第３４卷第３期２０１５年３月数学教学研究３３清水出芙蓉，“生成”天然得——试卷讲评后偶得“教学生成”及教学反思李益民（浙江省兰溪市第一中学３２１１０２）１悬而未决的教学设计问题人教Ａ版数学必修２《教师教学用书》第１１８页例题２：求通过直线Ｚ：２ｚ＋ｙ＋４一。及圆Ｃ：Ｘ２＋ｙ２＋２ｚ一４ｙ＋１一。的交点，并且有最小面积的圆Ｃ，的方程．书中先给出一种耳熟能详的方法１，接着给出别出心裁的方法２（利用曲线系解题），给人耳目一新，具体过程如下：设所求圆的方程是（ｚ２＋ｙ２＋２ｚ一４ｙ＋１）＋Ａ（２ｘ－｛－ｙ－Ｉ－４）一Ｏ，（１）思不得其解就是如何启发学生所求圆的方程可以这样设？一直苦无良策，只好照本宣科了好几年．本学期期末复习讲评练习卷时，笔者捕捉到一个很好的“教学生成”，供读者参考．２书本经典题再现《数学必修２》第１２９页例３：已知圆Ｃ１：Ｘ２＋ｙ２＋２ｚ＋８ｙ一８－－－－０，圆Ｃ２：ｚ２＋ｙ２—４ｚ一４ｙ一２－－－－０，试判断圆Ｃ１与圆Ｃ２的位置关系．在该题的边上有一旁白：画出圆ｃ１与圆Ｃ２以及方程③（两圆方程作差后所得方程）表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？即［ｚ＋（１＋Ａ）］２＋（３，＋芷≠）２—５２２－－１６Ａ＋１６一——■ｒ一’半径长为ｒ，则经过学生自主学习和老师分析，学生懂得两圆相交时，两圆方程作差能求得它们的公共弦方程．还可以让学生思考是否还有别的方法？肯定有学生会回答先求两交点坐标，再用两点式求公共弦方程，相比之下前者简单得多，学生是乐于接受并情有独钟．笔者万万没有想到有学生能将这里知识点及解题方法迁移到如下综合题中应用，尽管有纰漏．３一种带“病”的独辟蹊径的解法期末复习资料上有一综合题：已知圆Ｃ：Ｘ２＋ｙ２—２ｚ＋４ｙ一４一ｏ，是否存在斜率为１的直线Ｔｎ，使７ｎ被圆Ｃ截得的弦ＡＢ为直径的圆过原点？若存在，求出直广一———ｉ—一。５２２—１６２＋１６一丢Ｑ一号，２＋詈，当Ａ一詈时，广的最小值是詈，圆面积的最小值是ｘＲ２一睾兀，此时圆Ｃ，的方程是ｚ２＋ｙ２＋警ｚ一警ｙ＋警一ｏ．尽管在大学解析几何中有过接触，但在中学里解题还是挺忐忑不安的，更让笔者百收稿日期：２０１４—０９—１０万方数据３４数学教学研究第３４卷第３期２０１５年３月线ｍ的方程，若不存在，请说明理由．笔者和年级组其它老师都用下面解法．解法１设直线ｍ的方程为Ｙ—ｚ＋￡，Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘｚ，ｙＤ，由ｆＸ２４－ｙ２－－２ｘ＋４ｙ一４＝ｏ，．＜ｌｙ—ｚ＋ｆ，得２２２４－（２ｔ４－２）ｘ４－（￡２４－４￡一４）＝Ｏ，由韦达定理得ｚ１４－ｚ２＝一（￡十１），Ｘｌｚ２一———ｉ—～’ｔ２４－４ｚ一４＿且ＹｌＹＺ一（ｘ１４－ｔ）（ｘ２４－￡）一ｚｌｚ２４－ｔ（ｘ１４－．Ｔ２）＋ｔ２．又因为以ＡＢ为直径的圆过原点，所以ＯＡ上０Ｂ，石商・石奁一ｚｌｚ２＋了１ｙ２＝２ｘｌｚ２４－ｔ（ｘ１４－ｘ２）４－ｔ２＝Ｏ，即２．型票型＋ｆ（－－ｔ－－１）４－ｔ２０，整理得ｔ２４－３ｔ－－４＝０，解得￡一一４或￡一１．经验证当ｔ－－一４或￡＝１均有△＞ｏ，所以直线优的方程为ｚ—ｙ＋１－－ｏ，ｚ—ｙ一４＝０．此法经典，体现在用了设而不求的方法，这是解析几何中常用的方法，人人必须掌握；其次此法还有“可持续发展”之用，当圆改为椭圆、双曲线、抛物线时，照样可用．