剖析康托集及“有理数集”测度

山东枣庄二中 赵 录(emall：zhaolu48@163.com)

康托把有理数集E排列为下面的文字框：

“个数”为n2(n→∞)个。每个“点”x用开区间(x-

11121n11222n21323n31n2nnn 2n,x+312n3)

覆盖，即其外测度为：

m*(E)lim[(jnj1i1nnii1)()]33j2n2n1limnj1i1nn1n3limn30n2

n 下面我们就来分析一下外测度为零的实质。 区间(x-

1 文字框 一 2nn,x+312n2)的长度为31n3，而区间的个数为n2，那么

当然有lim(1n)lim3n10。 nn取文字框一中的主对角线及上方的元素(文字框二)：当n→∞时，按康托的概念就应当是区间[0,1)上的“有理数集”E。那么取区间长为

1n3的开区间族“覆盖”E，可得外测度：

i1i1n(n1)1 m*(E)lim()()]lim[3]0 （1）33nn2j1i1j2nj2nn 我们再来用黎曼积分定义的方法求函数y=1在区间(0,1)上的定

积分：

nj11122213231n2nnn 11dxlim(1)lim(n)1，即把(0,1)n等分，每等0nnnni11n 文字框 二 分的长度为

111，与这个小区间上的函数值1的积仍是，这n个nnn的和，当n→∞时，就是(0,1)上的定积分1。由定积分的定义可得：把区间分成多少份，就应当这些分都

“参与”到积分中来【注一】，而不能是分成n2份，而只取其中n份的和。

那么使前面文字框内的有理数集的外测度等于零的密诀就是先把长度为n的线段n等分，则每等分为单位长，再把每等分再n3等分，即把长度为n的线段n4等分，而均匀地取其中的n2份之和，当n趋于无穷大时，便有其外测度为零。这种使其为零的“方法”确实高明巧妙得很。不巧的是它违反了积分的定义。

如果是把长度为n的线段n2等分，再把其n2份求和，则其“外测度”为lim(xn2nn2)。即可得

“有理数集”外测度为无穷大。

再看康托集。把闭区间[0,1]三等分得到三个闭区间[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]，把中间的去掉，剩下的两个闭区间为：[0,1/3],[2/3,1]。两个区间长度和为2/3。两个区间分别与二进制小数0.0,0.1对应。

第二次，再把这两个区间分别三等分去掉其中间的区间得到4个闭区间： [0,1/9],[2/9,3/9],[6/9,7/9],[8/9,9/9]。

4个区间长度和为(2/3)2。4个区间分别与二进制小数0.0,0.1,0.01,0.11对应。 第三次，再把这4个区间分别三等分去掉其中间的区间得到23=8个闭区间：

[0,1/27],[2/27,3/27],[6/27,7/27],[8/27,9/27],[18/27,19/27],[20/27,21/27],[24/27,25/27],[26/27,1]。 8个区间长的和为(2/3)3。8个区间可依次与位数不大于3的8个二进制小数 0.0,0.1,0.01,0.11,0.001,0.011,0.101,0.111一一对应。

推论可得，第n次可把第n-1次得到的2n-1个闭区间都三等分，去掉中间的小区间，可以得到2n个小区间，这些区间长的和为(2/3)n。位数不大于n的二进制小数也是2n个(包括0)，因此2n个小闭区间可以与2n个位数不大于n的二进制小数一一对应。

当n→∞时，(2/3)n→0，由区间套定理知n→∞时，只有一个点属于一个小区间，这个点集就叫作“康托集”。

而这些点恰好可以与[0,1]上的二进制小数全体存在一一映射，因此康托集可以与实数集存在一一映射，从而其“势”等于连续集的“势”，而其外测度为零。

可是康托却没有发现，位数不大于n位的二进制自然数也是2n个，那么当n→∞时，康托集岂不是与自然数集存在一一映射了吗？即与自然数集对等。

把区间[0,1]三等分，而不去掉中间的区间，得到相邻区间有公共端点的三个闭区间： [0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]。只有一位的三进制小数有三个：0.0,0.1,0.2

