复数与复变函数

(Complex number and function of the complex variable)

第一讲

授课题目：§1.1复数

§1.2 复数的三角表示

教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、

复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方.

学时安排：2学时

教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义

2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示

教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 教学难点：复数的辐角 教学方式：多媒体与板书相结合.

作业布置：P27思考题：1、2、3.习题一：1-9 板书设计：一、复数的模和辐角

二、复数的表示 三、复数的乘方与开方

参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版.

课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算

2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算

教学过程：

引言

复数的产生和复变函数理论的建立

1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转.

2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的.

3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的.

4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域.

5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.

第一章 复数与复变函数

§1.1 复数 (Complex number)

一、 复数的概念（The concept of complex） 1、称xiy为复数，其中x,yR，i1是虚数单位；通常记为zxiy；

2、x和y分别称为z的实部和虚部，分别记作xRez，

yImz；

3、纯虚数：若x0,y0,称zxiy(x,yR)为纯虚数；当Imz0，那么zxiy称为虚数；当Imz0时，那么zx就是一个实数；

4、两个复数相等：复数z1x1iy1和z2x2iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等.

5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数.记z的共轭复数为z.设复数zxiy，则称xiy为复数z的共轭复数（Conjugate），记作zxiy

注1：两个虚数之间不能比较大小.

例如，设i0，则ii0i，即10，矛盾. 注2：00i0

二、复数的四则运算（Complex number arithmetic） 设z1a1ib1 z2a2ib2 则

z1z2(a1ib1)(a2ib2)(a1a2)i(b1b2)z1z2(a1ib1)(a2ib2)(a1a2b1b2)i(a1b2a2b1)

z1(a1ib1)a1a2b1b2a2b1a1b2)i（z20） 2222z2(a2ib2)a2b2a2b2容易验证下列公式：

z1z1(1) z1z2z1z2， (2) z1z2z1z2， (3) ()z20，

z2z2(4) zz2Re(z),zz2iIm(z)，

zzx2y2(Rez)2(Imz)2，

(5) Rezzzzz, Imz，(6) zz. 22i显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律. 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C. 三、复平面（Complex plane）

作映射：CR2:zxiy(x,y)，则在复数集与平面R2之间建立了一个1-1对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表示实数，X轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y轴称为虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面（Complex plane）或Z平面.

注3 复平面一般称为z-平面，w-平面等.

§1.2 复数的三角表示

(The representation of complex number)

一、复数的模和辐角（Complex modulus and Argument） 如图: 复数zxiy用向量op来表示.向量的长度称为复数zxiy的模，记作：|z|x2y2；

向量与正实轴之间的夹角称为复数zxiy的辐角（Argument），记作：Argz.

y zry P(x,y)

 x o x

由于任意非零复数有无限多个辐角，用argz表示符合条件

argz的一个角，称为复数zxiy主辐角（Main Argument）.即Argz的主值，于是

Argzargz2kk0,1,2,

2此时有zzArgzArgz. zzz

2y） x2注4 当z0时辐角无意义.

当z0时，有如下关系（argz，

arctanyarctan,当x0,y0;x

,当x0,y0;2arctany,当x0,y0;xargzz0arctany,当x0,y0;

例1 求Arg(2i)及Arg(-34i) 解

Arg(22i)arg(22i)2karctan其中yarctan2x2422k22k(k0,1,2,)Arg(34i)arg(34i)2karctan42k34(2k1)arctan3(k0,1,2,)二、复数模的三角不等式（Plural triangle inequality） 关于两个复数z1与z2的和与差的模，有下列不等式： （1）|z1z2||z1||z2|；（2）|z1z2|||z1||z2||； （3）|z1z2||z1||z2|；（4）|z1z2|||z1||z2||； （5）|Rez||z|,|Imz||z|；（6）|z|2zz. 例2 设z1，z2是两个复数，求证：

|z1z2|2|z1|2|z2|22Re(z1z2),

证明 z1z2z1z2z1z2

2

z1z2z1z2z2z1z1z2z1z2z1z2z1z22Rez1z2222222

三、复数的三角表示（Representation of complex numbers） 1、复数的点表示（Plural Point）

复数zxiy对应有序实数对x,y，另一方面，在 平面直角坐标系中点Px,y也对应有序实数对x,y，因此复数zxiy可用点Px,y来表示.复数z与点z同义

2、复数的向量表示（Complex vector that）

我们已经知道复数zxiy等同于平面中的向量op，所以，复数zxiy可用向量op来表示，

3、复数的三角表示（Complex triangle that） 设z0的复数，复数z的模为r，是复数z的任意一个辐角，则

zr(cosisin),

上式右端称为复数z的三角表示.

