高中物理竞赛_话题5：多质点在动态多边形顶点的相遇问题和多解问题

话题5： 多质点在动态多边形顶点的相遇问题和多解问题

一、问题引入

有两个运动质点位于一条线段的两端，作相对运动，两质点一定会相遇。

大量质点位于一个圆周上，一个质点接一个质点运动，结果运动沿圆周循环运动，永不相遇。

这是多边形两种极限情况，那么对于其间n边形情况如何呢?

二、物理模型

两两相距均为l的三个质点A、B、C，同时分别以相同的匀速率v运动，运动过程中A的运动速度方向始终指着当时B所在的位置、B始终指着当时C所在的位置、C始终指着当时A所在的位置。试问经过多少时间三个质点相遇？ 1、证明三个质点运动始终还是正三角形。

三个质点刚开始在t很小一段时间内每个质点移动

vt，由于t很小，可以认为在此时间内运动方向不变。

三个质点在t后运动到了A1B1C1,则因

AA1BB1CC1vt，易知A1B1C1仍为正三角形，

而且原ABC的中心O仍为新A1B1C1的中心。 2、求三个质点从开始到相聚所用时间。

任意时刻t,第一个质点朝着O点的速度分量恒为

vtA1A2lADl1l2OB2C2C1BvtB1Cv//vcos3003v 2由对称性可知，第二、第三个质点朝着O点的速度分量也为上述v//。这样经过

lOA2l2t3,三质点相聚。从开始到相聚第个质点走过路程为lvtl.

v//3v33v23、讨论每个质点加速度的大小变化。

考虑在开始时，设在一极短的时间间隔t后，三个质点从A,B,C三点分别到达相应

A1,B1,，在这段短时间内第一个质点近似经历svt，引起速度方向改变的小角度，

1

如图所示，从图中可看出

vtsin600vtsin6003vt

lvtvtcos600l2l曲率半径表达式为svt2l 3vt32l最后得质点开始的加速度大小为

3v2 aan2l从表达式可知，随着三角形的逐渐收缩，加速度越来越大。 4、对运动轨迹的思考

质点所走的轨迹到底是什么曲线呢？很难描绘它们的运动轨迹。用具体而形象的思维去简化与纯化它们的运动，在一个追一个循环运动规则联系下，按一定的时间顺序和空间关系，考虑对称性，三个质点总是位于新三角形的三个顶点上，而新三角形在不断翻转和收缩，最终他们会聚在原三角形的中心。（如图所示）

将运行轨迹的计算归纳如下：考虑当一个物体以恒定的速度v围绕固定点运动，其速度和位置矢量之间的夹角为一定值(090)。假设位置矢量的初始值为r0,当其转过一个小角度后，其长度变化为r，则由于的定值

0v2vrrr()r()cot 这个公式很像辐射衰减方程

dm(t)m(t),已知此方程的解为m(t)m0et, dt与此类似，在极坐标中质点移动路径的方程为

r()r0ecot

即rle33

这个方程就是所谓的对数螺旋方程，表明三个质点所走的轨迹是半径在转过无穷多圈

2

后趋向于零，角速度越来越大的“螺旋环”。

这一点与前面得到的结论是一致的，最后理论上当经过有限的时间角速度趋于无限大时，三个质点在中心相遇。

三、模型的其它解法

解法二：由前面分析，结合小量近似有：

333l1lAA1BB1cos600lvt.l2l1vtl2vt.

222A33l3l2vtl3vt.

A122

A2l3lnlnvt. l1C22l23vntlln. 2BBB12以上各式中，t0，n,并有ntt，ln0（三人相遇）。

C1C所以，三个质点一起运动到目标于原正三角形ABC的中心，所需的时间为tnt解法三：设t时刻三角形边长为x，经极短时间t后边长变为x。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得

2l. 3vAA1A2x2(vt)2(xvt)22(vt)(xvt)cos600x3xvt3vt.在t0时，可略去二阶小量t项，因此

2ll1

222l2C2C1BB1B2Cx2x23xvt

xx23xvtx13v3vttx(1) x2x3xxvt.

23v。 2l2l从初始边长l缩短到0需时间为t

3v3v2这表明等边三角形边长的收缩率为

3

所以根据分运动与和运动的等时性，相遇时间

2lsin602l3t.

vcos303v解法四：以B为参照系，在两者连线方向上A对B的相对速率恒为vvcos60。最终追及，相对运动距离为l，所用时间为t0AA1A2ll1l2C2C1l2l 3v3v2BB1B2C四、模型的拓展

1：如四个质点从正方形顶点出发，已知正方形边长为l，结果如何？ （答案：tl） v2：有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从正五边形ABCDE的五个顶点出发，以相同速率v运动，如图所示。运动中A始终朝着C，C始终朝着E，E始终朝着B，B始终朝着D，D始终朝着A，问经过多长时间五人相聚？（已知圆半径为R） （答案：t

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