湖南沙郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题(精品解析)

湖南沙郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试

题（解析版）

一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）

1. 已知i为虚数单位，复数 的共扼复数在复平面内对应的点位于

A. 第一象限

【答案】B

B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【解析】解： ， 故 ， ， ，

在第二象限， 故选：B．

将复数的分子分母同乘以 ，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．

2. 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取

样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 ， ， ，则

A.

【答案】D

B. C. D.

【解析】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的， 即 ． 故选：D．

根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论． 本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．

3. 曲线 与直线 及直线 所围成的封闭图形的面积为

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】解：画图得三个交点分别为 ， ， ， 故曲线 与直线 及直线 所围成的封闭图形的面积为

，

故选：D．

求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线 与直线 及 围成的封闭图形的面积，即可求得结论

本题考查导数知识的运用，考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题．

4. 若 ，则关于x、y的方程 所表示的曲线是

A. 焦点在x轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的双曲线

【答案】C

B. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在x轴上的双曲线

【解析】解： ，可得 ， ，

关于x、y的方程 所表示的曲线是：焦点在y轴上的双曲线． 故选：C．

利用K的范围，判断二次方程的形式，即可推出结果． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．

B，C， ， ，5. 对于空间任意一点O和不共线的三点A，且有 则 ， y，

是P，A，B，C四点共面的

A. 充分不必要条件

C. 充要条件

【答案】A

【解析】解：若P，A，B，C四点共面，

B. 必要不充分条件

D. 既不充分又不必要条件

则满足 ，则 ， ， 不一定成立，即必要性不成立．

若 ， ， ，则满足 ，则P，A，B，C四点共面，即充分性成立， 故 ， ， 是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件， 故选：A．

根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键．

6. 已知P为椭圆

上的一点，M，N分别为圆 和圆 上的点，则

的最小值为

A. 5

【答案】B

B. 7 C. 13 D. 15

【解析】解：依题意可得，椭圆

的焦点分别是两圆 和 的圆心，

所以根据椭圆的定义可得： ， 故选：B． 由题意可得：椭圆

的焦点分别是两圆 和 的圆心，再结合椭圆的定

义与圆的有关性质可得答案．

本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

7. 给出下列命题：

已知 ，则 ； 不构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面； 、B、M、N为空间四点，若

已知 ，则 与任何向量不构成空间的一个基底；

构成空间另一个基底． 已知 是空间的一个基底，则基向量 可以与向量 正确命题个数是

A. 1

【答案】C

B. 2 C. 3 D. 4

【解析】解： 若 ，则 ，故 ， 故 正确．

不构成空间的一个基底，则 这3个向量共面，故A、B、M、N共面， 若 故 正确．

时，若 这3个向量不共面，则 与 当 构成空间的一个基底，故 不正确． ，则 与 若 是空间的一个基底，设 这3个向量不共面， 故 构成空间的另一个基底，故 正确． 综上， 正确， 不正确． 故选：C．

对于 ，由条件可得 ，把等式的左边展开化简可得它和灯饰的右边相等，故 正确． 这3个向量共面，故A、B、M、N共面，故 正确． 对于 ，由条件可得 与 对于 ，若 这3个向量不共面，则 构成空间的一个基底，故 不正确． 与 对于 ，由条件可得 这3个向量不共面，能构成空间的另一个基底，故 正确． 本题主要考查空间向量基本定理及其意义，三个向量能构成空间的基底的条件是，这三个向量不共面．

8. 已知命题p： ， ，命题q： ， ，则下列命题中为真命题的是

A.

【答案】C

B. ￢ C. ￢ D. ￢ ￢

【解析】解：命题p： ， ，利用指数函数的性质可得：是真命题；

命题q：由 ，化为： ，解得 ， ，因此q是假命题． 则下列命题中为真命题的是 ￢ ， 故选：C．

命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由 ，化为： ，解得 ， ，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．

本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9. 命题“数列 前n项和是 的形式，则数列 为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这

三个命题中，真命题的个数为

A. 1

【答案】C

B. 2 C. 3 D. 0

【解析】解：命题“数列 前n项和是 的形式，则数列 为等差数列”是真命题， 故逆否命题也是真命题；

逆命题“若数列 为等差数列，则数列 前n项和是 的形式”为真命题， 故否命题也是真命题， 故选：C．

根据等差数列的前n项和是 的形式，逐一分析原命题的逆命题，否命题，逆否命题的真假，可得答案．

本题以命题的真假判断应用为载体，考查了四种命题，等差数列的性质等知识点，难度中档．

10. 某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图，社区准备从4种颜

色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域随机用一种颜色的花卉，且相邻区域 用公共边的 所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有

A. 96

【答案】C

B. 114 C. 168 D. 240

【解析】解：根据题意，分4步进行分析： 对于e区域，有4种花卉可选，即有4种情况， 对于c区域，与e区域相邻，有3种情况， 对于d区域，与e、c区域相邻，有2种情况， 对于a、b区域，分2种情况讨论：

若其与d区域种植的相同，则b区域有3种花卉可选，即有3种情况，此时a、b区域有 种情况， 若a区域与d区域种植的步相同，则a区域有2种情况，b区域有2种情况，此时a、b区域有 种情况， 则a、b区域共有 种情况，

则不同种植方法的种数共有 种； 故选：C．

根据题意，依次分析e、c、d以及a、b区域的选择情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区域相邻的情况．

11. 已知函数 若关于x的函数 有8个不同的零点，则实数b的

取值范围是

A.

