《 势学箍思路．方法．技巧 ２０１４年第７—８期 求函数解析式的七种常用方法 ■河南 罗锴 函数的解析式作为函数的表示方法之一，是进 一可以将等式的右边配凑出二＋ｚ的形式，再整体代换。 步研究函数图像和性质的基础。下面通过举例， 谈谈求函数解析式的常用方法，供大家学习时参考。 一解：因为／（ ＋ｚ）一（ ）。＋ 。十 一（ ＋ｚ） 、待定系数法 倒， （１）若函数ｆ（ｚ）是一次函数，且 １，又二十＿ｚ∈（一ｃｘ３，一２］Ｕ［２，＋。。），所以厂（ｚ） ［厂（ｚ）］一４ｘ＋３，求厂（ｚ）的解析式。 （２）若二次函数ｆ（ｘ）的最大值为１３，且ｆ（３）一 ｆ（～１）一５，求＿厂（ｚ）的解析式。 分析：（１）设出一次函数厂（Ｌｚ）的解析式，代入已 知条件并化简，再利用待定系数列方程组解出参数 的解析式为－厂（ｚ）一ｚ 一１（ｚ≤一２或ｚ≥２）。 壁式求 萋 苎 三、换元法 霉蔷 方法，其关键在于将厂Ｅｇ（ ）］的表达式配凑出ｇ（ｚ） 的形式并进行整体代换，同时需要注意函数的定义域。 的值；（２）设出二次函数的解析式，根据已知条件列 方程组求解。 解：（１）函数ｆ（ ）是一次函数，可设ｆ（ ）一 是 ＋６（是≠Ｏ），则／、［厂（ｚ）］一ｋｆ（ ）＋６一ｋ（ｋｘ＋ｂ） ｆｋ —４． 侧 已知ｆｆ兰＋１）＝２ｘ＋１，求／（ｚ）的解析式。 分析：本题也是由形如厂［ｇ（ ）］的表达式求函 数＿厂（ｚ）的解析式，但用配凑法不太方便，可以考虑 用换元法，即将＿＝－＋１替换为ｔ，用ｔ表示ｚ，进而求 中 掌 生 数 ＋６一ｋ ２ｘ ｑ－ｋｂ＋６＝＝＝４ｘ＋３，所以｛尼６＋６—３，解得 ｛： ’或Ｉｋ６一＝－一３２。，故厂（ｚ）的解析式为 （ ）一 出ｆ（ｔ）的解析式，即得ｆ（ｘ）的解析式。 解：令二＋１一ｔ，可得ｚ一 所以ｆ（ｔ）一 理 ２ｚ＋１或厂（ｚ）一一２ｘ一３。（２）（方法１）设 （ｚ）一ｎｚ。＋ｂｘ＋ｃ（ｎ≠０），由 丫匕 （ ≠１）。 高 使 用 ｆ４＿ａｃ－ｂ ２—１３（ｎ＜０）， ｉ （一１）一ｎ一６十ｃ一５， 一一２， 一¨。 ＋１（ ≠１），即得ｆ（ｚ）的解析 题意可知｛厂（３）一９Ⅱ＋３６＋ｆ一５，解得｛６—４， 所以－厂（ ）的解析式为ｆ（ｘ）一一２ｘ ＋４ｘ＋１１。 式为ｆ（ｘ）一÷＋１（ ≠１）。 （方法２）由ｆ（ｚ）的最大值为１３，且ｆ（３）一 ｆ（一１）一５，可知二次函数，（－ｚ）的开口向下，对称轴 为 ＝＝＝ ，即Ｉｚ一１，于是可设厂（ｚ）一ｎ（ 一１） ＋ 盟求函 ｆ（法ｘ 方法，其关键在于令ｔ—ｇ（ｚ）后用ｔ表示出ｚ，同时 要注意新元ｔ的取值范围（即ｇ（ ）的值域）。 四、整体代入法 １３（口＜０）。由ｆ（３）一５，可解得ａ一一２，所以 －厂（ ）一～２（ 一１） ＋１３。 倒 析式。 已知ｆ（ｘ）一ｚ 一２ ，求ｆ（２ｘ＋１）的解 母常用 妻 釜 篇 凳 妻萎 分析：要求ｆ（２ｘ＋１）的解析式，只需要将厂（ｚ） 解：因为ｆ（Ｌｚ）一ｚ。一２ｘ，所以ｆ（２ｘ＋１）一 中的所有ｌｚ换成２ｚ＋１即可。 （２ｘ＋１） 一２（２ｘ＋１）一４ｘ 一１。 型求函数的解析式，熟悉常见的函数模型的一般形式是 运用待定系数法求解函数解析式的关键。方法２设的 是二次函数的顶点式方程，由于根据题设可以求出二次 函数的顶点坐标，因此设顶点式方程求解更为简单。 