北师大版九年级上册数学期中考试试卷附答案解析

一、选择题。（每小题只有一个正确答案）

1．若方程（n﹣1）x2+√𝑛x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则（ ） A．n≠1 B．n≥0 C．n≥0且n≠1 D．n为任意实数 2．已知关于x的一元二次方程（k-1）x2+3x+k2-1=0有一根为0，则k=（ ） A．1

B．-1

C．±1

D．0

3．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（ ）

A．4.5 B．5 C．6 D．9

b，x1•x2＝a4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣c．当a＝1，b＝6，c＝5时，x1x2+x1+x2的值是（ ） aA．5

2B．﹣5 C．1 D．﹣1

5．已知x2y2y2x26，则x2y2的值是（ ） A．－2

B．3

C．－2或3

D．－2且3

6．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ） A．9cm2

B．68cm2

C．8cm2

D．cm2

7．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是（ ） 1A．

32B．

31C．

41D．

58．关于x的方程kx23x10有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k9 49B．k且k0

49C．k

49D．k＞且k0

49．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都

1

是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）

A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=121 10．已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（ ） A．2

1B．

2C．﹣2

1D．

211．有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ） 1A．

5B．

3 101C．

23D．

512．如图把一个圆形转盘按1:2:3:4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为（ ）

2A．

51B．

53C．

5D．

1 10二、填空题

13．方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，化成一般形式是_____，其二次项的系数和一次项系数的和是_____．

14．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为_____，面积为_____．

15．2018年10月1日是第70个国庆节，从数串“20181001”中随机抽取一个数字，抽到数字1的概率是________．

16．要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排15场比赛，应邀请______个球队参加比赛.

17．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是______．

2

三、解答题 18．解下列方程 （1）2x2+5x＝3；

（2）（x﹣7）（x+3）＝2x﹣14．

19．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与两坐标轴围成一个△AOB．现将背面完全相同，正面分别标有数1、2、3、33、33的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，再在剩下的4张卡片中任取一张，将该卡片上的数作为点P的纵坐标．

（1）请用树状图或列表求出点P的坐标． （2）求点P落在△AOB内部的概率．

20．如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ⑴求证：四边形AECF是平行四边形；

⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

21．一个袋中装有除颜色外都相同的红球和黄球共10个，其中红球6个．从袋中任意摸出1球．

（1）“摸出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“摸出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？

22．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．

3

（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．

23．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E

（1）求证：PD＝PE；

（2）DE与BC平行吗？请说明理由；

（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．

24．（1）如图1，在四边形ABCD中，点M在BC上，∠B＝∠C＝∠AMD时．求证：△ABM∽△MCD．

（2）如图2，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D，E分别在边AB，AC上．若∠B＝∠C＝∠DME＝45°，BC＝82，CE＝6，求DE的长．

25．阅读材料，解决问题．

小聪在探索三角形中位线性质定理证明的过程中，得到了如下启示：一条线段经过另一线段

4

的中点，则延长前者，并且长度相等，就能构造全等三角形．如图，D是△ABC的AC边的中点，E为AB上任一点，延长ED至F，使DF＝DE，连接CF，则可得△CFD≌△AED，从而把△ABC剪拼成面积相等的四边形BCFE．你能从小聪的反思中得到启示吗？

（1）如图1，已知△ABC，试着剪一刀，使得到的两块图形能拼成平行四边形． ①把剪切线和拼成的平行四边形画在图1上，并指出剪切线应符合的条件．

②思考并回答：要使上述剪拼得到的平行四边形成为矩形，△ABC的边或角应符合什么条件？菱形呢？正方形呢？（直接写出用符号表示的条件）

（2）如图2，已知锐角△ABC，试着剪两刀，使得到的三块图形能拼成矩形，把剪切线和拼成的矩形画在图2上，并指出剪切线应符合的条件．

参

1．C 【解析】

一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得n的取值范围． 【详解】

解：∵方程（n-1）x2+√𝑛x-1=0是关于x的一元二次方程， ∴n≥0且n-1≠0，即n≥0且n≠1． 故选：C．

5

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．B 【详解】

把x=0代入一元二次方程（k-1）x2+3x+k2-1=0， 得k2-1=0， 解得k=-1或1； 又k-1≠0， 即k≠1； 所以k=-1． 故选B． 3．A 【详解】