注5：一个复数的三角表示不是唯一的 例3 写出复数1i的三角表示 解 因为1i2arg1i4，所以

1i2cosisin

44也可以表示为

991i2cosisin

44 例4 设zrcosisin求复数

解 因为

1z2,zz1的三角表示 zzr,zrcosisin，所以

111cosisincosisin zrr 4、复数的指数表示（Said plural index） 由欧拉公式ecosisin，可得复数

izr(cosisin)的指数表示zre

例5 将复数

i1cosisin 化为指数式

0 

解 1cosisin2sin22isincos2222sinsinicos2222sin2sin2cosisin22222e22四、用复数的三角表示作乘除法（With the complex triangle

that make multiplication and division）

利用复数的三角表示，我们表示复数的乘法与除法：设z1，

z2是两个非零复数，则有

z1|z1|(cos1isin1) z2|z2|(cos2isin2)

则有

z1z2|z1||z2|[cos(12)isin(12)]

有|z1z2||z1||z2|，Arg(z1z2)Argz1Argz2，后一个式子应理解为集合相等.

同理，对除法有

z1z1[cos(12)isin(12)] z2z2即|z1z1z1Arg()Argz1Argz2，后一个式子也应理，|z2z2z2解为集合相等.

五、复数的乘方与开方（Involution and evolution of complex numbers）

1、复数的乘方（A power complex） 设复数zrcosisin，则对正整数n

znrncosnisinn （1） 当r1时，即

cosisinncosnisinn （2）

（2）式称为棣莫弗（De Moivre）公式

2、复数的开方（Evolution of complex numbers） 开方是乘方的逆运算，设wnz，则称复数w为复数z的zn次方根.记作

wznz （z0）

令zrcosisin wcosisin 于是就有

1nncosisinnrcosisin

由此推出 r,故得

1n12knk0,1,2,

11wzn|z|[cos(2k)isin(2k)]

nnk0,1,2, （3）

1n当k0,1,2,.n1时，w有n个互不相同的值.（3）可写成

11wzn|z|[cos(2k)isin(2k)]

nn k0,1,2,,n1 （4） 例6 求4(1i)的所有值

解：由于1i2(cosisin)，所以有

4441n11(1i)82[cos(2k)isin(2k)]

44444kk(1i)82[cos()isin()]162162k0,1,2,3.

2例7 解方程z3iz(3i)0

解z23iz(3i)03i94(3i)3i(2i)

2211z1(22i)1i,z2(24i)12i22z内容小结

1、复数的概念（zxiy） 2、复数的四则运算 3、复平面 4、复数的模和辐角

|z|x2y2Argzargz2kk0,1,2,5、复数的三角不等式

6、复数的表示法（代数表示、三角表示、指数表示） 7、复数的乘方与开方

nnzzznrncosnisinnnArgznArgzwzn|z|[cos(1n12k)isin(12k)]nnk0,1,2,

2 1

§1.3 平面点集的一般概念 §1.4复球面与无穷大

§1.5 复变函数

开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连续函数的性质.

1、了解复平面上点集的一般概念 2、理解复球面与复平面的关系 3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念 4、理解复变函数的极限与连续性的概念

复变函数的概念、极限与连续

无穷大与复球面

讲授法 多媒体与板书相结合

P28习题一：10-16

一、复球面与无穷大

二、复变函数的概念、极限与连续 三、有界闭区域E上连续函数的性质

[1] 《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. [2] 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.

1、基本掌握复变函数的极限运算

2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念 3、基本理解复球面与复平面的关系

第二讲

授课题目：§1.3 平面点集的一般概念

§1.4复球面与无穷大 §1.5 复变函数

教学内容：开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、

复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连续函数的性质.

学时安排：2学时

教学目标：1、了解复平面上点集的一般概念

2、理解复球面与复平面的关系

3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念 4、理解复变函数的极限与连续性的概念

教学重点：复变函数的概念、极限与连续 教学难点：无穷大与复球面 教学方式：多媒体与板书相结合 作业布置：P28习题一：10-16 板书设计：一、复球面与无穷大

二、复变函数的概念、极限与连续 三、有界闭区域E上连续函数的性质

参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育

出版社.

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版.

