§1－2空间几何体的结构
【知识要点】
1．简单空间几何体的基本概念：
(1)
(2)特殊的四棱柱：
(3)其他空间几何体的基本概念： 几何体 正棱锥 正棱台 圆柱 圆锥 圆台 球面 球 几何体 基本概念 底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台 以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体 以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体 以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体 半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面 球面所围成的几何体 性质 补充说明 2．简单空间几何体的基本性质： (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形 (1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及(2)两个底面与平行于底面的截面是全等对角面都是矩形 的多边形 (2)长方体一条对角线的平方等于一(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是个顶点上三条棱长的平方和 平行四边形 (1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和 侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形 (1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截(1)过球心的截面叫球的大圆，不过球面 心的截面叫球的小圆 (2)球心到截面的距离d，球的半径R，截(2)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间22面圆的半径r满足rRd 的一段劣弧的长度(两点的球面距离) 棱柱 正棱锥 球 3．简单几何体的三视图与直观图： (1)平行投影：
①概念：如图，已知图形F，直线l与平面相交，过F上任意一点M作直线MM1平行于l，交平面于点M1，则点M1叫做点M在平面内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F1，则F1叫图形F在内关于直
线l的平行投影．平面叫投射面，直线l叫投射线．
②平行投影的性质：
性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
性质3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； 性质4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
性质5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． (2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图． (3)三视图：
①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影． ②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．
将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图．
③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”． 4．简单几何体的表面积与体积： (1)柱体、锥体、台体和球的表面积：
①S直棱柱侧面积＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高．
②S正棱锥形面积③S正棱台侧面积1ch，其中c为底面多边形的周长，h＇为正棱锥的斜高． 21，c分别是棱台的上、下底面周长，h＇为正棱台(cc)h，其中c＇
2的斜高．
④S圆柱侧面积＝2Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高． ⑤S圆锥侧面积＝Rl，其中R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长． ⑥S球＝4R2，其中R是球的半径． (2)柱体、锥体、台体和球的体积：
①V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高． ②V锥体③V台体的高． ④V球1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 31，S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体h(SSSS)，其中S＇
343πR，其中R是球的半径． 3【复习要求】
1．了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；
2．会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图； 3．理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式． 【例题分析】
例1 如图，正三棱锥P－ABC的底面边长为a，侧棱长为b．
(Ⅰ)证明：PA⊥BC；
(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积； (Ⅲ)求三棱锥P－ABC的体积．
【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据正三棱锥的基本性质进行求解．
证明：(Ⅰ)取BC中点D，连接AD，PD． ∵P－ABC是正三棱锥，
∴△ABC是正三角形，三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形． ∵D是BC的中点，∴BC⊥AD，且BC⊥PD， ∴BC⊥平面PAD，∴PA⊥BC．
(Ⅱ)解：在Rt△PBD中，PD∴SPBCPB2BD214b2a2, 21aBCPD4b2a2. 243a4b2a2. 4∵三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形， ∴三棱锥P－ABC的侧面积是
3a2∴△ABC是边长为a的正三角形，∴三棱锥P－ABC的底面积是,
43a23a3a∴三棱锥P－ABC的表面积为4b2a2(a12b23a2)
444(Ⅲ)解：过点P作PO⊥平面ABC于点O，则点O是正△ABC的中心， ∴OD113a3aAD, 3326在Rt△POD中，POPD2OD233b2a2, 313a23a222∴三棱锥P－ABC的体积为3ba3b2a2.
43123【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的Rt
△POD，其中含有棱锥的高PO；如Rt△PBD，其中含有侧面三角形的高PD，即正棱锥的斜高；如果连接OC，则在Rt△POC中含有侧棱．熟练运用这几个直角三角形，对解决正棱锥的有关问题很有帮助．
2、正n(n＝3，4，6)边形中的相关数据： 边长 对角线长 边心距 面积 外接圆半径 正三角形 a 正方形 a 正六边形 a 长：2a；短：3a 2a 3a 632a 43a 3a 2a2 3a 2332a 2a 2a 2例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．
(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1． 【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．
证明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC， ∴BE⊥AA1．
∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，
∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．
(Ⅱ)证明：连接B1C，设BC1∩B1C＝D．
∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点， ∴DE∥AB1． 又DE平面BEC1，AB1平面BEC1， ∴AB1∥平面BEC1．
例3 在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB2DC45．
(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； (Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．
【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD．
证明：(Ⅰ)在△ABD中，
由于AD＝4，BD＝8，AB45，
所以AD2＋BD2＝AB2． 故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD， 所以BD⊥平面PAD，
又BD平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD． (Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，
由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD． 因此PO为四棱锥P－ABCD的高，
又△PAD是边长为4的等边三角形．因此PO在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为梯形ABCD的高，
所以四边形ABCD的面积为S3423. 24885，即为
54525458524.故
521VPABCD2423163.
