2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案(word精校解析版)

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为( )

A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球

2．已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a {0,1,2}，则a的值为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

3．在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为( )

1234A． B． C． D．

55554．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是( )

A．2 B．3 C．4 D．5 5．在ΔABC中，若ABAC0，则ΔABC的形状是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 6．sin120的值为( )

3A．2 B．－1 C． D．－2

2227．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的

位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D． 异面且垂直 8．不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集为( )

A．{x|－1≤x≤2} B． {x|－1C． {x|x≥2或x≤－1} D． {x|x>2或x<－1}

9．点P(m,1)不在不等式x+y-2<0表示的平面区域内，则实数m的取值范围是( )

A．m＜1 B．m≤1 C．m≥1 D．m＞1

10．某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了

一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是( )

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．样本数据－2，0，6，3，6的众数是＿＿＿＿.

12．在ΔABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，

1sinA=，则sinB=＿＿＿.

3

1

13．已知a是函数f(x)=2－log2x的零点，则实数a的值为＿＿＿＿.

14．已知函数y=sinx(>0)在一个周期内的图像如图所示，则的值为＿＿.

15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF

把这个矩形折成一个直二面角A－EF－C(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为＿＿＿＿＿＿.

三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分6分)

x,x[0,2],已知函数f(x) 4,x(2,4].x(1)画出函数f(x)的大致图像；

(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间.

17．(本小题满分8分)

某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动.

(1)求从该班男、女同学中各抽取的人数；

(2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.

2

18．(本小题满分8分)

已知等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列. (1)求a1及an； (2)设bn=an+n，求数列{bn}的前5项和S5. 19．（本小题满分8分）

已知向量a=(1,sin)，b=(2,1).

(1)当=时，求向量2a+b的坐标；(2)若a∥b，且∈(0,)，求sin(+)的值.

624

3

20．(本小题满分10分)

已知圆C：x2+y2+2x -3=0.

(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；

(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，11求证：为定值；

x1x2(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使ΔCDE的面积最大.

4

2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参

一、选择题

题号 1

答案 C

二 、填空题

32 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B A C D A C A 11．6； 12．2； 13．4； 14．2； 15．45(或

三 、16．解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示； …2分

(2)由函数f(x)的图象得出， f(x)的最大值为2 …4分 其单调递减区间为[2,4] …6分

17．解：(1)3053(人)，2052(人)，

5050) 4所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人； …4分 (2)设3名男同学分别为A,B,C，2名女同学分别1,2.

则所有基本事件有 (A,B)，(A,C)，(A,1)，(A,2)，(B,C)，(B,1)，(B,2)，(C,1)，(C,2)，(1,2) 共10个，其中恰有1名男同学的事件有6个， 其概率为P=0.6 …8分

18．解：(1)依题 2(a3+1)=a2＋a4，所以2(4a1+1)=2a1＋8a1，

解得a1=1， …2分 故an=a1qn-1=2n-1； …4分

(2)因为bn＝2

19．解：(1)因为1，所以a＝(1,)，所以向量2a＋b=(2,1)+(2,1)=(4,2) …4分

261(2)因为a∥b，所以2sin=1，解得sin， …5分

23又因为∈(0,)，所以cos， …6分

2226所以sin()sincoscossin. …8分

4444n-1

1255(15)+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5==46 …8分 122

20．解：(1)配方得(x+1)2+y2=4，则圆心C的坐标为(-1，0)， 半径长为2； …2分

(2)设直线l的方程为y=kx，联立x2+y2+2x-3=0消去y得(1+k2)x2+2x-3=0，…4分

x1x221123则x1x2.…6分 所以为定值. …6分 ,xx12x1x2x1x231k21k2|b1|(3)解：设m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离为d， …7分

2

5

所以|DE|2Rd24d，SCDE2221(4d2)d22|DE|d4dd≤2，

22当且仅当d4d2，即d2时，ΔCDE的面积最大. …9分

|b1|2，解得b=3或b=-1，故所求方程为x-y+3=0或x-y-1=0 …10分 从而

21解二：由(1)知|CD|=|CE|=R=2，所以SCDE|CD||CE|sinDCE2sinDCE≤2，

2当且仅当CD⊥CE时，ΔCDE的面积最大，此时|DE|22 (第一步相同) 由|DE|2R2d224d222，解得d2， 6

…9分