【答案】D 【解析】解： 函数

B.

C.

D.

，作出 的简图，如图所示：

由图象可得当 在 上任意取一个值时，都有四个不同的x与 的值对应．

再结合题中函数 有8个不同的零点， 可得关于k的方程 有两个不同的实数根 、 ，且 ， ．

， 应有，解得

故选：D．

方程 有8个不同实数解，即要求对应于 等于某个常数k，有2个不同的k，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出 的简图：由图可知，只有满足条件的k在开区间 时符合题意 再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案． 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解 数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

12. 如图，圆O： 内的正弦曲线 与x轴围成的区域记为 图中阴

影部分 ，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是______． 【答案】

【解析】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为

正弦曲线 与x轴围成的区域记为M，面积为 由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率

故答案为：

先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线 与x轴围成的区域记为M

，代入几何概率的计算公式可求 的面积为

本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题，具有一定的综合性，但难度不大．

13. 有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变，则共有______种不同的

排列方法． 【答案】840

【解析】解：根据题意，设出甲乙丙之外的4人为A、B、C、D，

由于甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变，先将三人的顺序确定，三人排好后，包括两端有4个空位， 对于A，可以在4个空位中任选1个，有4种情况，4人排好后，包括两端有5个空位， 对于B、可以在5个空位中任选1个，有5种情况，5人排好后，包括两端有6个空位， 对于C、可以在6个空位中任选1个，有6种情况，6人排好后，包括两端有7个空位， 对于D、可以在7个空位中任选1个，有7种情况； 则一共有 种不同的排法； 故答案为：840．

根据题意，设出甲乙丙之外的4人为A、B、C、D，先排好甲乙丙三人，依次分析A、B、C、D四人的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．

本题考查排列、组合及简单计数原理的应用，注意甲、乙、丙三人从左至右的顺序一定，但三人可以相邻也可以不相邻．

， ， ，其中 为单位正交基底，若 ， ，14. 已知 ， ，

共同作用在一个物体上，使物体从点 移到点 1， ，则合力所作的功为______． 【答案】14

， ， ， 为单位正交基底， ， 【解析】解：其中 若 ， ， ， 共同作用在一个物体上，

1， 和向量

又在合力作用下物体从点 移到点 1， ， 3，

则合力所作的功为14 故答案为14

由题设条件，欲求合力所做的功，要求出合力对应的向量，以及在合力作用下物体运动的位移，再利用数量积公式求出数量积的值即可求出合力所作的功，

本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，解题的关键是求出合力对应的向量以及在合力作用下物体移动的位移，然后利用数量积公式求出数量积，注意本题中物理与数学结合的方式，近几年高考题中跨学科的题分量逐年加重，注意总结此类题的作题经验与切入点．

15. 已知双曲线

的左右焦点分别为 ， ，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为 ，则

的最小值为______． 【答案】 【解析】解：如图 由双曲线

，得 ， ，

，则 ， 则 ，

， ， 则 ， 连接 交双曲线右支于P， 则此时 最小等于 ， 的坐标为 ， ， ， 的最小值为 ． 故答案为： ．

由双曲线方程求出a及c的值，利用双曲线定义把 转化为 ，连接 交双曲线右支于P，则此时 最小等于 ，由两点间的距离公式求出 ，则 的最小值可求． 本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．

16. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ______． 【答案】

【解析】解：设 与 和 的切点分别为 、 ； 由导数的几何意义可得

，得

再由切点也在各自的曲线上，可得

联立上述式子解得 ；

从而 得出 ．

先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题

17. 已知函数 ， ，如果存在 ，使得对任意的 ，都有

成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】

【解析】解：求导函数，可得 ，

， 在 上单调递增， ，

， ， ，

如果存在 ，使得对任意的 ，都有 成立， ，

故答案为

求导函数，分别求出函数 的最小值， 的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围． 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）

18. 某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩 均为整数 分成六组 ， ， 后画

出如下部分频率分布直方图 观察图形的信息，回答下列问题： Ⅰ 求成绩落在 上的频率，并补全这个频率分布直方图； Ⅱ 估计这次考试的及格率 分及以上为及格 和平均分；

Ⅲ 为调查某项指标，从成绩在 ～ 分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽6人，再从这6人中选2