把三个区间[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]都三等分，可得相邻区间有公共端点的9个闭区间： [0,1/9],[1/9,2/9],[2/9,3/9],[3/9,4/9],[4/9,5/9],[5/9,5/9],[6/9,7/9],[7/9.8/9],[8/9,1]。

位数不超过2位的[0,1]上的三进制小数也是9个，可以与9个小区间构成一一映射。 把这次等分称为对区间[0,1]的第二次三等分。

那么对区间[0,1]进行n次三等分后可以得到相邻区间有公共端点的3n个闭区间，而位数不超过n的三进制小数也是3n个(包括零)。因此3n个闭区间与位数不超过n的三进制小数对等。3n个闭区间长的和是1。

当n→∞时，只有一个点属于一上小区间，即闭区间紧缩为点。按康托理论这些点便是[0,1]上的全部点，其外测度为1，与[0,1]上的三进制小数全体对等。

与[0,1]区间上的二进制小数对等的康托集外测度是零，与[0,1]区间上的三进制小数全体对等的集合其外测度为1，这就是康托理论的奇特之处。

用长度等于1/3n的开区间覆盖位数不超过n的区间[0,1]上的三进制小数全体，其覆盖和为：

[(i13ni323nn1)(ni323in1n1n)]

则[0,1]上的三进制小数的外测度为 lim[(ni13i3231n1)(n3231n)]lim(3nnn13n)1

用长度等于1/4n的开区间覆盖位数不超过n的区间[0,1]上的三进制小数全体，其覆盖和为：

[(i13ni324n)(ni324n)]

则[0,1]上的三进制小数的外测度又为

lim[(ni13ni3242n1)(ni324n1)]lim(3nnn14n)0

如果用长度为

n2的开区间覆盖[0,1]上的分母不小于分子且分母的不大于n的 “有理数”(文字框二)

当n→∞时构成的(0,1]上的有理数集E的外测度：

i1i1n(n1)2m*(E)lim(2)(2)]lim[2]1 （2）

nnjj2jii1nnn由此产生疑问，对于文字框二，当n→∞只是[0,1]上的有理数全体吗？从积分的定义的意义上说，对

于文字框二上的数集，当n→∞时，应该是[0,1]上的实数全体。

第二个疑问是：应该用什么样的开区间族去覆盖一个需要计算外测度的点集呢？难道用定积分定义的方法去选定开区间族也是不合理的吗？

用外测度的理论，对一个点集选择不同的开区间族，得到的外测度可以是不同的值。因此不但康托的理论不可靠；就是外测度的理论也不是十分可靠的。

《实变函数论与泛函分析》(上册，夏道行等著，人民教育出版社1978.11.北京)106页(以下简称《泛函上》)有这样一个定理及证明：

R1中的任何有限集或可列集是可测集，而且是Borel集，它的外测度为零。

证 对任何实数α，单元素集{α}=

nn1(,]，因为

nn1 (1,]∈R0B n11,])=，可知m({α})＝0。再由B是σ-环及m的可列可nn并且因为B是σ-环，所以m({α})≤m((加性，即知中任何有限集及可列集E都必定是Borel集，而且m(E)=0。证毕。

《泛函上》从65页开始到这个定理前论述的都是勒贝格测度的问题。前40页可以说论述的都很严谨，不象康托理论那样几乎处处都有矛盾，也只有直接应用康托的结论的地方有质疑之处。可对这个定理的“可列集E……，而且m(E)=0”并没有必然性。