课后记事：1、基本掌握复变函数的极限运算

2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念 3、基本理解复球面与复平面的关系

教学过程：

§1.3 复平面上点集的一般概念

(Elementary conception of point set in complex plane)

一、开集与闭集（Open set and closed set）

设 z0C,0，点集

{z| |zz0|,zC},

称为点z0的邻域，记作U(z0,)

注1：U(a,r){z| |zz0|,zC},设GC,z0C，

(1)若0，使得U(z0,)G，则称z0为G的内点（Interior point）；

(2)若0,U(z0,)G中既有属于G的点，又有不属于； G的点，则称z0为G的边界点（Boundary points）

集G的全部边界点所组成的集合称为G的边界（Border），记为G；

(3)若0，使得U(z0,)G{z0}，则称z0为G的孤立点（Outlier）；

注2：G的孤立点（Outlier）一定是G的边界点（Boundary points）

如果G的所有点都是它的内点，那么称G为开集； 如果0，使得GU(0,), 则称G是有界集（Bounded set），否则称G是无界集；

例1 圆盘U(z0,)是有界开集；

例2 集合G{z||zz0|r}是以z0为心，半径为r的圆周，

G是圆盘U(z0,r)和闭圆盘U(z0,r)的边界.

例3 复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集. 例4 点集G{z|0|zz0|}是去掉圆心的圆盘.圆心z0是点集G的边界点.它是G的孤立点，

二、区域（Region）

复平面C上的点集D是一个区域，如果满足： （1）D是开集；

（2）D是连通的，即D中任意两点可以用完全属于D的折线连起来.

换句话说：区域就是连通的开集

区域D内及其边界上全部点所组成的点集称为闭区域（Closed area）.记作G

例5 点集G{z|2Rez3}为一个垂直带形，它是一个连通的无界区域，其边界为直线Rez2及Rez3.

例6 点集G{z|2arg(zi)3}为一角形区域，它是一个连通无界区域，其边界为半射线

arg(zi)2及arg(zi)3.

三、平面曲线（Plane curve）

设zz(t)xtiyt,(atb)如果xtRez(t)和

ytImz(t)都在闭区间[a,b]上连续，则称点集{z(t)|t[a,b]}为一条连续曲线（Continuous curve）.

如果对[a,b]上任意不同两点t1及t2，但不同时是[a,b]的端

点，我们有z(t1)z(t2)，那么上述点集称为一条简单连续曲线（Simple continuous closed curve），或约当曲线（Jordan curve）.若还有z(a)z(b)，则称为一条简单连续闭曲线（Simple continuous closed curve），或约当闭曲线（Jordan closed curve）.

约当定理（Jordan Theorem）：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为该区域的内部，一个无界的称为该区域的外部.他们都是以该闭曲线为边界.

光滑曲线（Smooth curve）：如果xtRez(t)和

ytImz(t)都在闭区间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在

[a,b]上，z'(t)xtiyt0，则称集合{z(t)|t[a,b]}为一

条光滑曲线（Smooth curve）；类似地，可以定义分段光滑曲线. 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线.

设D为复平面上的区域，若在D内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D，则称D为单连通区域（Simply connected region）.否则，称为多连通区域（Multi-connected region）

例7 集合{z|2|zi|3}为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆|zi|2及|zi|2.

§1.4复球面与无穷大

1、复球面 （Complex sphere）

在点坐标是(x,y,u) 的三维空间中，把XOY面看作就是z平面.考虑单位球面S：x2y2u21

取定球面在原点O（南极）与z平面相切，过原点O作一垂直于z平面的直线与球面交于一点N(0,0,1)称为北极.作连接

N(0,0,1)与z平面上的点Ax,y,0 的直线, 即复平面上的点Ax,y,0都对应球面上的点.反过来也成立.那么N(0,0,1)与复

平面上的哪一点对应？

约定: 在复平面上有一个理想的点, 称之为无穷远点, 其投影为

N(0,0,1). （下图形是错的）

uN(0,0,1)A'(x',y',u')A(x,y,0)yxOS(0,0,1) 2、无穷大（Infinity）

我们称上面的映射为球极投影.对应于球极投影为N，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，称C{}为扩充复平面（Extended complex plane），记为C，与它对应的球面称为复球面（Complex sphere）；.

关于新“数” 无穷大（Infinity），作如下几点规定

（1） 其实部、虚部、辐角无意义，模等于； （2） 基本运算为（a为有限复数）：

aa； aa (a0)；

(a). a（3） 复平面上的每一条直线都通过点，同时，没有一个半

平面包含点.

注：扩充复平面上无穷远点的邻域，

包括无穷远点自身在内且满足zM0的所有点的集合

a0(a); z:zM 称为无穷远点的邻域.

