形成过程，有效地引导学生掌握了量角的知识本质。首先设计“利用10度的小角。比较两个角的大小”。然后把这些单位小角合并

成半圆，成为一个“简易量角器”。再接着在引出“成品量角器”的过程中。又经历了下面4个阶段：用“简易量角器”测量三个角的大小(其中第三个角。测量不出整十数结果)，引出单位角细分到1度；把上面的工具简单化，去掉中间的刻度线；由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度；进而通过不同摆法的量角情况。引出两圈刻度，完整认识量角器。这样的设计把学生的角色从“量角器的使用者”提升为“量角器的制作者”。引导学生对量角器进行“设计”，在建构工具的同时建构方法。

(二)数学学习中的生长性――从经历到品味：向儿童展现数学学习的原态体验

我们的数学教学。很多数学学习过程都是在教师的指令下完成的。学生虽然“经历”了这一过程，但却对这一切是怎样发生的，毫无感知也无从感知。儿童的学习过程不可替代。从建构主义观点来看。所有的知识都只具有相对的意义。也即意义是相对于知识的建构者而言的。所以，儿童的学习过程不只是获得数学知识的工具，其本身就是学习的内容。 我们的数学教学不只是让学生经历这些过程。更要“品味”这些过程。通过品味过程，引导学生反思知识的感知与获取，让学生获得可再现的知识结构、不断生长的认知结构、支持儿童发展的心理结构，使得知识的掌握成为可以复制的

“经验”。并且在新情境中能够自我适应、创生和发展。主要有以下几个阶段：

1 让学生经历回溯学习过程。品味“我怎么做的”。 儿童不只是模仿和接受成人的策略和思维模式。他们要用自己经验中已有的数学知识去过滤和解释新信息，以至同化它。如果儿童看不到教师所呈现出的信息和他们已有的经验之间的联系，那么教师的讲授就如同对牛弹琴。 例如教学“乘法分配律”。有部分学生始终对乘法分配律分辨不清楚。笔者尝试引导学生回溯学习过程：我们是怎么提炼出规律的呢?接着应用这样的知识背景判断

62+38*3=62*3+38*3是否正确。学生回溯生活场景：等号左边的算式算了买1袋大米和3袋面粉的价钱：右边的算式，先算3袋大米，再算3袋面粉，得出它们的和，所以两边不相等。数学教学必须让学生具备自我回溯和修复的能力，以便学生在后续学习遇到障碍时，可以自我提取这个过程，成为其解释知识意义的工具，实现自主发展。

2 让学生经历自我筛选方法。品味“我学会尝试”。 知识的获取并非一帆风顺。但当前数学知识的学习过程往往是教师预设好的。学生不能选择。更不能感受对于知识的尝试和调整的过程。变成了教师指令下的“操作工”。当学生面对新的问题时，因为实际上并没有真正经历过一个问题的解决过程。往往会束手无策。

例如教学“平行四边形的面积”时。一般教学过程中。“为什么要把平行四边形转化成长方形。这样的转化过程是怎样发生的”。都作为一种已然的情况直接告知了学生。 某教师从学生的主体需要出发。这样设计：首先让学生猜测平行四边形面积的大小可能与什么有关。在学生充分猜测的基础上。教师提供一些平行四边形选择相关的数据进行研究(有底、高、斜边以及夹角的数据)。学生可以发现的规律很多。最容易看出的规律是平行四边形的面积与底和高的关系。在学生回答平行四边形的面积等于底乘高时。教师引发思考：仅仅通过这三组数据能不能确信呢?引导学生思考怎样证明。这时学生很自然地想到了把平行四边形转化成长方形。在这个教学过程中，学生不受教师的暗示和，充分考虑各种可能性。然后从中选取有效的因素得出猜想并验证。这种在活动中获得的经验，也更有启发性。

3 让学生经历大胆质疑过程。品味“我还有问题”。 数学教学要让学生不断地质疑与拓展现有的知识结构。学生对知识的严谨审视，则能获得更为广泛的发展。 例如教学“三角形三边之间的关系”。许多学生提议。将“三角形任意两边之和大于第三边”这个结论表述为“三角形两条较短边之和大于最长边”。笔者追问：教材此处如此描述是否真的多余?结果学生列举出，如果判断“三根分别长3cm、5cm、5cm的小棒能否围成一个三角形”，就无法

确定两条较短边与最长边。由此，让学生意识到教材的严密性。学生学会了对数学知识结构进行解释和创造，就能更好地理解数学知识本身。

(三)数学思维中的生长性――从无意到自觉：向儿童展现数学思维的原质提升

教学的本质是思维对话。教学首先是一种特殊的认识活动，但这种特殊性绝非是因为教学是以间接知识为主的学习过程。更重要、更为深刻的是思维的发生和发展过程。我们的数学教学要培养学生学会数学地思维，进而通过数学学会思维。数学最终是要改变儿童的思维习惯，使得儿童获得一种新的观察世界的眼光。数学教学就要向学生展现数学思维是怎么提升的。

1 数学教学应当成为数学思维方式提升的过程。 数学教学要让学生的思考化隐为显。要让学生从知识到思想，从肤浅到深刻，从部分到系统，要能够感受思维的发展和提升。要能够站在更高的层次上去引导学生的思维方向，及时优化学生的思维方式。

2 数学教学应当成为数学认知方式提升的过程。 数学学习要让知识的学习伴随着丰富的数学思考。让方法的渗透伴随着理性精神的培育。数学可以扫除现象上面的迷雾和障碍，帮助我们直接抵达问题的本质。通过数学教学。

要让学生从习惯于计算和解题中摆脱出来，要让学生转变认知方式，在思辨中体会到数学的巨大力量，获得心灵上的震撼。

3 数学教学应当成为数学发展方式提升的过程。 数学教学要让学生学会数学地思维，还要“从学会数学的思维走向通过数学学会思维”。

例如教学“数学广角(烙饼问题)”：妈妈给一家三口每人烙一张饼。家里的一只平底锅每次最多只能烙两张饼，两面都要烙，每面要3分钟，怎样才能尽快吃上饼呢?如果要烙的是4张、5张……10张呢?一般的教学趋向于引导学生发现烙饼所需的总时间和烙饼张数之间的关系：总时间=张数×3(张数≥2)，即完成教学任务。这样教学的缺陷显而易见。因为学生既不明白这一操作模式何以最佳。更无法在实践中进一步推广应用其思维模式。某教师抓住“神舟七号”的实验过程，体验流程图可用来表示完成一件工作的步骤。接着利用流程图探究“怎样时间最短”。体现了从理论上的“可能性”到实践上的“可行性”这一基本的研究态度和方法。 总之。儿童生长数学“既有作为科学的数学，又有作为教育的数学”。儿童生长数学重新赋予数学、数学教学应有的魅力。它使得儿童在数学学习中能够获得智慧的启蒙、素养的滋润和生长的力量。儿童生长数学不靠外在的因素“取胜”，要向儿童展现数学本身的魅力!画

注：本文获2010年江苏省“教海探航”征文一等奖

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