浅谈数学方在数学教学中的应用

研究生作业（论文）专用封面

作业（论文）题目： 浅谈数学思想方法在数学教学中的应用 课程名称： 数学方 任课教师姓名： 张洪林 研究生姓名： 张 超 学 号： 4201220000316 年 级： 2012级 专 业： 学科教学（数学） 学院（部、所）： 数学与计算机学院 任课教师评分：

评阅意见： 任课教师签名： 年 月 日

浅谈数学思想方法在数学教学中的应用

张超

摘要：数学思想方法是数学学习的灵魂，在数学教学中具有重要的意义。数学思想方法给教师在实际的数学教学中提供了思想理论的指导，通过介绍几种数学思想方法，来指出这些方法在高中数学教学中学生掌握这些方法对提高数学解题能力和学好数学的的重要性。 关键字：数学思想方法 数学教学 高中数学

数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就要求对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握。我国著名数学家、数学方的倡导者和带头人徐利治教授对这门新学科下了一个比较确切的定义：数学方主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。所谓数学的思想不仅是对数学知识本质的认识，而且是在理性层次上对数学规律的总结和认识。

数学思想方法是数学的精髓，它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中，不仅是对数学事实与数学概念、定理、公式、法则等一些理论的本质认识，而且是形成学生的良好的认知结构的纽带，正确地运用数学思想方法能很好地培养学生分析问题和解决问题的能力，能很好地体现数学学科的特点，有利于学生形成良好的数学素养。在现阶段我国中学数学教育中，数学方给教师在数学教学中提供了实际的理论指导，通过对它的学习有利于教师更好地以数学思维方法去带动学生的数学思维和学习，促进学生数学学习，提高教学效率。

在数学学习中，由于跟以前初中数学学习相比，高中数学的难度显得相对较大，学生对题目的理解不深，一些学生基础知识相对薄弱，即使做了大量的题目成绩还是始终不理想，甚至到了“谈数色变”的地步。对于高中学生来说学好数学并不是一朝一夕的事情，因此掌握好数学方思想对学生学好数学有着积极的指导意义。

一、 化归思想

化归方法是数学解决问题的一般方法，是被广泛使用着的一种用来研究数学问题，解决数学问题的重要方法，是中学数学基本思想方法之一。化归要遵循和谐化原则、简单化原则、直观化原则、特殊化原则等。化归方法在数学教学中的应用主要有化未知为已知，化数为形，化实际问题为数学问题等三个方面。利用化归方法学习新知识，利用化归方法原则理清知识结构,利用化归方法指导解题。

化归的本质就是采用迂回曲折的途径而达到从未知到已知、从难到易、从复杂到简单的转化。中学数学教材中几乎处处贯穿着化归与转化思想,如未知向已知转化；特殊向一般转

化；复杂向简单转化；高次向低次转化；多元向一元转化等等,都是化归与转化思想的体现。

例1：解方程：6x425x312x225x60

111解：将原方程变形为6x25x240令xy，将其转化为一元二

xxx次方程6y25y240去求解。

分析：有些方程未知数在根号里面,这类根号下含有未知数的方程,叫做无理方程。解无理方程,就是将方程两边同时平方或利用换元法,把无理方程化为有理方程来求解的。

例2：求证fnn3n2n6,nz能被6整除

3222解：原式可变形为fnnn1n26，表明fn是三个连续整数之积与6的和。因而本题可转化为问题(1):三个连续整数之积能被6整除。如果我们对问题(1)的证明方法已经掌握那么原问题便可由此获证:如果我们对问题(1)的证法仍未知那么由于

623而2与3又互质，因而问题(1)又可转化为问题(2):三个连续整数之积既能被2整

除又能被3整除从而原问题得解。

分析：以上两个例题及求解过程并不相同，但其思考方法都是通过转化或再转化，将待解决的问题归结为一个已经解决的问题，或者归结为一个较易解决的问题，甚至为人们所熟知的常识问题.最终使原问题得解这种将未知转化为已知的方法称之为化归方法。化归的数学思想方法在学生的学习中有着重要的作用，教师在教学中应注重培养学生化归的能力，这样不仅能帮助他们理解和掌握新知识，提高他们的解题能力，还有利于提高学生数学思维能力。

二、 函数与方程思想

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，是中学数学解题常用的一种思想方法。高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。

22例1.（1）已知关于x的方程x2cosxa0有唯一解，求a的值；

（2）解不等式x(1x22)(x1)(1(x1)22)0。

22分析：（1）构造函数f(x)x2cosxa，则问题转化为求f(x)的零点唯一时的

a。

（2）由观察可构造函数f(x)x(122x22)再利用函数的性质，解决问题。

解：（1）令f(x)x2cosxa，xRf(x)f(x),f(x)是偶函数。

f(x)的图像关于y轴对称，而题设方程f(x)0由唯一解，从而此解必为x0（否则

2必有另一解），f(0)02a0,解得a2。

（2）设f(x)x(1x22),xR，易证f(x)在区间0,内为增函数。

f(x)x(1x22)f(x).f(x)是奇函数，从而f(x)在区间（，）上为增函数，1原不等式可化为f(x)f(x1)0,即f(x1)f(x)f(x),即x1x,x2 分析：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。

