数学专升本考试试题

一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选

项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．下列函数中，当x1时，与无穷小量(1x)相比是高阶无穷小的是（ ）

A．ln(3x) B．x32x2x C．cos(x1) D．x21 2．曲线y3x31在(1,)内是（ ） xA．处处单调减小 B．处处单调增加 C．具有最大值 D．具有最小值 3．设f(x)是可导函数，且limf(x02h)f(x0)1，则f(x0)为（ ）

hx0A．1 B．0 C．2 D．

1 211x4．若f()，则f(x)dx为（ ）

0xx11A． B．1ln2

2C．1 D．ln2 5．设uxyz,u等于（ ） xA．zxyz B．xyz1 C．yz1 D．yz

二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在

题中横线上。 6．设zexyyx2，则

zy(1,2)= ．

7．设f(x)exlnx，则f(3) ． 8．f(x)x1，则f() ． 1xx9．设二重积分的积分区域D是1x2y24，则dxdy ．

D1x)= ．

x2x111．函数f(x)(exex)的极小值点为 ．

210．lim(1x2ax43，则a ． 12．若limx1x113．曲线yarctanx在横坐标为1点处的切线方程为 ． 14．函数ysintdt在x01x22处的导数值为 ．

xsin2xdx ． 15．11cos2x三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。 16．（本题满分6分）

1arctan x0求函数f(x)的间断点． x x00

17．（本题满分6分）

计算lim

18．（本题满分6分）

1x计算limlnarcsinx(1x)．

x0xx12x12x．

19．（本题满分6分）

1x x0设函数f(x)xe ，求f(x)．  1x0ln(1x)

20．（本题满分6分）

求函数ysin(xy)的二阶导数．

21．（本题满分6分）

求曲线f(x)x42x3的极值点．

22．（本题满分6分）

x3dx． 计算2x1

23．（本题满分6分）

若f(x)的一个原函数为xlnx，求xf(x)dx．

24．（本题满分6分）

已知

25．（本题满分6分）

求函数f(x,y)y3x26x12y5的极值．

26．（本题满分10分）

求(x2y)dxdy，其中D是由曲线yx2与xy2所围成的平面区域．

Dk1，求常数k的值． dx1x220

27．（本题满分10分）

设f(x)xf(x)dx，且常数a1，求证：02aa0a3f(x)dx．

3(a1)

28．（本题满分10分）

求函数ylnx的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形．

参

一、选择题

1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 二、填空题

16．2e21 7．e3

318． 9．3

x110．e12 11．x0

12．5 13．y14．sin三、解答题

41(x1) 224 15．0

16．解 这是一个分段函数，f(x)在点x0的左极限和右极限都存在．

1 limf(x)limarctan

x0x0x21 limf(x)limarctan

x0x0x2 limf(x)limf(x)

x0x0 故当x0时，f(x)的极限不存在，点x0是f(x)的第一类间断点．

17．解 原式=limxx12x121limxx11212xx． 21222x18．解 设f(x)arcsinx(1x)．

由于x0是初等函数lnf(x)的可去间断点，

1x 故 limlnf(x)lnlimf(x)lnlimarcsinx(1x)

x0x0x01 lnlimarcsinxlim(1x)x

x0x01x ln(0e)lne1．

19．解 首先在x0时，分别求出函数各表达式的导数，即 当x0时，f(x)(xe)e1x1xxe1x112ex(1)

xx11 当1x0时，f(x)ln(x1)．

x1 然后分别求出在x0处函数的左导数和右导数，即

(0)lim f x011 x11x1(0)lime(1)0 f x0x(0)f (0)，函数在x0处不可导． 从而f 11ex(1) x0x 所以f(x) 1 x0x120．解 ysin(xy)

ycos(xy)(1y)cos(xy)ycos(xy) ① ysin(xy)(1y)ycos(xy)ysin(xy)(1y) 1cos(xy)ysin(xy)(1y)2

sin(xy)(1y)2 y ②

1cos(xy) 又由①解得ycos(xy)

1cos(xy)2cos(xy)cos(xy)11cos(xy) 代入②得y1cos(xy) sin(xy) 31cos(xy)321．解 先出求f(x)的一阶导数：f(x)4x36x24x2(x)

233 令f(x)0 即4x2(x)0 解得驻点为x10,x2．

22 再求出f(x)的二阶导数f(x)12x212x12x(x1)．

33327时，f()90，故f()是极小值． 222163 当x10时，f(0)0，在(,0)内，f(x)0，在(0,)内f(x)0

当x2 22．解 23．解 24．解 2故 x10不是极值点．

总之 曲线f(x)x42x2只有极小值点x32．  x3x3xxx(x21)x21x21xx21xxx21  x3x21dx(xxxx21)dxxdxx21dx 122x212d(x1)x112x212ln(x21)C 由题设知f(x)(xlnx)lnxx(lnx)lnx1 故xf(x)dxx(lnx1)dx xlnxdxxdx

lnx112dx22x2

12lnxx2x2d(lnx)12x2

1lnxx212x21xdx12x22

12x2lnx12xdx12x2

12x2lnx14x2C．

 0k1x2dxk0101x2dxkalim1a1x2dx klimarctanx0aakalim(arctana)k2

k1 dx1x2211 故 k 解得k．

22 又 025．解 

ff2x6,3y212 xy2x60 解方程组得驻点A0(3,2),B0(3,2)

26．解

27．证 3y2120又 Af xx2,Bf xy0,Cf yy6y 对于驻点A0:A2,B0,C6y2xy312，故BAC2402 驻点A0不是极值点．

对于驻点B0:A2,B0,C6yx312

y2故 B2AC240，又A20．

 函数f(x,y)在B0(3,2)点取得极大值 f(3,2)(2)391824530

由yx2与xy2得两曲线的交点为O(0,0)与A(1,1) xy2(y0)的反函数为yx．

 (x2y)dxdy1x112x0dxx2(x2y)dy0(x2yD2y)x2dx

150(x21x)(x41x4)22dx7 (213337x24x210x5)10140 af(x)dxaa00x2f(x)dx0dx a2aa0xdx00f(x)dxdx 13x3aaa00f(x)dx0dx

aa3af(x)dx 03 f(x)dxa0aa0a3f(x)dx

3于是a0a3f(x)dx．

3(a1)28．解 （1）先求函数的定义域为(0,)． （2）求y和驻点：y1lnx，令y0得驻点xe． 2x （3）由y的符号确定函数的单调增减区间及极值． 当0xe时，y1lnx0，所以y单调增加； 2x 当xe时，y0，所以y单调减少．

1 由极值的第一充分条件可知yxe为极大值．

e （4）求y并确定y的符号：

2lnx3 y，令y0得xe2． 3x3 当0xe时，y0，曲线y为凸的； 当xe时，y0，曲线y为凹的．

3 根据拐点的充分条件可知点(e,e2)为拐点．

23233232这里的y和y的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。 另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：

x (0,e) e (e,e) 32e 32(e,) 32y y ＋ 0 － － － 0 － ＋ 就表上所给的y和y符号，可得到：

lnx的单调增加区间为(0,e)； xlnx 函数y的单调减少区间为(e,)；

xlnx1 函数y的极大值为y(e)；

xe 函数ylnx 函数y的凸区间为(0,e2)；

xlnx 函数y的凹区间为(e2,)；

x32lnx2 函数y的拐点为(e,e)．

2x3333lnxlnx0，lim

xxx0xlnx 所以曲线y有

x （5）因为lim 水平渐近线y0 铅垂渐近线x0

（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．