3例4 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的主
视图和左视图在下面画出(单位：cm)
(Ⅰ)画出该多面体的俯视图；
(Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； (Ⅲ)在所给直观图中连结BC＇，证明：BC＇∥平面EFG．
【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”，根据此原则及相关数据可以画出三视图．
证明：(Ⅰ)该几何体三视图如下图：
(Ⅱ)所求多面体体积VV长方体V正三棱锥446(22)2(Ⅲ)证明：在长方体ABCD－A'B'C'D'中，连结AD'，则AD'∥BC'． 因为E，G分别为AA'，A'D'中点， 所以AD'∥EG，
从而EG∥BC '．又BC'平面EFG， 所以BC'∥平面EFG．
1312284(cm2). 3
例5 有两个相同的直三棱柱，底面三角形的三边长分别是3a，4a，5a，高为
2，其a中a＞0．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四棱柱，求a的取值范围．
解：直三棱柱ABC－A1B1C1的三个侧面的面积分别是6，8，10，底面积是6a2，因此每个三棱柱的表面积均是2×6a2＋6＋8＋10＝12a2＋24．
情形①：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为： 2×(12a2＋24)－2×6a2＝12a2＋48．
情形②：将两个直三棱柱的侧面ABB1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2×(12a2＋24)－2×8＝24a2＋32．
情形③：将两个直三棱柱的侧面ACC1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2×(12a2＋24)－2×6＝24a2＋36．
情形④：将两个直三棱柱的侧面BCC1B1重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为：2×(12a2＋24)－2×10＝24a2＋28
在以上四种情形中，②、③的结果都比④大，所以表面积最小的情形只能在①、④中产生．
依题意“表面积最小的一个是四棱柱”，得24a2＋28＜12a2＋48，解得a所以a的取值范围是(0,25, 315) 3例6 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求三棱锥F－A1ED1的体积．
【分析】计算三棱锥F－A1ED1的体积时，需要确定锥体的高，即点F到平面A1ED1的距离，直接求解比较困难．利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如VFA1ED1VA1EFD1，也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解．
解法1：取AB中点G，连接FG，EG，A1G． ∵GF∥AD∥A1D1，∴GF∥平面A1ED1，
∴F到平面A1ED1的距离等于点G到平面A1ED1的距离．
∴VFA1ED1VGA1ED1VD1A1EG1131SA1EGA1D1a2aa3. 3388
解法2：取CC1中点H，连接FA1，FD1，FH， FC1，D1H，并记FC1∩D1H＝K．
∵A1D1∥EH， A1D1＝EH，∴A1，D1，H，E四点共面． ∵A1D1⊥平面C1CDD1，∴FC⊥A1D1．
又由平面几何知识可得FC1⊥D1H，∴FC⊥平面A1D1HE． ∴FK的长度是点F到平面A1D1HE(A1ED1)的距离． 容易求得FK35115235a13a,VFA1ED1SA1ED1FKaa. 10433108
练习1－2
一、选择题：
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16
2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
3．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm，高为12 cm．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)．如果所用涂料每0.5 kg可以涂1 m2，那么为这批笔筒涂色约需涂料( ) (A)1.23 kg (B)1.76 kg (C)2.46 kg (D)3.52 kg 4．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为( ) (A)22
(B)23
(C)4
(D)25
二、填空题：
5．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的每条棱长均为2，E、F分别是BC、A1C1的中点，则EF的长等于______．
6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝1，则三棱锥D－ABC的体积是______．
7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，则这个球的体积为______．
8．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①：_______________________________________________________________； 充要条件②：_______________________________________________________________． (写出你认为正确的两个充要条件) 三、解答题：
9．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点．
(Ⅰ)求证：BD1∥平面ACE；
(Ⅱ)求证：平面ACE⊥平面B1BDD1．
10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高
为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(Ⅰ)求该几何体的体积V； (Ⅱ)求该几何体的侧面积S．
11．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，
且AE＝FC1＝1．
(Ⅰ)求证：E，B，F，D1四点共面； (Ⅱ)若点G在BC上，BG
2，点M在BB1上，GM⊥BF，求证：EM⊥面BCC1B1． 3