二、配凑法 叠儿忌 雾 法，即用ｇ（．ｚ）替换ｆ（ｚ）中的 芰 并化简，即得 侧２已知ｆ（ ＋ ）一（ ） ＋ｚ ＋１，求 厂［ｇ（ｚ）］的解析式。 五、方程组法 厂（ｚ）的解析式。 侧 （１）已知函数ｆ（ｘ）满足关系式２＿厂（ｚ）十 分析：已知等式两边的形式结构具有相关性，于是 胖子、孕妇、化妆的女性及穿深色衣服的人更容易被蚊子“盯上”。 －厂（ ）一３ｘ，求ｆ（ｘ）的解析式。 （２）已知函数ｆ（ｚ）满足ｆ（ｚ）＋２ｆ（一ｚ）一 ｚ 一３ｘ，求＿厂（ｚ）的解析式。 ｆ（ｘ＋２）一，（ｚ）且当ｚＥ（ｏ，２］时，ｆ（ｘ）一。 ，求 分析：欲求ｆ（ｘ），只需将已知等式中的厂（二）或 厂（－－Ｘ）消去，于是可将等式中的所有－ｚ替换成二或～ ｚ，这样得到另一个关于ｆ（ｘ）和－厂（ ）或厂（一ｚ）的等 式，再联立起来解方程组，即可得￣ｌＪｆ（ｘ）的解析式。 解：（１）将等式２ｆ（ｘ）＋ｆ《二）一３ｘ中的所有 替换成 ，得２ｆ（ １）＋ｆ（ｚ）一ｉ３。解方程组 ｛Ｉ ２－厂（二）＋厂（ ）一３ 可得］ ｆ（ｚ）一２ｘ一 （ｚ≠ｏ）。）＋ ）一 ３，‘ ｚ （２）将等式ｆ（ｘ）＋２ｆ（一ｚ）＝＝＝ｚ。一３ｘ中所有ｚ 替换成一－ｚ，得－厂（一ｚ）＋２ｆ（ｚ）一 ＋３．ｚ。解方程组 。＋２ｘ一１， ＞Ｏ， ｆ（ｚ）＝ ０，ｚ一０， Ｉ—ｚ ＋２ｘ＋１， ＜０。 ｆ（ｘ＋２）一厂（ｚ），所以函数ｆ（ｘ）是周期为２的周期 中 ｛【 （ ’（ ２ ｚ 一ｚ ＿３ 可得，（ｚ）一一ｚ ２＋３ｚ。 －Ｘ）＋２厂（ｚ）一ｚ ＋３ｘ，。。～ ３ 侧６ 已知＿厂（ ）是偶函数，ｇ（ ）是奇函数，且 厂（ｚ）＋ｇ（ ）：ｚ ＋ ＋２，求厂（ｚ）的解析式。 分析：题中知道了厂（ ）４－ｇ（ ）一ｚ。＋ｚ＋２，且 学 生 效 （６，８］上的解析式为ｆ（Ｌｚ）一ｆ（ｚ一６）一。 ，ｚ Ｅ 理 ．ｒ巴 知道了它们的奇偶性，于是可将等式中的所有 替 换成一 ，构造．厂（ ）与ｇ（ｚ）的方程组求解。 璺一式时 篓 高 解：在－厂（ ）＋ｇ（ｚ）＝ｚ ＋ ＋２中，用一ｚ替换 ｚ，可得ｆ（一ｚ）＋ｇ（一ｚ）一ｌｚ。一ｚ＋２，又厂（ ）是 使 用 偶函数，ｇ（ｚ）是奇函数，所以ｆ（一ｚ）＋ｇ（一ｚ）一 ，（ｚ）一ｇ（ ）一ｚ 一 ＋２。解方程组 ｛ｌ （三ｚ；） 一 （ｇ 三；） 三一 一 二 ＝ ＋２＝ ：，可得｛…Ｉ ｇ：（三ｚ；） 一ｚ三 。 ＋２， 母的应 蓑 嘉 厂（ ）和ｆｉｇ（ ）］（如ｇ（ ）为 或一 ）满足的关系 式求－厂（ｚ）的解析式，破解的技巧是将ｇ（ｚ）代替等 ｆ（ｘ）Ｄｙ（一２ｙ—ｚ＋１）中的 消去，即可得到＿厂（ ） 式两边所有的 ，得到关于ｆ（ｘ）和ｆＥｇ（ｚ）］的方程 组，消去－，’［ｇ（ｚ）］解出ｆ（ ）；②已知厂（ ）和ｇ（ｚ） 满足的关系式且ｆ（ｚ）、ｇ（ ）一奇一偶求－厂（ ）和 ｇ（ｚ）的解析式，破解的技巧是将一ｚ代替等式两边 所有的ｚ，并结合函数的奇偶性，构造－厂（ｚ）和ｇ（ｚ） 的方程组求解。 六、性质法 壹常用 嚣 凳 侧７（１）已知．厂（ｚ）是奇函数且当ｚ Ｅ（一Ｃｘ３， 专家研究发现：唱１首歌等于跑１００ｍ，因为可以利用腹部肌肉的收缩效果，促进新陈代谢，燃烧中性脂肪，如果边唱 歌边跳舞，减肥效果更好。
