2019-2020学年豫南九校高一(下)第一次联考数学试卷(2月份)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 直线方程为𝑦−2=2(𝑥+3)，则( )
A. 直线过(2,−3)，斜率为2 C. 直线过(−3,2)，斜率为2
1
12
B. 直线过(−3,−2)，斜率为2 D. 直线过(−3,2)，斜率为2
1
1
2. (6)−(−7.8)−(3)+(2)−2=( )
483
0
3
2
3
A. 4
1
B. 3
1
C. 2
3
D. 5
1
3. 若一条斜线段的长度是它在平面内的射影长度的2倍，则该斜线与平面所成的角为( )
A. 60°
2
B. 45° C. 30° D. 120°
4. 已知集合𝐴={𝑥|log1𝑥> −1},𝐵={𝑥|2𝑥>√2}，则𝐴∪𝐵=( )
A. (2,2)
1
B. (2,+∞)
1
C. (0,+∞) D. (0,2)
2𝑒𝑥−1(𝑥<2)
5. 设𝑓(𝑥)={，则𝑓[𝑓(2)]=( )
𝑙𝑜𝑔3(𝑥2−1)(𝑥≥2)
A. 2 B. 3 C. 9 D. 18
6. 点(0,2)关于直线𝑥+2𝑦−1=0的对称点是( )
A. (−2,0) B. (−1,0)
C. (−5,−5)
62
D. (0,−1)
7. 在同一坐标系中，函数𝑦=3𝑥与
的图象之间的关系是( )
A. 关于y轴对称 C. 关于原点对称
B. 关于x轴对称 D. 关于直线𝑦=𝑥对称
8. 如图，正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1各条棱的长度均相等，D为𝐴𝐴1的中点，
𝑀,𝑁分别是线段𝐵𝐵1和线段𝐶𝐶1的动点(含端点)，且满足𝐵𝑀=𝐶1𝑁，当𝑀,𝑁运动时，下列结论中不的是( ) 正 确．．．
A. 在𝛥𝐷𝑀𝑁内总存在与平面ABC平行的线段 B. 平面𝐷𝑀𝑁⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1 C. 三棱锥𝐴1−𝐷𝑀𝑁的体积为定值 D. 𝛥𝐷𝑀𝑁可能为直角三角形
9. 已知𝑃(𝑥,𝑦)是直线𝑘𝑥+𝑦+4=0(𝑘>0)上一动点，PA，PB是圆C：𝑥2+𝑦2−2𝑦=0的两条
切线，A，B分别是切点，若四边形PACB的面积的最小值是2，则k的值为 ( )
A. 1 B. √2 C. √3
D. 2
(3−𝑎)𝑥+2𝑎,𝑥<1
10. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑥−1的值域为R，则实数a的取值范围是( )
3,𝑥⩾1
A. (−∞,3) B. [−2,3) C. [−2,+∞) D. (−2,3)
11. 方程42𝑥−1=16的解是 ( )
A. 𝑥=−2
3
B. 𝑥=2
3
C. 𝑥=1 D. 𝑥=2
12. 若一个几何体的三视图如图所示，则经过几何体的表面从点A到点
B的最短距离为( )
A. 2+√3 B. 1+√3 C. √13 D. √7+2√3 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 以点𝐴(2,−4)，𝐵(2,2)为直径的圆的标准方程为__________．
14. 已知函数𝑓(𝑥)为奇函数，且当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥，则𝑓(−1)的值为________． 15. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现
