2012年高考真题理科数学(上海卷)解析版

一．填空题 1．计算：

3-i= （i为虚数单位）. 1+i【答案】1-2i 【解析】

3-i(3-i)(1-i)2-4i===1-2i. 1+i(1+i)(1-i)2【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.

2．若集合A{x|2x10}，B{x||x1|2}，则AB . 【答案】 1,3 21，由x12,得到,1x3，所以 2【解析】根据集合A 2x10，解得x1AB,3.

2【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决.

2　　　cosx3．函数f(x)的值域是 .

sinx　　1【答案】53, 221sin2x2，因为1sin2x1，所以2【解析】根据题目f(x)sinxcosx253f(x). 22【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.

4．若n(2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】arctan2

【解析】设直线的倾斜角为，则tan2,arctan2.

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【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在(x26)的二项展开式中，常数项等于 . x【答案】160

【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是T4C6x()160 . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.

6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、

332x31为公比的等比数列，体积分别记为2V1，V2，，Vn，，则lim(V1V2Vn) . n【答案】

8 71为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一2【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，

个以1为首项，

1为公比的等比数列，因此，lim(V1V2Vn)n811188 . 7【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.

7．已知函数f(x)e|xa|（a为常数）.若f(x)在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是 . 【答案】,1

【解析】根据函数f(x)exaexa,xaxa看出当xa时函数增函数，而已知函数f(x),xae在区间1,上为增函数，所以a的取值范围为：,1 .

【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为 . - 2 -

【答案】

3 3122【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据条件得到l2，解得母线

长l2，2rl2,r1所以该圆锥的体积为：V圆锥113Sh2212. 333【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.

9．已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1) . 【答案】1

【解析】因为函数yf(x)x2为奇函数，所以g(1)f(1)2,又f(1)1,所以，g(1)3,

f(1)3,g(1)f(1)2321 .f(1)f(1).

【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数yf(x)为奇函数，所以有f(x)f(x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.

10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角6，

若将l的极坐标方程写成f()的形式，则f() .

【答案】

1sin(6

)1(x2)，将此化2【解析】根据该直线过点M(2,0)，可以直接写出代数形式的方程为：y成极坐标系下的参数方程即可 ，化简得f()1sin(6.

)【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.

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11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】

2 32. 3【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为

【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.

12．在平行四边形ABCD中，A3，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是

边BC、CD上的点，且满足【答案】2,5

|BM||BC||CN||CD|，则AMAN的取值范围是 . 【解析】以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为

51A(0,0),B(2,0),C(,1)D(,1). 设

221515515151N(x,1)(x),则BM CN , CN-x , BM-x , M(2x,(x)sin).22224284423AB2,AD1，所以

根据题意，有AN(x,1),AM(21x5323x,). 84821x5323x15所以AMANx()x，所以2AMAN5.

848222D105NBCM510A246 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要

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切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.

13．已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0)， 函数yxf(x)（0x1）的图象与x轴围成的图形的面积为 . 【答案】

125 4【解析】根据题意得到，

110x,0x2f(x)从而得到

10x10,1x121210x,0x2yxf(x)10x210x,1x12所以围成的面积为

S10xdx1(10x210x)dx2120155，所以围成的图形的面积为 .

44【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.

14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC2，若AD2c， 且ABBDACCD2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最 大值是 . 【答案】

2ca2c21 3【解析】据题ABBDACCD2a，也就是说，线段ABBD与线段ACCD的长度是定值，因为棱AD与棱BC互相垂直，当BC平面ABD时，此时有最大值，此时最大值为：

2ca2c21. 3【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题（20分） 15．若12i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则（ ）

A．b2,c3 B．b2,c3 C．b2,c1 D．b2,c1

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【答案】 B

【解析】根据实系数方程的根的特点12i也是该方程的另一个根，所以

12i12i2b，即b2，(12i)(12i)3c，故答案选择B.

【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.

16．在ABC中，若sinAsinBsinC，则ABC的形状是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C

【解析】由正弦定理，得

222abcsinA,sinB,sinC,代2R2R2Ra2b2c2，

a2b2c20，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.由余弦定理的推理得cosC2ab故选择A.

【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.

17．设10x1x2x3x4104，x5105，随机变量1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量2取值

x1x2x2x3x3x4x4x5x5x1、、、、的概率也均为222220.2，若记D1、D2分别为1、2的方差，则（ ）

A．D1D2 B．D1D2

C．D1D2 D．D1与D2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 【答案】 A

x1【解析】 由随机变量1,2的取值情况，它们的平均数分别为：

1(x1x2x3x4x5),，51xxxxxxxxxxx21223344551x1,

522222且随机变量1,2的概率都为0.2，所以有D1＞D2. 故选择A.

【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和

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基础，本题属于中档题. 18．设an1nsin，Sna1a2an，在S1,S2,,S100中，正数的个数是（ ） n25A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】C

【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.

【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.

三、解答题（74分）：

19．（6+6=12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，

E是PC的中点，已知AB2，AD22，PA2，求：

（1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小. 【答案及解析】

所以三角形PCD的面积为

122323................6分 2

【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证

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能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．（6+8=14分）已知函数f(x)lg(x1)． （1）若0f(12x)f(x)1，求x的取值范围；

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)f(x)，求函数yg(x)（x[1,2]）的反函数. 【答案及解析】

，

【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．

21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线

21x 33y122x；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失49事船所在位置的横坐标为7t．

（1）当t0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2xy1．

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆xy1相切，求证：OPOQ；

22（3）设椭圆C2：4xy1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求

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证：O到直线MN的距离是定值. 【答案及解析】

2过点A与渐近线y2x平行的直线方程为y2x,即y2x1. 2

ON1，OM23,则O到直线MN的距离为. 23

设O到直线MN的距离为d.

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为yx，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．

23．（4+6+8=18分）对于数集X{1其中0x1x2xn，n2，，x1，x2，，xn}，定义向量集Y{a|a(s,t),sX,tX}，若对任意a1Y，存在a2Y，使得

a1a20，则称X具有性质P．例如{1,1,2}具有性质P．

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（1）若x2，且{1,1,2,x}具有性质P，求x的值；

（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x11；

（3）若X具有性质P，且x11、x2q（q为常数），求有穷数列x1，x2，，xn的通项公式.

【答案及解析】

必有形式(1,b)

显然有a2满足a1a20

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【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信

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息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．

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