现代设计方法试卷及答案

一．

用牛顿法求函数

f(x1,x2)(x12)4(x212x2)

的极小值点坐标（迭代二次）。

解 初始点x0[3,2]T

则初始点处的函数梯度、海森矩阵及其逆矩阵为

fT4(x2)32(x12x2)2

f(x0)fx1x212x

x04(x12)42f2f2

2f(x0)x12x1x212412(x2)48142f2f4x2x1x22x011[2f(x0)]11224

17 2448 代入牛顿法迭代公式，得

T

x1x0[2f(x0)]-1f(x0)843,3

48

324(x12)2(x12x2)ff1f(x)27

x1x214(x12x2)T3x

代入牛顿法迭代公式，得

22

x2x1[2f(x1)]-1f(x1)911 9 0

二、分析比较牛顿法、阻尼牛顿法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔法的特点，找出前四种方法的相互联系。

答：牛顿法：牛顿法是一种经典的优化算法，是一种解析法。该法为梯度法的进一步发展，他的搜索方向是根据目标函数的负梯度和二阶偏导数矩阵来构造的。牛顿法分为原始牛顿法和阻尼牛顿法两种。

原始牛顿法的基本思想是：再求目标函数f (X)的极小值时，现将它在点

X(k)处展开为泰

勒二次近似式ф（X），然后求出这个二次函数的极小点，并以此点作为原目标函数的极小点的一次近似值;若此值不满足收敛精度的要求，则可以以此近似值作为下一次迭代的初始点，照上面的

阻尼牛顿法：为了克服牛顿法的缺点，保留选牛顿方向为搜索方向，摒弃其步长恒取1，而用一维搜索确定最优步长迭代公式是x (k 1)x(k)kd(k)。由于阻尼牛顿法含有异味搜索，

因此每次迭代目标函数值一般偶所下降，阻尼牛顿法具有全局收敛性，且为二级收敛。阻尼牛顿法克服了牛顿法的缺点。特别是当迭代点接近于最优解时候此法具有收敛速度快的优点，对初始点的选择要求不严。 阻尼牛顿法仍需要计算目标函数的海森矩阵和逆矩阵，所以求解的计算量和存储量均很大。当目标函数的海森矩阵在某点出现奇异时，迭代将无法进行，因此修正牛顿法仍有相当的局限性。

共轭梯度法：共轭梯度法最初由Hesteness和Stiefel于1952年为求解线性方程组而提出的。后来，人们把这种方法用于求解无约束最优化问题，使之成为一种重要的最优化法。Fletcher-Reeves共轭梯度法，简称FR法。共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜素，求出目标函数的极小点。根据共轭方向基本性质，这种方法具有二次终止性。当目标函数是高于二次的连续函数(即目标函数的梯度存在)时,其对应的解方程是非线性方程,非线性问题的目标函数可能存在局部极值,并且破坏了二次截止性,共轭梯度法需要在两个方面加以改进后,仍然可以用于实

际的反演计算,但共轭梯度法不能确保收敛到全局极值。传统的共轭梯度法在地球物理反演和最优化等方面,得到了广泛的应用,相对于其它的非线性反演方法,共轭梯度法效率高,计算稳定,适用于大规模的地球物理反演问题。从理论上来说,共轭梯度法几近完美,但自从问世以来的几十年中,共轭梯度法仍然在不断改进之中。在非线性反演中,共轭梯度法最大的局限是依赖于初值,不能确保收敛到全局极值

变尺度法：变尺度法的提出与梯度法和牛顿法有这密切的联系。它是一种拟牛顿法。所谓拟牛顿法是指基于牛顿法的基本原理而又对牛顿法做出了重要改进的一种方法。这种方法克服了梯度法收敛慢和牛顿法计算量大的缺点，而又继承了牛顿法收敛速度快和梯度法计算简单的优点。理论和实践表明，变尺度法是求解无约束优化问题最有效的算法之一，是目前比较广泛的一种算法。变尺度法的基本思想是：利用牛顿法的迭代形式，但并不直接计算[H(X而是用一个对称正定矩阵A最后逼近[H(X(k)-1(k)(k))]，