试题分析：∵四边形ABCD为菱形，且周长为36，∴AB=BC=CD=AD=9，又∵O为BD中点，H为AD的中点，∴OH为△ABD的中位线，∴OH=2AB=4．5，故选A． 考点：1．菱形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．三角形中位线定理． 4．D 【分析】

1cb利用一元二次方程根与系数的关系：x1x2=，x1x2=，代入系数即可.

aa【详解】

解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1•x2＝5， 所以x1•x2+x1+x2＝5﹣6＝﹣1． 故选：D． 【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，牢记公式是解题的关键. 5．B 【详解】

试题分析：根据题意，先移项得x2y2y2x260，即x2y2（x2y2）60，

6

22然后根据“十字相乘法”可得(x2y22)(x2y23)0 ，由此解得x2y2=-2（舍去）或

x2y23.

故选B.

点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可. 6．D 【分析】

可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x﹣2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解． 【详解】

设正方形的边长是xcm，根据题意得： x（x﹣2）=48

8=（cm2）解得：x1=﹣6（舍去），x2=8，那么原正方形铁片的面积是8×． 故选D． 【点睛】

本题考查了一元二次方程应用以及矩形和正方形面积公式，表示出矩形各边长是解题的关键．7．B 【分析】

先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】 画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8， 所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为故选B． 【点睛】

本题考查了列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再

7

82=， 123从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 8．C 【分析】

关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程； 当方程为一元一次方程时，k=0；

是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥0． 【详解】

当k=0时，方程为3x-1=0，有实数根， k×当k≠0时，△=b2-4ac=32-4×（-1）=9+4k≥0， 9解得k≥-．

49综上可知，当k≥-时，方程有实数根；

4故选C． 【点睛】

本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键． 9．C 【详解】

试题分析：对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量×(1增长率)增长次数=增长后的数量.由题意，可列方程为：100(1+x)2=121，故答案为：C 考点：一元二次方程的应用 10．D 【解析】 【分析】

利用完全平方公式把方程的左边化为平方和的形式，根据偶次方的非负性计算即可． 【详解】

解：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0， x2+4xy+4y2+2x2﹣4x+2＝0， （x+2y）2+2（x﹣1）2＝0，

8

则x+2y＝0，x﹣1＝0， 解得，x＝1，y＝﹣则x+y＝

1， 21， 2故选D． 【点睛】

本题考查的是配方法，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 11．B 【分析】

列举出5条线段任取3条的所有可能情况，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】

有5条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从中任取三条的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；6，8，10；4，8，10共10种，其中能构成三角形的情况有4，6，8；6，8，10；4，8，10共3种， 则P(能构成三角形)=故答案选：B. 【点睛】

本题考查了列表法与树状图法以及三角形的三边关系，解题的关键是熟练的掌握列表法与树状图法以及三角形的三边关系. 12．B 【分析】

首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率． 【详解】

解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域， ∴圆被等分成10份，其中B区域占2份， ∴落在B区域的概率=故选B．

21=； 1053. 10 9

【点睛】

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．

13．x2﹣2x﹣9=0；﹣1． 【解析】

ax2+bx+c=0b，c是常数且a≠0）试题分析：一元二次方程的一般形式是：（a，特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． ①由方程（x+5）（x﹣7）=﹣26，得 x2﹣2x﹣35=﹣26， 即x2﹣2x﹣9=0；

②x2﹣2x﹣9=0的二次项系数是1，一次项系数是﹣2， 所以其二次项的系数和一次项系数的和是1+（﹣2）=﹣1； 故答案为x2﹣2x﹣9=0；﹣1． 考点：一元二次方程的一般形式． 14．10cm， 503cm2 【分析】