在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是_________．
16. 若函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥−𝑏的两个零点是2和3，则函数𝑔(𝑥)=𝑏𝑥2−𝑎𝑥−1的零点是________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．
1
(Ⅰ)求证：𝐸𝐹//平面𝐶𝐵1𝐷1；
(Ⅱ)求异面直线EF与𝐶𝐷1所成角．
18. 已知直线𝐿1：(3−𝑎)𝑥+(2𝑎−1)𝑦+10=0，直线𝐿2：(2𝑎+1)𝑥+(𝑎+5)𝑦−6=0．
①若𝐿1⊥𝐿2，求a的值； ②若𝐿1//𝐿2，求a的值．
19. 函数𝑓(𝑥+1)是偶函数，当𝑥>1时，𝑓(𝑥)=𝑥2+1，求当𝑥<1时，𝑓(𝑥)的解析式．
20. 如图，三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷所有的棱长都为6，以CD为斜边作等腰直角△𝑀𝐶𝐷，若平面𝑀𝐶𝐷⊥平面
BCD，连接AM，BM．
(1)求证：𝐶𝐷⊥𝐵𝑀； (2)求三棱锥𝐷−𝑀𝐴𝐶的体积．
21. 已知𝑓(𝑥)是定义域为R的奇函数，当𝑥<0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥−2，求𝑓(𝑥)的解析式．
22. 已知圆
切线的方程．
和圆
，求圆
与圆
的公
【答案与解析】
1.答案：D
解析：
本题主要考查了直线的点斜式方程和直线的斜率，属于基础题． 分局直线方程判断即可．
解：因为直线方程为𝑦−2=2(𝑥+3)， 故直线经过点(−3,2)， 斜率为2， 故选D．
2.答案：C
解析：
本题考查了指数幂的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 利用指数幂即可得出．
解：(6)−(−7.8)0−(3)+(2)−2=√25−1−√(27)+(3)2
483482=−1−+=． 2442故选C．
5
9
9
3
1
1
2
3
23
3
2
3.答案：A
解析：解：由题意画如下的草图：
因为斜线段AB的长度是它在平面内的射影AC长度的2倍， 连接BC，有斜线段与其射影，则△𝐴𝐵𝐶就构成以∠𝐴𝐶𝐵=90°的直角三角形，
因为线段AB是AC的2倍，所以∠𝐵𝐴𝐶=60°． 故选：A．
由题意，画出一个简图，利用直线与平面所成角的概念找出该斜线段AB与其射影线AC的夹角即为该斜线与平面所成的角．
此题重点考查了写线段与其射影所成的角即为线面角这一概念，还考查了直线与平面所成的角这一概念及解直角三角形的公式．
4.答案：C
𝑥>−1}={𝑥|𝑙𝑜𝑔1𝑥>𝑙𝑜𝑔12}={𝑥|0<𝑥<2}， 解析：解：∵集合𝐴={𝑥|𝑙𝑜𝑔1222𝐵={𝑥|2𝑥>√2}={𝑥|2𝑥>22}={𝑥|𝑥>}，
2∴𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥>0}=(0,+∞)． 故选：C．
先分别求出集合A，B，由此利用并集定义能求出𝐴∪𝐵．
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
1
1
5.答案：A
2𝑒𝑥−1(𝑥<2)
解析：解：∵𝑓(𝑥)={，
𝑙𝑜𝑔3(𝑥2−1)(𝑥≥2)∴𝑓(2)=𝑙𝑜𝑔3(22−1)=1， 𝑓[𝑓(2)]=𝑓(1)=2𝑒1−1=2． 故选：A．