-1近似的代替了[H(X(k))]。A

-1(k)在迭代过程中，不断的改进，

)]。这种方法省去了海森矩阵的计算和求逆，使之计算量大为减少，而且

还保持了牛顿法收敛快的有点。由于这一方法的迭代形式与牛顿法类似，所以又称拟牛顿法。

鲍威尔法：为了克服坐标轮换法收敛速度很慢的缺点，鲍威尔对坐标轮换法进行了根本性的改个，提出了鲍威尔法，又称共轭方向法。基本鲍威尔法的基本原理是：首先采用坐标轮换法进行第一轮迭代。然后以第一轮迭代的最末一个极小点和初始点构成一个新的方向，并以此新的方向作为最末一个方向，而去掉第一个方向得到第二轮迭代的n个方向。仿此进行下去，直至求得问题的极小点。

三、已知约束优化问题

minf(x)=(x1-2)+(x2-x1)

s.t. g1(x)=-x1-x ＜＝ 0 g2(x)=-x1-x2+2≥0

试从第k次的迭代点 出发，沿由区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成

22

2

一次迭代，获取一个新的迭代点。请作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。

答：计算随机数方向的单位向量：

e1r1r222r1r210.5620.254220.5620.910.2540.41

去步长为2，则新迭代点为：

11.820.82xk1xke1.18

20.82该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

四、用内点罚函数法求下面问题的最优解

22

min𝑓(𝑥)=𝑥1+𝑥2−2𝑥+1

答：构造内点罚函数

22

Ф(x,r)=𝑥1+𝑥2−2𝑥1+1−rlng1(x)

u12

2 =𝑥21+𝑥2−2𝑥1+1−𝑟ln(3−𝑥2)

对于任意给定的惩罚因子r(r>0)，函数Ф(x，r)为凸函数。用解析法求函数Ф(x，r)的

极小值，令Ф(x，r)=0,的方程组

得

当𝑥2

=

6−√36+8𝑟

不满足4

，舍去。无约束极点为

{

∗𝑥1=1 ∗𝑥2

=

6+√36+8𝑟 4

∗

当逐步减小r值时，直至趋近于0时，𝑥2=3逼近原问题的约束最优解，最优解

为x=[13]𝑇。

五、分析说明等式约束和不等式约束的增广乘子法的解题思路及其具体方法。

答：

1）等式约束下的广义乘子法 解题思路：

从

mins.t.f(x)hj(x)0,j1,2,,l推出

l2minf(x)hj(x)2j1s.t.h(x)0,j1,2,,lj

具体方法：

1 选取初始数据。给定初始点

X0，初始乘子

1，初始罚因子

10，放大系数1，允许

(0,1)，令K=1。

误差0，参数

2 求解无约束问题，以

Xk1为初始点，求解无约束问题

l2jminL(x,k,λk)f(x)nxRkh2j1(x)j(k)hj(x)j1l，设其最优解为

Xk

3 检查是否满足终止准则，若

h(xk)，则迭代终止，

Xk为等式约束问题

minf(x);s.t.hj(x)0,i1,2,,l,的近似最优解，否则转4

4判断收敛快慢。若5进行乘子迭代，令

h(xk)h(xk1)，则令

k1k，转5，否则令

k1k，转5;

j(k1)j(k)khj(xk),j1,2,,l,及kk1返回2。

（2）不等式约束下的广义乘子法 解题思路：

minf(x)s.t.gi(x)0,i1,2,minf(x)2,m,s.t.g(x)yii0,i1,2,推出,m.

具体方法：

1 引入附加变量

y(y1,y2,ym)T将问题

minf(x)s.t.gi(x)0,i1,2,,m,等价于等式约束问

minf(x)s.t.gi(x)yi20,i1,2,题

,m.

2 上述问题对应的广义乘子法中的乘子罚函数为：

L(x,y,k,k)f(x)3 对函数

kg(x)y2ii1m22i(k)2igi(x)yii1m

L(x,y,k,k)关于

y求极小，然后定义出于yi无关的乘子罚函数

六、请具体说明模态分析法和模态综合法的思路与方法以及两者之间的区别。

答：模态综合法：为了应对以下几个问题产生了模态综合法： 1.复杂结构自由度多，方程阶数高，计算成本大。2. 对整个结构用假设模态法分析难以实现。3. 大型复杂结构其主要部件可能在不同地区生产，由于条件，只能进行部件模态试验，无法进行整体结构的模态试验。4. 结构的响应只由低阶模态控制，不必为少数低阶模态去求解整个结构的高阶动力学方程。仿照有限元方法，先对各个局部子结构进行分析，然后再通过某种方法进行整体分析，具体讲就是对各子结构进行模态分析，按某种原则得到能恰当描述整个结构振动的“假设模态”，再按假设模态分析方法来求解整个结构的振动。