根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积． 【详解】 根据已知可得，

菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，

10

在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO=1025253， ∴BD=2BO=103（cm），

AC×BD=2×10×103=503（cm2）则S菱形ABCD=2×； 故答案为10cm，503cm2． 【点睛】

本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=2×两条对角线的乘积． 15． 【分析】

根据概率公式即可求解. 【详解】

依题意得抽到数字1的概率P=， 故填：. 【点睛】

此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率的公式. 16．6. 【详解】

试题分析：设应邀请x个队参加比赛，由题意则有：意，舍去），故应邀请6个队参加比赛. 考点：一元二次方程的应用. 17．13 【分析】

要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解． 【详解】

x(x-1)=15,解得x=6或x=-5(不合题

383838111 11

解：如图

连接AE交BD于P点， 则AE就是PE+PC的最小值，

∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7， ∴AB=12，

∴AE=12252=13， ∴PE+PC的最小值是13． 故答案为13． 【点睛】

此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，找出最短路径作法是解题关键．

18．（1）x1＝﹣3，x2＝0.5；（2）x1＝7，x2＝﹣1 【分析】

（1）将3移到等式左边，利用十字相乘进行因式分解，可解方程；

（2）将2x﹣14提公因式变成2（x﹣7），然后移到等式左边，再用提公因式法进行因式分解，可解方程. 【详解】

解：（1）∵2x2+5x﹣3＝0， ∴（x+3）（2x﹣1）＝0， 则x+3＝0或2x﹣1＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝0.5；

（2）∵（x﹣7）（x+3）﹣2（x﹣7）＝0， ∴（x﹣7）（x+1）＝0， 则x﹣7＝0或x+1＝0， 解得x1＝7，x2＝﹣1．

12

【点睛】

本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 19．（1）20种；（2）【分析】

（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果;

（2）由（1）中求出的P点坐标，判断落在△AOB内部的情况，然后利用概率公式求解即可. 【详解】

解：（1）用A表示33，画树状图得：

1 10

则点P的坐标共有20种情况：（1,2）、（1,3）、（1，33）、（1，33）、（2,1）、（2,3）、（2，33）、（2，33）、（3,1）、（3,2）、（3，33）、（3，33）、（33,1）、（33,2）、（33，3）、（33，、（33,1）、（33,2）、（33，3）、（33，33） 33）（2）∵点P落在△AOB内部的有：（1，2），（2，1）共两种情况， ∴点P落在△AOB内部的概率为：【点睛】

本题考查概率的求法，用树状图或列表法求出所有等可能的情况，再找出符合条件的情况是关键.

20．⑴证明见解析 ⑵5 【分析】

（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形． （2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长 【详解】 ⑴证明：如图

13

21=． 2010

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=DF， ∴AF=EC

∴四边形AECF是平行四边形 ⑵解：∵四边形AECF是菱形， ∴AE=EC ∴∠1=∠2分

∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1， ∴∠3=∠4， ∴AE=BE

∴BE=AE=CE=2BC=5

221．（1）不可能事件，0；（2）随机事件，

51【分析】

（1）袋中没有白球，不可能摸出白球，故“摸出的球是白球”是不可能事件，概率为0； （2）可能摸出黄球，所以是随机事件，黄球的个数为10-6=4，总共10个球，两者之比即为概率. 【详解】

解：（1）∵一个袋中装有除颜色外都相同的红球和黄球共10个，其中红球6个， ∴“摸出的球是白球”是不可能事件，“摸出的球是白球”的概率是：0； （2））“摸出的球是黄球”是随机事件“，摸出的球是黄球”的概率是：【点睛】

本题考查了概率公式的应用，概率等于所求的情况数与总情况数之比，熟练掌握公式是关键. 22．（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩

1062=． 105 14

形花圃面积不能达到170m2． 【分析】

（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.

