弦振动研究试验(教材)

弦振动研究试验 传统的教学实验多采用音叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。采用柔性或半柔性的弦线，能用眼睛观察到弦线的振动情况，一般听不到与振动对应的声音。

本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验容，由于采用了钢质弦线，所以能够听到振动产生的声音，从而可研究振动与声音的关系；不仅能做标准的弦振动实验，还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究，因为在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛观察是无法分辨的。结合示波器，更可深入研究弦线的非线性振动以与混沌现象。

[实验目的]

1. 了解波在弦上的传播与弦波形成的条件。

2. 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。 3. 测量弦线的线密度。 4. 测量弦振动时波的传播速度。

[实验原理]

紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力。移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。仔细调整，可使弦线形成明显的驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。

图 1

为了研究问题的方便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图1所示。

设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率一样、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。

下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终一样的点作坐标原点 “O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：

Y1＝Acos2(ft－x/ ) Y2＝Acos2(ft＋x/ )

式中A为简谐波的振幅，f为频率，为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：

Y1＋Y2＝2Acos2（x/ ）cos2ft ·①

由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2Acos2(x / ) |，只与质点的位置X有关，与时间无关。

由于波节处振幅为零，即｜cos2(x / ) |＝0

2x / ＝(2k+1) / 2 ( k=0.1. 2. 3. ·) 可得波节的位置为：

X＝（2K＋1） /4 ·② 而相邻两波节之间的距离为：

XK＋1－XK ＝[2（K＋1）＋1] /4－（2K＋1） / 4）＝ / 2·③ 又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos2(X / ) |=1

2X / ＝K ( K=0. 1. 2. 3. ·) 可得波腹的位置为：

X＝K/ 2＝ 2k / 4 ·④

这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波

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节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。

在本实验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，其数学表达式为：

L＝n / 2 ( n=1. 2. 3. ·)

由此可得沿弦线传播的横波波长为：

＝2L / n ·⑤

式中n为弦线上驻波的段数，即半波数，L为弦长。 根据波动理论，弦线横波的传播速度为：

V＝(T/ρ)

1/2

·⑥

TV即：

式中T为弦线中力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。

根据波速、频率与波长的普遍关系式V＝f，和⑤式可得横波波速为：

V＝2Lf/n ·⑦

如果已知力和频率f，则由⑥⑦式可得线密度为：

ρ=T(n/2Lf) ( n=1. 2. 3.·)·⑧ 如果已知线密度和频率f，则由⑧式可得力为：

T=ρ(2Lf/n)

2 2

2( n=1. 2. 3.·) ·⑨

如果已知线密度和力，则由⑧式可得频率f为：

·⑩

fTn2L以上的分析是根据经典物理学得到的，实际的弦振动的情况是复杂的。我们在实验中可以看到，接收波形很多时候并不是正弦波，或者带有变形，或者没有规律振动，或者带有不稳定性振动，这就要求我们引入更新的非线性科学的分析方法。可以参见有关的资料，例如参考文献１。

[乐理分析]

常见的音阶由7个基本的音组成，用唱名表示即：do，re，mi，fa，so，la，si，用7个音以与比它们高一个或几个八度的音、低一个或几个八度的音构成各种组合就成为各种乐器的“曲调”。每高一个八度的音的频率升高一倍。

振动的强弱（能量的大小）体现为声音的大小，不同物体的振动体现的声音音色是

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不同的，而振动的频率f则体现音调的高低。f = 261.6Hz的音在音乐里用字母c表示。其相应的音阶表示为：c，d，e，f，g，a，b，在将c音唱成“do”时定为c调。人声与器乐中最富有表现力的频率围约为60Hz~1000Hz。c调中7个基本音的频率，以“do”音的频率f = 261.6Hz为基准，按十二平均律*的分法，其它各音的频率为其倍数，其倍数值如表1所示：

表 1

音名 频率 倍数 频率 Hz 1

c d 122e 12412f 5g 127a 12912b 11c 1 2 2 2 2 2 22 523.261.6 293.7 329.6 349.2 392.0 440.0 493.9 2 *注：常用的音乐律制有五度相生律、纯律（自然律）和十二平均律三种，所对应的频率是不同的。五度相生律是根据纯五度定律的，因此在音的先后结合上自然协调，适用于单音音乐。纯律是根据自然三和弦来定律的，因此在和弦音的同时结合上纯正而和谐，适用于多声音乐。十二平均律是目前世界上最通用的律制，在音的先后结合和同时结合上都不是那么纯正自然，但由于它转调方便，在乐器的演奏和制造上有着许多优点，在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用。常见的乐器都是参照上述表格确定的值制造的，例如钢琴，竖琴，吉它等。