由已知得𝑓(2)=𝑙𝑜𝑔3(22−1)=1，由此能求出𝑓[𝑓(2)]=𝑓(1)=2𝑒1−1=2．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
6.答案：C
解析：
本题考查了求点关于直线的对称点的应用问题，是基础题目．
根据点关于直线的对称点连线，被对称轴垂直且平分，列出方程组，求出对称点的坐标． 解：设点𝑄(0,2)关于直线𝑥+2𝑦−1=0的对称点是𝑃(𝑎,𝑏)， 则𝑘𝑃𝑄=
2−𝑏−𝑎
=2…①，
𝑎𝑏+2
2
且线段PQ的中点𝑀(2,
𝑎
)在直线𝑥+2𝑦−1=0上，
∴2+(𝑏+2)−1=0…②；
由①、②组成方程组，解得𝑎=−5，𝑏=−5； ∴点𝑃(−5,−5). 故选C．
6
2
62
7.答案：D
解析：
本小题主要考查指数函数的图象与对数函数的图象的关系，属于基础题． 根据指数和对数式的关系即可判断．
解：由𝑦=3𝑥得到𝑥=log3𝑦，得到对数函数， 则函数𝑦=3𝑥与故选D．
的图象之间的关系是关于直线𝑦 = 𝑥对称．
8.答案：D
解析：
本题考查了命题的真假与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，属于中档题．
本题不好判断的是选项D到底正确还是不正确，解析中主要利用了反证法的原理.先假设它是正确的， 再找到∠𝑀𝐷𝑁为直角的直角三角形时的情形，找到矛盾.对于这种不好判断的命题，我们有时可以反证法．
解：对选项A，取MN的中点E，连接DE，过点E作BC的垂线，垂足为F，连接AF， 可以证明𝐷𝐸||𝐴𝐹，所以𝐷𝐸||平面ABC，故选项A正确；
对于选项B，可以证明𝐷𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，所以平面𝐷𝑀𝑁⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，故选项B正确； 对于选项C，𝑉𝐴1−𝐷𝑀𝑁=𝑉𝑀−𝐴1𝐷𝑁，底面𝛥𝐴1𝐷𝑁的底边𝐴1𝐷和它的高都是一个定值，所以底面积是一个定值，
但是点M到底面的高是一个定值，所以三棱锥𝐴1−𝐷𝑀𝑁的体积为定值，故选项C正确；
对于选项D，若𝛥𝑀𝐷𝑁为直角三角形，则必是以∠𝑀𝐷𝑁为直角的直角三角形，但是MN的最大值为𝐵𝐶1， 而此时DM，DN的长大于𝐵𝐵1，所以𝛥𝑀𝐷𝑁不可能为直角三角形， 故选D．
9.答案：D
解析：
要题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．
解：圆C：𝑥2+𝑦2−2𝑦=0的圆心(0,1)，半径是𝑟=1， 由圆的性质知：𝑆四边形𝑃𝐴𝐶𝐵=2𝑆△𝑃𝐵𝐶， 四边形PACB的最小面积是2，
∴𝑆△𝑃𝐵𝐶的最小值=1=2𝑟𝑑(𝑑是切线长)， ∴𝑑最小值=2，
圆心到直线的距离就是PC的最小值， √12+ 22=∵𝑘>0， ∴𝑘=2． 故选D．
5√1+𝑘21
=√5，
10.答案：B
解析：
本题考查分段函数的值域问题，涉及指数函数的性质，属基础题，分段研究函数值域，考虑何时取并集之后符合要求，列关于a的不等式组，即可得解． 解：由于𝑥≥1时，3𝑥−1⩾1，
3−𝑎 >0所以{，解得𝑎∈[−2,3)．
(3−𝑎)+2𝑎⩾1故选B．
11.答案：B
解析：
本题考查利用指数函数的性质求方程的求解，属于基础题． 解：由42𝑥−1=16得 42𝑥−1=42， 2𝑥−1=2， 𝑥=2． 故选B．
3
12.答案：C
解析：
本题主要考查了空间几何体的三视图，属于中档题． 解：此几何体展开图如下所示：
由三视图可知这是一个正三棱柱，各边都为2，
两点之间直线段最短，故A到点B的最短距离为√2²+3²=√13，C正确， 故选C．