不包括无穷远点自身在内且满足zM0的所有点的集合z:zM 称为无穷远点的去心邻域

§1.5复变函数 (Complex analysis)

一、复变函数的概念（The concept of complex function） 设在复平面C上以给点集G.zxiyG，如果存在一个对应法则f，都有唯一wuivC与它对应，则称f是定义在G上的一个单值复变数函数，简称为复变函数，记为

wf(z).不是单值复变数函数的复变数函数称为多值复变数函数.点集G称为复变数函数wf(z)的定义域，所有函数值全体称为复变数函数wf(z)的值域.记作D

注：一个复变函数等价于两个实变量的实值函数：

若zxiy，wRef(z)iImf(z)u(x,y)iv(x,y)，则wf(z)等价于两个二元实变函数uu(x,y)和vv(x,y).

复变函数wf(z)也称为从G到D上的一个映射或映照.把集合G表示在一个复平面上，称为z-平面；把相应的函数值

wf(z)表示在另一个复平面上，称为w-平面.

我们称映射wf(z)把任意的z0G映射成为

w0f(z0)D，

称w0及A分别为z0和G的象，而称z0和G分别为w0及D的原象.

 例8 已知f(z)x111iy122xyxy22将f(z)表示成z的函数. 解

设zxiy,则x11(zz),y(zz)22if(z)z1.z 二、复变函数的极限与连续

（Limits and continuity of Complex functions ） 1. 复变函数的极限

定义（Definition）1.1 设函数wf(z)在点z0的去心邻域z:0|zz0|内有定义，A是一个确定的复常数A.

如果任给0，总存在正数()0，对任意z：

0|zz0|，有

|f(z)A|，

则称A为函数f(z)当z趋于z0时的极限（limits），记作：

zz0limf(z)A或f(z)A(当zz0).

2. 复变函数极限的四则运算法则 类似于实函数极限的性质，有

设 limf(z)A limg(z)B, 则

zz0zz0（1）limf(z)gzAB

zz0（2）limf(z)gzAB

zz0 (3) limzz0fzAgzBB0.

定理（Theorem） 1.1设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点集

G上有定义，z0x0iy0，Aaib则limfzAaib的

zz0(zG充要条件是

(x,y)(x0,y0)0(x,y0)Glimu(x,y)a

(x,y)(x0,y0)0(x,y0)Glimv(x,y)b.

证明（略）

复变函数的极限可归结为实函数极限的计算. 3. 复变函数的连续性

定义（Definition）1.2设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点集G上有定义，z0G，如果

limf(z)f(z0)

zz0成立，则称f(z)在z0处连续；如果f(z)在G中每一点连续，则称f(z)在G上连续.

定理（Theorem）1.2函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点

z0x0iy0处连续的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在点x0,y0处

连续.

即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性.

连续函数的性质：

(1) 连续函数的四则运算仍然连续 (2) 连续函数的复合函数仍然连续 (3) 连续函数的模也连续

一致连续性（Uniform Continuity）

设函数wf(z)在集合D上确定，如果任给0，可以找到一个仅与有关的正数()0，使得当z',z''D，并且

|z'z''|时，

|f(z')f(z'')|，

则称函数f(z)在D上一致连续（Uniform Continuity）.

有界闭区域D上连续函数的性质

1．设函数f(z)在有界闭区域D上连续，那么它在D上有界，即|f(z)|[u(x,y)]2[v(x,y)]2在集D上有界.

2. 设函数f(z)在有界闭区域D上连续，那么其模fz在

D 上达到它的最大值和最小值各一次.

3. 设函数f(z)在有界闭区域D上连续，那么它在D上一致连续.

例9 求证：f(z)argz(z0)在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续.

证明： 设z0为全平面除去原点和负实轴的区域上任意一点.考虑充分小的正数,使角形区域argz0argz0与负实轴不相交,从图上立即可以看出,以z0为中心,z0到射线

argz0的距离为半径所作的圆盘,一定落在上述角形区域内，这就是说,只要取0z0sin.那么当zz0时就有

argzargz0.因此argz在z0为连续.再由z0的任意性,知

f(z)argz在所述区域内为连续.

设x1是负实轴上任意一点,则

limargz 及 limargz

zx1Imz0zx1Imz0故argz在负实轴上为不连续. （如下图）

内容小结

1、开集与闭集、区域、平面曲线 2、复球面 3、复变函数的概念

4、复变函数的极限与连续、一致连续性 5、有界闭区域上连续函数的性质 有界性、最大值与最小值、一致连续性