例2.已知不定式

11117log2(a1)对一切大于1的自然数nn1n22n1212都成立，求实数a的取值范围。

分析：

111无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的nn22n思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。

解：令f(n)111(nN且n2),当n2时，有 nn22n11110， 2n12n2n12(n1)(2n1)f(n1)f(n)所以f(n1)f(n),f(n)为增函数，且f(n)minf(2)由题意得

7, 12717log2(a1),log2(a1)0,解得1a2。 121212分析：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出f(n)的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。

例3.关于x的方程9(4a)340恒有解，求a的取值范围。 分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。 解：（法一）设3t,则t0.原方程有解即方程t(4a)t40有正根，

x2xx0(4a)2160,a0或a8,x1x2(4a)0即，

a4a4,xx40,12解得a8.

（方法二）设f(t)t(4a)t4, ① 当

20时，即(4a)2160,a0或a8.

a0时,f(t)(t2)20,得t20,不符合题意； a8时,f(t)(t2)20,得t20,符合题意。a8

②

0,即a8,或a0时f(0)4,故只需对称轴综上可得，a8。

4a0,即a4.a8 2分析：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。

例4.已知抛物线y(m1)x(m2)x1(mR) ⑴ 当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

⑵若关于x的方程(m1)x(m2)x10的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围；

⑶如果抛物线与x轴相交于A,B两点，与y轴交于C点，且ABC的面积等于2，试确定m的值。

分析：⑴令函数y0，则转化为求方程有两个不等的实根时m的值； ⑵ 利用根与系数的关系转化成解不等式；

⑶ 建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解。

解：⑴令y0,则(m1)x(m2)x10,据题意，须m1,且0， 即(m2)4(m1)0,m0,m1且m0。

⑵在m0,1的条件下，x1x22222211m21m2, ,x1x2,得xx1m1m121x121x22(m2)22(m1)2,得m22m0,0m2.

所以m的取值范围是m|0m1或1m2

⑷ 由

11m44x1x2yc2,得12得m4m1,解得m或。 22m1352分析：yaxbxc型的抛物线，二次方程以及二次不等式之间相互关联，应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。

三、数学模型思想

所谓的数学模型，就是用数学的语言和方法对各种实际对象作出抽象或模仿而形成的一种数学结构。通过建立数学模型，将考察的实际问题化为数学问题，构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究和解答，使原来的实际问题得以解决，这种解决问题的方法叫做数学模型的方法。建立数学模型的思想方法在职高的数学教学当中有着广泛的应用，也是在解题时要求学生掌握的一种数学思想方法。

例：2002年底某城市人口约有100万，人均住房面积为8平方米，计划2006年底要使人均住房面积达到10平方米，如果该市将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市每年平均至少要增加多少面积的住房？（结果以万平方米为单位，保留2位小数）

分析：根据题目的问题“这四年每年平均至少要增加的住房面积”及条件“每年人口平均增长率控制在1%”，可以看出这是一个等差数列和等比数列的问题。根据题意，模型假设和建立相应的模型，一个以2002年年底这个城市有的住房面积为首项，每年平均要增加的住房面积为公差的等差数列；一个是以100万人为首项，1.01为公比的等比数列，两者之间存在着不等式的关系。

解：由题意，设该城市每年至少增加的住房面积为d万平方米，从2002年起这个城市每年年底的住房面积组成一个以800万平方米为首项，d为公差的等差数列{an}，每年年底人口数组成一个以100万为首项，1.01为公比的等比数列{bn}。

建立模型：因为a5=800+4d，b5=100×1.014，所以800+4d≥100×1.014×10， 模型求解：解得 d≥60.15（万平方米）

答：该城市每年平均至少新增住房60.15万平方米。

分析：通过对模型的计算结果60.15万平方米进行分析检验可以发现，这个数据在实际情况下是有可能实现的。在数学建模的思想下，问题很容易就得到了解决。

数学思想方法是数学科的灵魂，它反映在数学教学内容里面，体现在解决问题的过程之中，它是将知识转化为能力的桥梁。只有运用数学思想方法，才能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力。在高中数学的教学中重视数学思想方法的渗透，可以深化学生

对基础知识的理解，进一步完善学生的知识结构，优化思维品质，提高学生分析问题，解决问题能力，提高学生的数学素养。

参考文献：

[1]王亚辉.数学方——问题解决的理论[M].北京:北京大学出版社,2007. [2]王子兴.数学方问题解决的理论[A].上海:中南大学出版社,1999,(9). [3]崔瑜.孙悦.化归方法在数学问题中的应用[J].解题技巧与方法,2009,(6).