人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段组的概率．

【答案】解 Ⅰ 成绩落在 上的频率是 ，频率分布直方图如下图．

Ⅱ 估计这次考试的及格率 分及以上为及格为 平均分： ，

Ⅲ 成绩是 ～ 分A组有 人，成绩在 ～ 分B组有 人，按分层抽样A组抽2人记为a，b，B组抽4人记为1，2，3， 从这6人中抽2人有a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34，ab共15种选法．

两人来自同一组有12，13，14，23，24，34，ab有7种选法． 所以两人来自同一组的概率为 【解析】 Ⅰ 根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在 上的频率，从而补全频率分步直方图．

Ⅱ 先根据频率分布直方图，用1减去成绩落在 ， 上的频率，即可得到这次考试的及格率，并求出平均分．

Ⅲ 分别求得成绩落在区间 、 上的人数，即可求得他们在同一分数段的概率． 本题主要考查频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，属于中档题．

19. 已知p： ， ；q：函数 有两个零点．

若 为假命题，求实数m的取值范围；

若 为真命题， 为假命题，求实数m的取值范围． 【答案】解：若p为真，令 ， 问题转化为求函数 的最小值，

，令

，解得 ，

函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ，故 ，

若q为真，则 ， 或 ． 若 为假命题，则p，q均为假命题， 实数m的取值范围为 ．

若 为真命题， 为假命题，则p，q一真一假． 若p真q假，则实数m满足 ，即 ；

若p假q真，则实数m满足 或 ，即 ． 综上所述，实数m的取值范围为 ， ．

【解析】 分别求出p，q为真时的m的范围，再判断出 为假命题时的m的范围即可； 通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可． 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．

20. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点D是

BC的中点．

求证： 面 ；

求直线 与平面 所成角的余弦值．

【答案】 证明：如图，以 为单位正交基底建立空间直角坐标系 ，

， 0， ， 2， ， 0， ， 1， ， 0， ， 2， 则 0，

， ， ， ，由 设平面 的法向量为

，得 ， ， 平面 的法向量为 取 由此可得， ， 又 平面 ， 面 ．

解： ， ，设直线 与平面 所成角为 ，则

又 为锐角，

直线 与平面 所成角的余弦值为 ．

【解析】 建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，证明 ，即可证明 面 ；

求出： ，利用向量的夹角公式，即可求直线 与平面 所成角的余弦值．

本题考查线面平行，考查直线 与平面 所成角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，正确运用向量法是关键，属于中档题．

21. 已知椭圆

的长轴长为4，且点

在椭圆上．

Ⅰ 求椭圆的方程；

，求直线l的方程． Ⅱ 过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若

【答案】解： Ⅰ 由题意 ，设所求椭圆方程为又点 在椭圆上，可得 ．

则所求椭圆方程为

．

；

Ⅱ 由 Ⅰ 知 ， ，所以 ，椭圆右焦点为 ． 则直线AB的方程为

由 可得

由于直线AB过椭圆右焦点，可知 ． 设 ， ，则 ，

，

．

所以 ．

，即由

． ，可得 ，即

所以直线l的方程为

【解析】 Ⅰ 由题意 ，设所求椭圆方程为

，代入已知点，即可得到b，进而得到椭圆方程；

Ⅱ 设出直线AB的方程为 ，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量的数量积坐标公式，化简整理，解方程，即可得到k，进而得到所求直线方程．

本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理，以及平面向量的数量积的坐标公式，考查化简整理和运算能力，属于中档题．

22. 设a为实数，函数 ， ．

求 的单调区间与极值；

求证：当 且 时， ． 【答案】解： 解：由 ， ， 知， ， ，

令 ，得 ，于是，当x变化时， 和 的变化情况如下表： x 单调递减 0 单调递增 故 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， 在 处取得极小值，极小值为 ． 证明：设 ， ， 于是

， ．

由 知，对任意 ，都有 ，

所以 在R内单调递增．

于是，当 时，对任意 ， 都有 ，而 ， 从而对任意 ，都有 ， 即 ，故 ．

【解析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可； 设 ，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．

本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．

23. 设函数 ．

求f 的单调区间；

若 ，k为整数，且当 时， ，求k的最大值． 【答案】解： 的定义域为R， ， 若 ，则 ， 在R上单调递增； 若 ，则 解得 ． 当x变化时， ， 变化如下表： x 减 0 极小值 增 所以， 的单调减区间是： ，增区间是： ． 由于 ，所以 ． 故当 时， 等价于 ， 令 ，则

，

而函数 在 上单调递增， ， ， 所以 在 存在唯一的零点． 故 在 存在唯一的零点． 设此零点为a，则 ．

当 时， ；当 时， ． 所以 在 的最小值为 ．

又由 ，可得 ，所以 ． 由于 式等价于 ，故整数k的最大值为2．

【解析】 分类讨论，利用导数的正负，可求 的单调区间；

当 时， 等价于 ，令 ，求最值，即可求k的最大值．

本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确求导、确定函数的单调

性是关键．