13.答案：(𝑥−2)2+(𝑦+1)2=9
解析：
本题考查求圆的标准方程，属于基础题目.根据题意得出圆心坐标以及半径，代入公式即可求解． 解：由题意，∵𝐴(2,−4)，𝐵(2,2) ∴𝐴𝐵的中点即圆心坐标为(2,−1)，
半径为2|𝐴𝐵|=2×√(2−2)2+(−4−2)2=3， ∴所求圆的方程为(𝑥−2)2+(𝑦+1)2=9． 故答案为(𝑥−2)2+(𝑦+1)2=9．
1
1
14.答案：−2
解析：
本题考查了函数奇偶性，属于基础题．
当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥，可得𝑓(1).由于函数𝑓(𝑥)为奇函数，可得𝑓(−1)=−𝑓(1)，即可得出． 解：∵当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥， ∴𝑓(1)=1+1=2． ∵函数𝑓(𝑥)为奇函数， ∴𝑓(−1)=−𝑓(1)=−2． 故答案为−2．
1
1
15.答案：北
解析：
本题考查正方体展开图，还原成立体图形即可，属容易题． 还原成立体图形：
故答案为北．
16.答案：−2和−3
解析：
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，是基础题．
𝑏=−2×3=−6，由题意得𝑎=2+3=5，所以𝑔(𝑥)=−6𝑥2−5𝑥−1，从而有𝑔(𝑥)=−6𝑥2−5𝑥−1=0，所以其零点可求．
解：由题意得𝑎=2+3=5，𝑏=−2×3=−6，
11
所以𝑔(𝑥)=−6𝑥2−5𝑥−1， 令𝑔(𝑥)=0，即−6𝑥2−5𝑥−1=0， 解得𝑥=−3或𝑥=−2， 所以其零点为−2和−3． 故答案为−2和−3．
1
11
1
1
1
17.答案：(Ⅰ)证明：连结BD，∵𝐸，F分别是AD，AB的中点，∴𝐸𝐹//𝐵𝐷，
∵𝐵𝐵1//𝐷𝐷1，𝐵𝐵1=𝐷𝐷1， ∴四边形是𝐵𝐵1𝐷1𝐷是平行四边形， ∴𝐵𝐷//𝐵1𝐷1，∴𝐸𝐹//𝐵𝐷，
∵𝐵1𝐷1⊂平面𝐵1𝐷1𝐶，𝐸𝐹⊄面𝐵1𝐷1𝐶， ∴𝐸𝐹//平面𝐶𝐵1𝐷1．
(Ⅱ)解：连接𝐴1𝐵，𝐴1𝐷，∵𝐴1𝐷1=𝐵𝐶,𝐴1𝐷1//𝐵𝐶， ∴四边形𝐵𝐶𝐷1𝐴1是平行四边形， ∴𝐵𝐴1//𝐶𝐷1，又∵𝐸𝐹//𝐵𝐷，
∴∠𝐴1𝐵𝐷就是异面直线EF与𝐶𝐷1所成角 ∵在正方体𝐴𝐶1中𝐴1𝐵=𝐴1𝐷=𝐵𝐷， ∴∠𝐴1𝐵𝐷=60°，
∴异面直线EF与𝐶𝐷1所成角为60°．
(Ⅰ)连结BD，解析：则𝐸𝐹//𝐵𝐷，从而四边形是𝐵𝐵1𝐷1𝐷是平行四边形，由此能证明𝐸𝐹//平面𝐶𝐵1𝐷1． (Ⅱ)连接𝐴1𝐵，𝐴1𝐷，则四边形𝐵𝐶𝐷1𝐴1是平行四边形，𝐸𝐹//𝐵𝐷，从而∠𝐴1𝐵𝐷就是异面直线EF与𝐶𝐷1所成角，由此能求出异面直线EF与𝐶𝐷1所成角．
本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．
18.答案：解：①𝐿1⊥𝐿2则(3−𝑎)(2𝑎+1)+(2𝑎−1)(𝑎+5)=0，解得𝑎=7，
②𝐿1//𝐿2则(3−𝑎)(𝑎+5)=(2𝑎−1)(2𝑎+1)，解得𝑎=5或𝑎=−2，、 当𝑎=−2时，𝑙1与𝑙2重合，不满足题意，
8
1
故𝑎=5．
8
解析：(1)当两条直线垂直时，(3−𝑎)(2𝑎+1)+(2𝑎−1)(𝑎+5)=0，解方程求出a的值． (2)利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值． 本题考查两直线相交、垂直、平行、重合的条件，体现了转化的数学思想．属于基础题．
19.答案：解：∵函数𝑓(𝑥+1)是偶函数，