由“m*({α})≤m*((11，可知m({α})＝0是一个求极限得到的结果，,])=，可知m*({α})＝0”

nn可列集的“加”也是求极限的过程。数学分析告诉我们，两个有关的极限是不能运算的，从极限的类

型看，求m(E)是一个“0∞”的极限类型。

文字框二内的分数，当n→∞时构成的数集，按康托观点是(0,1）上的有理数集，同时也是可列集，那么取它的第n列：

123,,,nnn,n1当n→∞时构成的数集E，也是可列集。由阿基米德公理知，对任意n分数

1qmnqq1，存在mn，使mn，因此(mn,mn]，从而令(0,1)上的有理数集为Q时，pnpnpnnn123m*(Q)m*(E)lim[m*{}m*{}m{}nnnnn11}]lim[(n1)]1

nnn则有m*(Q)=m*(E)。由可外测度的加性知：

m*{从黎曼积分定义的观点，应该是m(E)=1。怎么会有“可列集E……，而且m*(E)=0”呢？

由此可知，而n→∞时，集合{,123,,nnn,n1}已经是区间(0,1)上的实数全体且可列。 n实数的“可数”所以很难被接受的一个主要原因，就是因为“可数集”的外测度是零，区间[0,1]上的实数外测度是1。如果区间[0,1]上的实数是“可数集”，岂不是[0,1]上的实数外测度为零了吗，从而实数“不实”了。现在已经把“可数集”的外测度为零的也被推翻了，难道对实数集“可数”还有什么可怀疑吗？

所以把“可数”加引号，是因为实数集也“可数”，那么几乎不存在“不可数”集合了，因此“可数”与“不可数”的概念存在的必要性已经不大了。

因为有理数集的外测度为零，已经成为广泛的共识，因此把有理数的定义给予改进(严格地说是明确)，事实上也需要改进。因为现在的有理数的定义与另一个定义――有限小数与无限循环小数是有理数――不一致：显然无限循环小数的循环节的位数是有限的，如果循环节的位数可以无限，那么无限不循环小数可以看作是循环节位数为无限大的循环小数了。无限循环小数的循环节的位数有限，那么它对应的既约分数的分母的位数也应该是有限的了，有限小数对应的既约分数的分母的位数当然是有限的了，从而作为有理数的分数的分母的位数应是有限的，因此[0,1]上的有理数的个数也是有限的，从而任意有限区间[a,b]上的有理数的外测度是零。无限区间上的有理数的外测度可以是大于零的有限实数，也可以是无穷大【注】。

勒贝格测度的论述也有故弄玄虚之嫌。

实变函数论重点讨论的是测度。很简单明了的事情，弄得抽象复杂。还是老子说得好：大道至简。 假设BC，A=C-B，A、B、C的外测度μ*(A)、μ*(B)、μ*(C)均可求，则μ*(C)-μ*(B)就是A的内测度，因为B的“外面”在A的“里面”。如果μ*(A)= μ*(C)- μ*(B)，则A可测，其测度为μ*(A)。就是这样简单的事情，又要引入集类，环及环上的测度及

m*(F)=m*(F∩E)+m*(F∩EC)

使得对直线上一切集F上述等式成立的这种E就称做勒贝格测可测集。

至于它们的加减性，由集合的交、并、补可直接得到，或大于、或小于、或等于也可直接得到，又是环，又是代数，把简单的东西弄得非常复杂与抽象。

把简单的东西搞得复杂抽象也无可厚非，但关键的地方不应出现矛盾，可是就在关键的地方又出现了矛盾。我们知道，对于区间套定理，是用在闭区间上的，即闭区间套定理：

对于区间族[xn,yn](n=1,2,3,…)有xn-1≥xn，yn-1≤yn，且limxn=limyn，那么存在唯一一点X∈

nn[xn,yn](n=1,2,3,…)。

在前面的定理证明中(1,]是左开右闭的区间，当n→∞时，则“区间”为(α,α]，[α,α]是一n个点，那么(α,α]又是什么呢？恐怕康托、勒贝格在世也很难回答清楚。

证明中的结论是单元素集{α}的测度 m*({α})＝0，这个零是否相当于无穷小，还是绝对的零，从证明过程中知m*({α})＝0是相当于无穷小的，即单元素测度相当于长为无穷小的“线段”，由可加性，两个无穷小的线段之和，是一个相对较大的无穷小，无穷个无穷小之和，可能还是无穷小，也可能是有限正实数，也可能是无穷大，究竟是什么，只能具体问题具体分析。这些本来与极限理论一致的问题，倒让勒贝格弄得似是而非。