课后有两位学生来办公室和笔者探讨，他们的答案和我上课分析的不一样，但又找不到错误所在．Ａ同学提出如下解法：设直线ｍ的方程为ｙ－－Ｘ４－ｔ，由题设知此方程也是公共弦ＡＢ的方程，由前面所学万方数据知识（当两圆相交时，它们方程作差得公共弦方程）知以ＡＢ为直径的圆方程为ｚ２４－ｙ２—２ｚ＋４ｙ一４＋（ｚ—ｙ＋￡）＝０．又因为所求圆过原点，所以将（ｏ，ｏ）代入上式得ｔ＝４．所以所求直线方程为ｚ—ｙ４－４－－－－－０．Ｂ同学考虑到两圆方程作差没有被减式和减式之分，所以设以ＡＢ为直径的圆方程是Ｘ２＋了２—２ｚ＋４ｙ一４一（ｚ—ｙ＋￡）＝０，将（ｏ，ｏ）代人上式得￡一一４．所以所求直线方程为ｚ—ｙ一４—０．比对答案后他们提出疑惑：为什么前者答案不仅少而且仅有的一个还与正确答案不符合，后者仅少一个答案而已．４拨开云雾见青天在检查了学生运算的确没有错的情况下，笔者为之一震，笔者和年级组其它老师都没有想到此法，思索片刻，笔者想到两圆方程作差求公共弦方程时，没有被减式和减式之分是因为作差后，还要除以各项系数的公约数，以及符号的处理，如前面提及的书本例３：Ｘ２＋ｙ２＋２ｚ＋８ｙ一８＝０，（２）ｚ２＋ｙ２—４ｚ一４ｙ一２一Ｏ，（３）（２）一（３）得６ｚ＋１２ｙ一６＝０，整理得ｚ＋２ｙ一１一Ｏ；（３）一（２）得一６ｚ一１２ｙ４－６－ｏ．整理得ｚ＋２ｙ一１一Ｏ．反过来思考，若已知公共弦方程给出，它可能是已经处理过的方程，约去的系数应该补回去，这样一来两位同学的错因找到了：他第３４卷第３期２０１５年３月数学教学研究３５们设圆的方程时没有补上约去的公约数．笔者和他们一起写出了下面解法．方法２不妨设约去的公约数为Ａ，所以以ＡＢ为直径的圆方程为ｚ２＋ｙ２—２ｚ＋４ｙ一４＋叉（ｚ—ｙ＋￡）－－０，（４）即≯＋ｙ２＋（Ａ一２）ｚ＋（４一Ａ）ｙ一４＋，ｌｔ－－－－－ｏ，且圆心Ｄ为（宇，雩），如图１，将（ｏ，ｏ）代入上式，得Ａｔ一４．（５）又圆Ｃ的圆心为（１，一２），由两圆连心线垂直平分公共弦知忌④一一愚ＡＢ一一１，所以ＣＤ方程为ｚ＋ｖ＋１－－０．由伫芝嚣得Ｄ（一字，等），所以Ａ一４一ｔ－－１２２’整理得Ａ－－－－－ｔ＋３．（６）由（５），（６）得仨二三’《三下略．图１至此大白，Ａ同学解答“歪打不正着”，相当于用了Ａ一１，难管没有正确答案，Ｂ万方数据同学“歪打正着，，，相当于用Ａ一一１，仅得到一个ｆ一～４解，无怪乎只有一个答案．５新的教学设想学生看到草稿纸上的（４）式不就是开头的（１）式，笔者也豁然开朗，想到本文开头提及的悬而未决的问题，静下心思考如何处理教材，既能传授课内知识，达成教学目标，又吸收课外知识，拓宽学生的视野，达到较完美的教学效果，下面给出笔者没有实践过的教学设想：讲完书本例３后，将资料上的题作为变式拓展题给学生思考、尝试练习，无论学生用哪种方法，都予以积极评价，最后师生共同小结，对（４）式予以关注．由于先前学习过《必修２》第１０３页探究得到的直线系知识，引出曲线系知识便是水到渠成之事，老师可设问：一般地，如果两条曲线方程是＾（ｚ，ｙ）＝ｏ和＾（ｚ，ｙ）一０，它们的交点是Ｐ（ｚ。，Ｙｏ），那么方程＾（ｚ，ｙ）＋Ａ＾（ｚ，ｙ）－－０表示的曲线是否也经过Ｐ（ｚ。，Ｙ。）（Ａ是任意常数）？因为两条曲线方程是＾（ｚ，ｙ）一０和＾（ｚｏ，Ｙｏ）＋Ａ＾（ｘｏ，蛳）一Ｏ，因此方程＾（ｚ，ｙ）＋Ａ＾（ｚ，ｙ）一。