∴𝑓(𝑥)的图象关于𝑥=1对称，即𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)， 设𝑥<1，则−𝑥>−1，则2−𝑥>1， ∴𝑓(2−𝑥)=(2−𝑥)2+1=𝑥2−4𝑥+5， ∵𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)，
∴𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+5(𝑥<1)．
解析：本题考查利用函数的奇偶性，求解函数的解析式，由题知函数𝑓(𝑥+1)是偶函数，知𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)，令𝑥<1则𝑥>−1，则2−𝑥>1，则𝑓(2−𝑥)=(2−𝑥)2+1=𝑥2−4𝑥+5，即可求得𝑓(𝑥)的解析式，属简单题．
20.答案：证明：(1)因为等腰直角△𝑀𝐶𝐷，三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷所有的棱长都为6，
所以取CD的中点O，连接MO，BO， 则𝐶𝐷⊥𝑀𝑂，𝐶𝐷⊥𝐵𝑂， 因为𝑀𝑂∩𝐵𝑂=𝑂， 所以𝐶𝐷⊥平面MOB， 因为𝐵𝑀⊂平面MOB， 所以𝐶𝐷⊥𝐵𝑀；
(2)因为𝐶𝐷⊥𝑀𝑂，平面𝑀𝐶𝐷⊥平面BCD， 所以点A到平面MCD的距离为√3，
所以三棱锥𝐷−𝑀𝐴𝐶的体积为3×2×6×3×√3=3√3．
1
1
解析：本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥𝐵−𝐴𝐶𝐹的体积，正确转化是关键． (1)证明𝐶𝐷⊥平面MOB，即可证明𝐶𝐷⊥𝐵𝑀；
(2)点A到平面MCD的距离为√3，即可求三棱锥𝐷−𝑀𝐴𝐶的体积．
𝑥2+𝑥−2,𝑥<0
0,𝑥=0 21.答案：𝑓(𝑥)={
−𝑥2+𝑥+2,𝑥>0
解析：设𝑥>0，则−𝑥<0，由已知得𝑓(−𝑥)=(−𝑥)2+(−𝑥)−2=𝑥2−𝑥−2，∵𝑓(𝑥)是奇函数，∴当𝑥>0时，∴𝑓(𝑥)=−𝑓(−𝑥)=−𝑥2+𝑥+2，𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑥+2.又𝑓(𝑥)是定义域为R的奇函数，𝑥2+𝑥−2,𝑥<0
∴𝑓(0)=0.综上所述：𝑓(𝑥)={0,𝑥=0．
−𝑥2+𝑥+2,𝑥>0
(𝑥+1)2+(𝑦+3)2=1,(𝑥−3)2+(𝑦+1)2=9． 22.答案：解：由题意，圆𝐶1，圆𝐶2的方程可化为：
当公切线斜率不存在时，显然𝑥=0是其一条公切线，设其它的公切线为𝑦=𝑘𝑥+𝑏． 则两圆的圆心到公切线的距离分别为1和3． 则|−𝑘+3+𝑏|√𝑘2+1=1,|3𝑘+1+𝑏|√𝑘2+1=3．
4
4
5
解出𝑘=0，𝑏=−4或𝑘=3，𝑏=0或𝑘=−3，𝑏=−2． 则公切线方程为：𝑦=−4，𝑦=3𝑥，𝑦=−3𝑥−2．
综上，公切线方程为𝑥=0，𝑦=−4，𝑦=3𝑥，𝑦=−3𝑥−2．
4
4
5
4
4
5
解析：
本题考查圆与圆的公切线，属于基础题.注意分斜率是否存在两种情况讨论．
解：由题意，圆𝐶1，圆𝐶2的方程可化为：(𝑥+1)2+(𝑦+3)2=1,(𝑥−3)2+(𝑦+1)2=9． 当公切线斜率不存在时，显然𝑥=0是其一条公切线，设其它的公切线为𝑦=𝑘𝑥+𝑏． 则两圆的圆心到公切线的距离分别为1和3． 则|−𝑘+3+𝑏|√𝑘2+1=1,|3𝑘+1+𝑏|√𝑘2+1=3．
4
4
5
解出𝑘=0，𝑏=−4或𝑘=3，𝑏=0或𝑘=−3，𝑏=−2． 则公切线方程为：𝑦=−4，𝑦=3𝑥，𝑦=−3𝑥−2．
综上，公切线方程为𝑥=0，𝑦=−4，𝑦=3𝑥，𝑦=−3𝑥−2．
4
4
5
4
4
5
