高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：6个解答题专项强化练（一）　三角函数与解三角形-含解析

6个解答题专项强化练(一) 三角函数与解三角形

π

0，，且m⊥n. 1．已知向量m＝(cos α，－1)，n＝(2，sin α)，其中α∈2(1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝

π10

0，，求角β的值． ，且β∈210

解：法一：(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，即sin α＝2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，1

得cos2α＝，

5

π0，， 又α∈2所以cos α＝

525

，sin α＝， 55

所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝

52－252＝－3. 555ππππ

0，，β∈0，，得α－β∈－，. (2)由α∈2222因为sin(α－β)＝

10310，所以cos(α－β)＝. 1010

所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝

253105102

×－×＝. 5105102

ππ

0，，所以β＝. 因为β∈24

法二：(1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2, 故

cos 2α＝cos2α－sin2α＝

cos2α－sin2α1－tan2α1－43

＝＝＝－. 2225cosα＋sinα1＋tanα1＋4

(2)由(1)知，2cos α－sin α＝0, π

0，， 且sin2α＋cos2α＝1，α∈2所以sin α＝

255

，cos α＝， 55

ππππ0，，β∈0，，得α－β∈－，. 由α∈2222因为sin(α－β)＝

10310，所以cos(α－β)＝. 1010

所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

1 / 5

531025102×＋×＝. 5105102

＝

ππ

0，，所以β＝. 因为β∈243

2．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.

7(1)求sin C的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

3

解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，

7所以由正弦定理得sin C＝

csin A3333

＝×＝. a7214

3

(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.

7由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 1

得72＝b2＋32－2b×3×，

2解得b＝8或b＝－5(舍去)．

113

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝63.

2223．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sin xcos x(x∈R)． 2π

(1)求f3的值；

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－3sin 2x ＝－2

3sin 2x＋1cos 2x＝－2sin2x＋π，

622

2π4π＋π＝－2sin 3π＝2. 故f＝－2sin3362π

2x＋. (2)由(1)知f(x)＝－2sin6则f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质：

ππ3π

令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 262π2π

解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

63

π2π

＋kπ，＋kπ(k∈Z)． 所以f(x)的单调递增区间是36

4．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2.

2 / 5

(1)若AD⊥BC，求∠BAC的大小； π

(2)若∠ABC＝，求△ADC的面积．

4解：(1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β.

因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2， 11

所以tan α＝，tan β＝，

23所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝11

＋23＝＝1.

111－×23又∠BAC∈(0，π)， π

所以∠BAC＝.

4

π

(2)设∠BAD＝α.在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3.

4由正弦定理得

ADBD2

＝，解得sin α＝. πsin α4sin4

tan α＋tan β

1－tan αtan β

因为AD＞BD，

所以α为锐角，从而cos α＝1－sin2α＝

14. 4

πππ22141＋7α＋＝sin αcos＋cos αsin＝×＋因此sin∠ADC＝sin＝. 44424441＋731＋711

所以△ADC的面积S＝×AD×DC×sin∠ADC＝×6×2×＝.

2242πππ

ωx－＋sinωx－，其中0<ω<3.已知f＝0. 5．设函数f(x)＝sin626(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的π3ππ

－，上的最小值． 图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在444

ππ

ωx－＋sinωx－， 解：(1)因为f(x)＝sin62

3 / 5

31

sin ωx－cos ωx－cos ωx 22

所以f(x)＝＝

33

sin ωx－cos ωx 22

31＝3sin ωx－cos ωx

22π

ωx－. ＝3sin3π

因为f6＝0， ωππ

所以－＝kπ，k∈Z.

63故ω＝6k＋2，k∈Z. 又0<ω<3，所以ω＝2.

π2x－， (2)由(1)得f(x)＝3sin3

πππx＋－＝3sinx－. 所以g(x)＝3sin4312π3π

－，， 因为x∈44所以x－

ππ2π∈－，， 1233

πππ3当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－. 12342

6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量m＝(a，cos A)，向量n＝(cos C，c)，且m·n＝3bcos B.

(1)求cos B的值；

(2)若a，b，c成等比数列，求解：(1)因为m·n＝3bcos B， 所以acos C＋ccos A＝3bcos B.

由正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝3sin Bcos B， 所以sin(A＋C)＝3sin Bcos B， 所以sin B＝3sin Bcos B. 因为B是△ABC的内角， 所以sin B≠0， 1所以cos B＝.

3

(2)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.

11＋的值． tan Atan C

4 / 5

由正弦定理，得sin2B＝sin Asin C. 1

因为cos B＝，B是△ABC的内角，

3所以sin B＝所以＝＝

22. 3

cos Acos C11

＋＝＋ tan Atan Csin Asin C

cos Asin C＋sin Acos CsinA＋C

＝

sin Asin Csin Asin Csin Bsin B132

＝2＝＝.

sin Asin CsinBsin B4

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