计算机中的数值的二进制表示
BIGSUN
日常生活中人们使用的是十进制计算，也就是使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9来计数。而数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制。
1原码表示法
数值有正负之分,人们平时用+\\-来表示十进制数的正负。计算机采用的是用一个数的最高位存放符号位(0为正,1为负).这种表示方法就是机器数的原码了。假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,原码能表示数值的范围为(-127~-0 +0~127)共256个.没错+0和-0是两个数。一个是000000002别一个是100000002。 原码表示法是机器数的一种简单的表示法。其符号位用0表示正号，用1表示负号，数值一般用二进制形式表示。
例如，X1= ＋1010110(86)
X2= 一1010110(-86)
其原码记作：
［X1］原=[＋1010110]原=01010110
［X2］原=[－1010110]原=11010110
如何把一个十进制转换为二进制呢，一般采用“除2取余，逆序排列”法。比如
86(1010110)。
图1 除2取余逆序排列法
如何把一个十进制小数转换为二进制小数，一般采用“剩2取整，顺序排列”法。比如0.6(1010110)。
图2 乘2取整顺序排列法
从二进制转换回十进制的方法:按位加权法。
1 1 0 0 1(25)
1*2^4 +1* 2^3 + 0*2^2+0*2^1+1*2^0 =16+8+0+0+1=25
1 0 0 1 1(0.6)
1*2^-1+0*2^-2+0*2^-3+1*2^-4+1*2^-5=0.5+0+0+0.0625+0.03125=0.59375
整数部分除2取余大家好理解，反之转回来就是乘2相加，小数部分乘2取整是怎么实现原小数记数呢？？其实很好理解，假如这个数是X，那计算机每的表示方法就是看X是否大于2^-1(0.5)如果大于记为1,如果不大于记为0。不管记为1还是记为0,经过第一步的操作，这个剩下的数肯定小于0.5,然后再把这个数和2^-2(0.25)比，大于记为1小于记为0,如此类推。也就是说，任何一个数都可以表达成。
X=Y1*0.5+ Y2*0.25+Y3*0.125*Y4*0.0625…
=Y1*2^-1+Y2*2^-2+Y3*2^-3*Y4*2^-4…
式中Y1,Y2,Y3,Y4,就是小数的二进制1或0。
原码表示数的范围与二进制位数有关。当用8位二进制来表示小数原码时，其表示范
围00000000(+0)~01111111(+127)和10000000(-0)~11111111(-127)，这种记数方法0有两种表示(00000000和10000000)显然这种记数方法是不科学的。
2反码的表示
如果机器数是正数，则该机器数的反码与原码一样；如果机器数是负数，则该机器数的反码是对它的原码（符号位除外）各位取反而得到的。设有一数X，则X的反码表示记作［X］反
例如：X1= ＋1010110
X2= 一1001010
［X1］原=01010110
［X1］反=01010110
[X2]原=11001010
[X2]反=10110101
反码通常作为求补过程的中间形式，即在一个负数的反码的未位上加1，就得到了该负数的补码。
3补码表示法
机器数的补码可由原码得到。如果机器数是正数，则该机器数的补码与原码一样；如果机器数是负数，则该机器数的补码是对它的原码（除符号位外）各位取反，并在未位加1而得到的。设有一数X，则X的补码表示记作［X］补。
例如，[X1]=＋1010110
[X2]= 一1001010
[X1]原=01010110
[X1]补=01010110
即 [X1]原=[X1]补=01010110
[X2]原= 11001010
[X2]补=10110101＋1＝10110110
4计算机中为什么要用补码
有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.我们学习四则运算时都知道减去一个数，等于加上绝对值相等的负数。为了简化计算机中的运算，计算机不做减操作只做加操作，也就是要把负数存成相应的一个正数以便进行加运算。
图3钟表记数法
假设只有8Bit的字长，现在我们用钟表求时间法来简单说明一下补码参与运算的原理。
3点+3(小时)=6点，这说明了钟的顺时针的转动。
3点-3(小时)=12点也相当于0点。这是逆时候的转动。
3点+9(小时)=12点也相当于0点。这也是顺时针的转动。
从这里可以看出逆时针的转动3和顺时针的转动9是一样的，这时候我们说以12为全集时-3和9互补.按照这个方法，我们规定了8位字长计数和它们的补码。
图4计算机内存补码表示法
8位字长时一共可以表达的计数是256个(0~255)如果0~127为正数区128~255就是负数区，以256为全集负数就可以用相应的补码表示:-1[255]、-2[254]。依次类推-127的补码是129,这样出现了-128的补码是128。有意思的是，128无法用8位字长来表示其原码，故(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000)。
按照这个法则，当我们进行3-12的运算时，计算机中实际进行的是
-12的补码是256-12=244(11110100)所以真正参加运算的是
00000011(3)+11110100(-12)=11110111(247)而247对应的负数是-256+247=-9。结果是正确的。
假设有一个数的补码是[X]补。如何求它的原码[X]原呢?根据定义我们得到下图的理解：
图5补码和反码的关系
为什么反码+1就是补码呢，我是这样理解的，因为256是8位的全集，一个负数的补码的最高位又是1，那么256-128=128。原码+反码+1=128。这就是为什么补码-1再求反就是原码的原因所在。