模态综合法的基本思想如下：

1.按复杂结构的特点将其划分为若干子结构

2.对各子结构进行离散化，通过动力学分析或试验 ，得到子结构的分支模态。 3.对各子结构的物理坐标——结点位移坐标进行模态坐标变换 4.对子结构进行“组集”，获得整个结构的模态坐标

5.通过子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换—坐标变换，消去不的模态坐标，得到一组用的各子结构模态坐标组成的描述整个结构运动的广义坐标，从而导出整个系统以模态坐标表示的动力学方程。

其实质就是采用子结构技术，来获得一组复杂结构的品质优良的“假设模态”，以此假设模态作为李兹基底所张成的模态空间，可以很好地覆盖住系统真实的低阶模态空间。模态综合方法是子结构方法中最成熟、应用最普遍的方法。

模态综合法的基本步骤可以分成如下六个步骤： 1按结构特点划分子结构

2计算并选择分支模态进行第一次模态坐标变换 3在全部模态坐标中，选择不的广义坐标

4由位移对接条件，形成广义坐标的约束方程，得到坐标变换阵[S]

5对组集得到的质量矩阵、刚度矩阵进行合同变换，得到坐标下的质量矩阵，刚度矩阵，形成整个系统的振动方程

6根据坐标变换关系，再现子结构物理参数

由上可知，模态综合法的关键技术是如何选择子结构的分支模态。

模态分析法：模态分析过程如果是由有限元计算的方法取得的,则称为数值模态分析;如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数,称为试验模态分析。两种方法各有利弊,目前的发展趋势是把有限元方法和试验模态分析技术有机地结合起来,取长补短,相得益彰。利用试验模态分析结果检验、补充和修正原始有限元动力模型;利用修正后的有限元模型计算结构的动力特性和响应,进行结构的优化设计。将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。

模态分析中的四个主要步骤： 1. 模型建立：

2. 选择分析类型和分析选项 3. 施加边界条件并求解

4. 进入/POST1检查结果

七、在采用模态分析法求解机械系统或结构的动力学特性时，要处理系统在物理坐标下的动力学特性向模态坐标的转换问题。请说明其转化方法及相关的模态参数。

答：转换方法: 由

Xq11q22....qnnqi可知，正在进行模态

坐标变化，把原来属于物理坐标系统中的物理向量

X转换到以1,2....n为基向量的

坐标系统中，获得物理坐标与模态坐标的表达式，从而将实现物理坐标向模态坐标问题的转换。 模态参数：模态质量矩阵，模态刚度矩阵，模态振型矩阵，模态频率矩阵。

八、系统可靠性计算有几种？试说明它们在设计中能起到的什么作用。

答：系统是由零件，部件，子系统等组成。系统的可靠性不仅与组成该系统各单元的可靠性有关，而且与组成该系统各单元间的组合方式和相互匹配有关。系统可靠性设计的目的就是要使系统在满足规定可靠性指标，完成预定功能的前提下，使该系统的技术性能重量指标制造成本及使用寿命等各方面取得协调，系统可靠性设计主要有两方面的内容：

1．按照已知零件或各单元的可靠性数据，计算系统的可靠性指标们这一工作称为系统可靠性预测。可靠性预测是一种预报方法，它是从所得的失效率数据预报一个元件，部件子系统或系统实际可能达到的可靠度，即预报这些元件或系统等在特定的应用中完成规定功能的概率。可靠性预测的目的是1协调设计参数及指标，提高产品可靠性2对比设计方案，以选择最佳系统3预示薄弱环节，以才去改进措施。

2按照已规定的系统可靠性指标，对各组成系统的单元进行可靠性分配。 系统可靠性分配，可靠性分配就是将设计任务书上规定的系统可靠度指标，合理的分配给系统的各个组成单元的一种设计方法。其目的是合理地确定出每个单元的可靠度指标，以使整个系统的可靠度获得确切的保证。

九、举一个由3-4个零件组成的机构，采用失效树的方法对它进行定性的失效分析。

电机的失效树分析