表示的曲线经过Ｐ（ｚ。，Ｙ。）．并把方程＾（ｚ，ｙ）＋出正反两个例子．例１求过两圆Ｃ１：Ｘ２＋Ｙ２＋２ｚ＋８ｙ一点，且圆心在直线２ｚ＋２ｙ＋１一。上的圆方解设经过两圆ｚ２＋ｙ２＋２ｘ＋８ｙ一８一Ｏ，Ｘ２＋扩一４ｚ一４ｙ一２－＝０＾（ｚ，ｙ）一０，它们的交点是Ｐ（Ｘｏ，弘），则＾（ｚｏ，执）一Ｏ和＾（ｚｏ，Ｙ。）一０，所以Ａ＾（ｚ，ｙ）一。称为曲线系方程．利用曲线系解题，可以快速求解，但有时却是失效的，给８＝０，圆Ｃ２：Ｘ２＋ｙ２—４ｚ一４ｙ一２一。的交程．３６数学教学研究第３４卷第３期２０１５年３月的交点的曲线系方程为ｚ２＋ｙ２＋２ｘ＋８ｖ一８＋Ａ（ｚ２＋ｙ２—４ｚ一４ｙ一２）＝Ｏ，整理得抖卅袢＋訾～尝一０Ｙ十雨～雨一’，酗为（一错，一锗），所以一面一等三警—，＋Ａ１＋Ａ’‘’解得Ａ＝１．所以，所求圆的方程为ｚ２＋Ｙ２一ｚ＋２ｖ一５—０．例２求以圆≯＋了２＝５与抛物线ｙ＝４２２的公共弦为直径的圆的方程．常规解法暂且不讲，若用曲线系就出问题了．设圆方程为（≯＋夕一５）＋Ａ（了一４≯）一ｏ，即（１一姒）ｚ２＋ｙ２＋Ａｙ一５—０，显然，２＝０不是所求圆的方程，而当Ｉ≠ｏ时方程已不是圆方程了．为什么此处失效呢？又是一个可探讨问题．最后将教师教学用书第１１８页例题２给学生当作课外作业，可以肯定的是有同学依旧用法１，有同学充满激情地用法２，学有所获．６教学反思６．１处处留心皆学问在课内，学生无意中的轻语，有时能“一语惊醒梦中人”；在课外，学生幼稚的想法或笨拙的解法，有时都能“促进教师专业成长”．有些老师对着标准答案批改作业、试卷，速度很快，很多时候就失去学生想到而老师没有万方数据想到的精彩解法，从另一层面说扼杀学生创新精神．笔者多年来养成一个习惯，平时遇到无法破解的习题、难以处理的教学设计均做好记载，在阅读期刊时就会留意，和学生交流就会思考，很多时候“断路”思维就接通了，解决了“历史上遗留的问题”．６．２尊重学生的解题方法有时为什么老师讲的简单方法学生反而不用，他还是“根深蒂固”用自己“笨拙”的方法，原因是学生没有听懂、理解、掌握，直至灵活运用；有时我们认为的好方法上课讲过，心想学生一定会掌握，但由于没有交待清楚方法的来龙去脉，强行灌输，导致没有引起学生的共鸣，学生也不会自主重新建构适合自己的解题技巧，最终结果学生往往“邯郸学步”，在考场上“外甥打灯笼——照旧”．只有让学生经历解题过程，特别是出错的过程，让他们“倍受煎熬”，再由学生自己发现错误或者老师帮助指出错误，重新建构适合自己的正确解题方法，学生才能真正理解和掌握．诚如美国教育家苏娜丹戴克说：“告诉我，我会忘记，做给我看，我会记住，让我参加，我就会完全理解．”让学生在潜移默化中接受、理解、掌握并灵活应用新方法是我们教师备课和教学的努力方向．参考文献Ｅｌｉ刘绍学．普通高中数学课程标准实验教科书・数学２［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００７．［２］刘绍学．普通高中数学课程标准实验教科书・数学２教师教学用书［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００７．Ｅ３］人民教育出版社，课程教材研究所，等．课堂教学设计与案例・人教Ａ版必修２教案［Ｍ］．吉林：延边教育出版社，２０１１．
