第7章 第3节
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CD⃘平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 C．平行和相交 答案：B
解析：因为AB∥CD，AB平面α，CD⃘平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面，故选B.
2. [原创题]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若n⊥α，n⊥β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，则n∥α D．若m∥n，mα，nβ，则α∥β 答案：B
解析：A错，两平面也可相交；
B正确，垂直于同一条直线的两平面平行； C错，直线n可能在平面α内； D错，不符合面面平行的判定定理． 故选B.
3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题： ①若l与m为异面直线，lα，mβ，则α∥β； ②若α∥β，lα，mβ，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题的个数为( ) A．3 C．1 答案：C
解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m. ②中l与m也可能异面．
B．平行和异面 D．异面和相交
B．2 D．0
③中lβ⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，正确．
β∩γ＝m
4. [2012·广东质检]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
l∥γ
A. 不存在 B. 有1条 C. 有2条 D. 有无数条 答案：D
解析：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，故选D.
5．如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上； ②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值． A．① C．①③ 答案：C
解析：①中由已知可得面A′FG⊥面ABC， ∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上． ②当A′点与F点重合时不符题意．
③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′－FDE的体积达到最大．
B．①② D．②③
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、Q分别是棱D1C1、A1D1，BC的中点．点P在→→
2
对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下列四个命题：
3
(1)MN∥平面APC；(2)C1Q∥平面APC；(3)A，P，M三点共线；(4)平面MNQ∥平面APC.其中正确命题的序号为( )
A．(1)(2) C．(2)(3) 答案：C
解析：设E、F分别为AC、MN的中点，G为EF与BD1的交点，显然△D1FG ∽△BEG，→→D1GD1F1222故＝＝，即BG＝BD1，又BP＝BD1，即BP＝BD1，故点G与点P重合，所以BGBE2333平面APC和平面ACMN重合 ，MN平面APC，故命题(1)不正确，命题(4)也不正确，结合选项可知选C.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠A＝60°，G是△ABC的重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝________.
B．(1)(4) D．(3)(4)
239答案： 3
MNAG2
解析：BC∥平面α，MN∥BC，D为BC中点，从而＝＝，
BCAD32
∴MN＝BC.
3
在△ABC中，BC2＝52＋72－2×5×7×cos60°＝39， ∴BC＝39. 239∴MN＝.
3
8. 在空间中，下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线互相平行；②平行于同一个平面的两条直线互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一个平面的两条直线互相平行，其中真命题有__________(写出所有真命题的序号)．
答案：③⑤
解析：①过一点必须强调“过直线外一点”，当点在直线上时，不存在直线与已知直线平行，故①为假命题；②平行于“同一条直线”的两条直线平行，而不是“同一个平面”，平行于同一个平面的两条直线的位置关系可能平行、相交或异面，故②为假命题；③平行公理4阐述的是直线平行关系的传递性，无论在平面内还是在空间中都成立，故③为真命题；④在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线，不一定平行，故④为假命题；⑤为真命题．
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈FH
解析：∵HN∥DB，FH∥D1D，∴面FHN∥面B1BDD1.故M∈FH. 三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10. [改编题]如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，11
BC綊AD，BE綊AF，G、H分别是FA、FD的中点．
22
(1)证明：CH∥平面BEFA；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ 解：(1)由题意，知FG＝GA，FH＝HD， 1所以GH綊AD.
2
1
又BC綊AD，故GH綊BC，
2
所以四边形BCHG是平行四边形．
所以CH∥BG，又CH⃘平面BEFA，BG平面BEFA， 所以CH∥平面BEFA.
(2)C、D、F、E四点共面．理由如下： 1
由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，
2所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面． 又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．
11. [2011·江苏]如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.
证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD. 又因为EF⃘平面PCD，PD平面PCD， 所以直线EF∥平面PCD.
(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
12．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M、N分别是AB、SC的中点，P是SD上的一动点．
(1)求证：BP⊥AC；
(2)当点P落在什么位置时，AP∥平面SMC? (3)求三棱锥B－NMC的体积．
分析：本题考查三视图与直观图，线面垂直与平行的判断、证明．
解： (1)连接BD，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC，∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SDB，∵BP平面SDB，∴AC⊥BP.
1
(2)取SD的中点P，连接PN，AP，MN，则PN∥DC且 PN＝DC.
21
∵底面ABCD为正方形，∴AM∥DC且AM＝DC，
2∴AM綊PN，∴四边形AMNP为平行四边形，∴AP∥MN. 又AP⃘平面SMC，MN平面SMC，∴AP∥平面SMC.
111111111
(3)VB－NMC＝VN－MBC＝S△MBC·SD＝··BC·MB·SD＝×1×××2＝.
3232262212
