数学专升本考试试题

一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选

项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．下列函数中，当x1时，与无穷小量(1x)相比是高阶无穷小的是（）

A．ln(3x)B．x32x2x C．cos(x1)D．x21 2．曲线y3x31在(1,)内是（） xA．处处单调减小B．处处单调增加 C．具有最大值D．具有最小值 3．设f(x)是可导函数，且limA．1B．0

f(x02h)f(x0)1，则f(x0)为（）

hx01 211x4．若f()，则f(x)dx为（）

0xx11A．B．1ln2

2C．2D．C．1D．ln2 5．设uxyz,u等于（） xA．zxyzB．xyz1 C．yz1D．yz

二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在

题中横线上。 6．设zexyyx2，则

zy(1,2)=．

7．设f(x)exlnx，则f(3)． 8．f(x)x1，则f()． 1xx9．设二重积分的积分区域D是1x2y24，则dxdy．

D1x)=．

x2x111．函数f(x)(exex)的极小值点为．

210．lim(1x2ax43，则a． 12．若limx1x113．曲线yarctanx在横坐标为1点处的切线方程为． 14．函数ysintdt在x0x22处的导数值为．

xsin2xdx． 15．11cos2x1三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。 16．（本题满分6分）

1 x0arctan 求函数f(x)的间断点． x x00 17．（本题满分6分）

计算limxx12x12x．

18．（本题满分6分）

1计算limlnarcsinx(1x)x．

x019．（本题满分6分）

1x x0设函数f(x)xe ，求f(x)．  1x0ln(1x) 20．（本题满分6分）

求函数ysin(xy)的二阶导数． 21．（本题满分6分）

求曲线f(x)x42x3的极值点．

22．（本题满分6分）

x3dx． 计算2x123．（本题满分6分）

若f(x)的一个原函数为xlnx，求xf(x)dx． 24．（本题满分6分）

已知k1，求常数k的值． dx1x22025．（本题满分6分）

求函数f(x,y)y3x26x12y5的极值． 26．（本题满分10分）

求(x2y)dxdy，其中D是由曲线yx2与xy2所围成的平面区域．

D27．（本题满分10分）

设f(x)xf(x)dx，且常数a1，求证：02aa0a3f(x)dx．

3(a1)28．（本题满分10分）

求函数y数的图形．

参

一、选择题

1．B2．B3．D4．D5．D 二、填空题

lnx的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函x16．2e217．e3

318．9．3

x110．e11．x0

112．513．y(x1)

4214．sin122415．0

三、解答题

16．解这是一个分段函数，f(x)在点x0的左极限和右极限都存在． 故当x0时，f(x)的极限不存在，点x0是f(x)的第一类间断点．

17．解原式=limxx12x121limxx11212xx． 2122x2118．解设f(x)arcsinx(1x)x．

由于x0是初等函数lnf(x)的可去间断点，

故limx0lnf(x)lnlim1xx0f(x)lnlimx0arcsinx(1x) ln(0e)lne1．

19．解首先在x0时，分别求出函数各表达式的导数，即111当x0时，f(x)(xe1x)exxex11x2ex(1x)当1x0时，f(x)ln(x1)1x1．

然后分别求出在x0处函数的左导数和右导数，即

从而f (0)f (0)，函数在x0处不可导． e1x(11) 所以f(x)x x01 x1 x020．解ysin(xy)

ycos(xy)(1y)cos(xy)ycos(xy)① sin(xy)(1y)2y1cos(xy)②

又由①解得ycos(xy)1cos(xy)

cos(xy)cos(xy)11cos(xy) 代入②得y1cos(xy)2321．解先出求f(x)的一阶导数：f(x)4x36x24x2(x)

233令f(x)0即4x2(x)0解得驻点为x10,x2．

22再求出f(x)的二阶导数f(x)12x212x12x(x1)．

33327时，f()90，故f()是极小值． 222163当x10时，f(0)0，在(,0)内，f(x)0，在(0,)内f(x)0

2当x2故x10不是极值点．

总之曲线f(x)x42x2只有极小值点x3． 2x3x3xxx(x21)xxx22．解2 x1x21x21x2123．解由题设知f(x)(xlnx)lnxx(lnx)lnx1 故xf(x)dxx(lnx1)dx

121xlnxx2C． 24000k1124．解dxkdxklimdx 1x21x2aa1x20k1又 dx1x2211故k解得k．

2225．解ff2x6,3y212 xy2x60解方程组2得驻点A0(3,2),B0(3,2)

3y120xx2,Bf xy0,Cf yy6y 又Af 对于驻点A0:A2,B0,C6yx312，故B2AC240

y2驻点A0不是极值点．

对于驻点B0:A2,B0,C6yx312

y2故B2AC240，又A20．

 函数f(x,y)在B0(3,2)点取得极大值

26．解由yx2与xy2得两曲线的交点为O(0,0)与A(1,1)

xy2(y0)的反函数为yx．

aaa27．证f(x)dxx2f(x)dxdx

000于是a0a3f(x)dx．

3(a1)28．解（1）先求函数的定义域为(0,)． （2）求y和驻点：y1lnx，令y0得驻点xe． 2x（3）由y的符号确定函数的单调增减区间及极值． 当0xe时，y1lnx0，所以y单调增加； x2当xe时，y0，所以y单调减少．

1由极值的第一充分条件可知yxe为极大值．

e（4）求y并确定y的符号：

2lnx3，令y0得xe2． y3x3当0xe时，y0，曲线y为凸的； 当xe时，y0，曲线y为凹的．

32根据拐点的充分条件可知点(e,e)为拐点．

23233232这里的y和y的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。 另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：

＋ 0 － － － 0 － ＋ 就表上所给的y和y符号，可得到：

lnx的单调增加区间为(0,e)； xlnx函数y的单调减少区间为(e,)；

xlnx1函数y的极大值为y(e)；

xe函数ylnx函数y的凸区间为(0,e2)；

xlnx函数y的凹区间为(e2,)；

x3lnx函数y的拐点为(e2,e2)．

2x3333lnxlnx0，lim

xxx0xlnx所以曲线y有

x（5）因为lim水平渐近线y0 铅垂渐近线x0

（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．