（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立. 【详解】

（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米， 根据题意得：x(32﹣2x)=126， 解得：x1=7，x2=9， ∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，

∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米． （2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米， 根据题意得：y(36﹣2y)=170， 整理得：y2﹣18y+85=0． ∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0， ∴该方程无解，

∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．

23．（1）见解析；（2）DE∥BC，理由见解析；（3）当∠A＝90°时，使四边形ADPE为正方形 【分析】

（1）由已知条件，利用角角边可证△PDB≌△PEC，所以PD＝PE;

（2）由（1）中△PDB≌△PEC可得BD=CE，结合条件AB=AC，利用平行线分线段成比例的逆定理可得出DE∥BC.

（3）∠A=90°时，易得四边形ADPE为矩形，由邻边AD=AE可得 四边形ADPE为正方形. 【详解】

（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴∠PDB＝∠PEC＝90°，

15

∵P是BC的中点， ∴BP＝PC，

即∠BDP＝∠PEC＝90°，∠B＝∠C，PB＝PC， ∴△PDB≌△PEC（AAS）， ∴PD＝PE． （2）答：DE∥BC， 理由是：∵△PDB≌△PEC， ∴BD＝CE， ∵AB＝AC， ∴

ABAC＝， BDCE∴DE∥BC．

（3）答：当∠A＝90°时，使四边形ADPE为正方形， 证明：∵∠A＝∠ADP＝∠AEP＝90°， ∴四边形ADPE是矩形， ∵AB＝AC，BD＝CE， ∴AD＝AE，

∴矩形ADPE是正方形，

即当∠A＝90°时，使四边形ADPE为正方形． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例逆定理，正方形的判定，熟练掌握这类性质定理是本题的关键. 24．（1）见解析；（2）【分析】

（1）由∠AMB+∠AMD+∠DMC=180°及△ABM内角和为180°、∠B＝∠AMD，可得∠BAM=∠DMC，从而可判定△ABM∽△MCD；

（2）可判定△BDM∽△CME，从而有对应边成比例，则易求得BD的长，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理或求得DE的长． 【详解】

（1）∵∠AMB+∠AMD+∠DMC=180°，∠B+∠AMB+∠BAM= 180°，∠B＝∠AMD

16

10 3∴∠BAM=∠DMC ∵∠B＝∠C ∴△ABM∽△MCD （2）∵M是BC的中点

11∴BM=CM=BC8242

22∵∠DMB+∠DME+∠EMC=180°，∠B+∠DMB+∠BDM= 180°，∠B＝∠DME ∴∠BDM=∠EMC ∵∠B＝∠C ∴△BDM∽△CME ∴

BMBD CECM∴BDBMCM424216 CE63∵∠B＝∠C＝45°

∴∠A=180° －∠B－∠C=90°∴由勾股定理得：AB=AC=∴AD=AB-BD=82BC8 2168，AE=AC-CE=8-6=2 33在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE【点睛】

108ADAE22

33222本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，关键是得出两个三角形相似．

25．（1）①见解析；②拼成矩形：∠B＝90°；拼成菱形：AB＝2BC；拼成正方形：∠B＝90°且AB＝2BC；（2）见解析 【分析】

（1）①分别取AB，AC的中点E，F，延长EF至点D，使EF=FD，连接CD，因为两组边分别对应相等所以四边形BCDE是平行四边形，所以沿着EF剪出的两个图形能拼成平行四边形；

②当∠B=90°时，可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得到结论； 当AB=2BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得到结论；

17

当∠B=90°且AB=2BC时，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得到结论．

（2）取△ABC的中位线EF，按第一问的方法先将其拼成一个平行四边形，再过点E作BC边的垂线EG，顺着EG剪下然后拼到点C处即可得到一个矩形． 【详解】

解：（1）①如图：剪切线EF，E. F分别AB、AC的中点.

②如图，△ABC的边或角应符合的条件： 拼成矩形：∠B=90°拼成菱形：AB=2BC

拼成正方形：∠B=90°且AB=2BC.

(2)如图，

剪切线应符合的条件：剪切线EF是中位线、EG⊥BC(AH⊥EF). 【点睛】

本题主要考查三角形中位线的定理，特殊平行四边形的判定定理，熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键.

18