金属弦线形成驻波后，产生一定的振幅，从而发出对应频率的声音。如果将驱动频率设置为表1所定的值，由弦振动的理论可知，通过调节弦线的力或长度，形成驻波，就能听到与音阶对应的频率了（当然，这时候的环境噪音要小些）。这样做的特点是能产生准确的音调，有助于我们对音阶的判断和理解。

[实验仪器]

1. DH4618型弦振动研究实验仪 2. 双踪示波器

实验仪器由测试架和信号源组成，测试架的结构如图2所示。

2634 156 910 ３ / 11 Y1Y2781Kg

图 2

1—调节螺杆 2—圆柱螺母 3—驱动传感器 4—弦线 5—接收传感器 6—支撑板 7—力杆 8—砝码 9—信号源 10—示波器

[实验容]

一、实验前准备

1. 选择一条弦，将弦的带有铜圆柱的一端固定在力杆的U型槽中，把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。

2. 把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一端朝标尺，弯脚朝外，如图２；放置好驱动线圈和接收线圈，按图２连接好导线。

3. 挂上质量可选砝码到力杆上，然后旋动调节螺杆，使力杆水平（这样才能从挂的物块质量精确地确定弦的力），见图３。因为杠杆的原理，通过在不同位置悬挂质量已知的物块，从而获得成比例的、已知的力，该比例是由杠杆的尺寸决定的。如图3（a），挂质量为“M”的重物在力杆的挂钩槽3处，弦的拉紧度等于3M；如图3（b），挂质量为“M”的重物在力杆的挂钩槽4处，弦紧度为4M，……。

注意：由于力不同，弦线的伸长也不同，故需重新调节力杆的水平。

（a）力3M（b）力4M

图 3力大小的示意

二、实验容

1. 力、线密度和弦长一定，改变驱动频率，观察驻波现象和驻波波形，测量共振频率。

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1) 放置两个劈尖至合适的间距，例如60cm，装上一条弦。在力杠杆上挂上一定质量的砝码（注意，总质量还应加上挂钩的质量），旋动调节螺杆，使力杠杆处于水平状态，把驱动线圈放在离劈尖大约5~10cm处，把接收线圈放在弦的中心位置。提示：为了避免接收传感器和驱动传感器之间的电磁干扰，在实验过程中要保证两者之间的距离至少有10cm。

2) 驱动信号的频率调至最小，合适调节信号幅度，同时调节示波器的通道增益为10mV/格。

3) 慢慢升高驱动信号的频率，观察示波器接收到的波形的改变。注意：频率调节过程不能太快，因为弦线形成驻波需要一定的能量积累时间，太快则来不与形成驻波。如果不能观察到波形，则调大信号源的输出幅度；如果弦线的振幅太大，造成弦线敲击传感器，则应减小信号源输出幅度；适当调节示波器的通道增益，以观察到合适的波形大小。一般一个波腹时，信号源输出为2～3V(峰-峰值)，即可观察到明显的驻波波形，同时观察弦线，应当有明显的振幅。当弦的振动幅度最大时，示波器接收到的波形振幅最大，这时的频率就是共振频率。

4) 记下这个共振频率，以与线密度、弦长和力，弦线的波腹波节的位置和个数等参数。如果弦线只有一个波腹，这时的共振频率为最低，波节就是弦线的两个固定端（两个劈尖处）。

5) 再增加输出频率，连续找出几个共振频率（3~5个）并记录。注意，接收线圈如果位于波节处，则示波器上无法测量到波形，所以驱动线圈和接收线圈此时应适当移动位置，以观察到最大的波形幅度。当驻波的频率较高，弦线上形成几个波腹、波节时，弦线的振幅会较小，眼睛不易观察到。这时把接收线圈移向右边劈尖，再逐步向左移动，同时观察示波器（注意波形是如何变化的），找出并记下波腹和波节的个数，与每个波腹和波节的位置。

2. 力和线密度一定，改变弦长，测量共振频率。

1) 选择一根弦线和合适的力，放置两个劈尖至一定的间距，例如60cm，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

2) 记录相关的线密度，弦长，力，波腹数等参数。

3) 移动劈尖至不同的位置改变弦长，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的参数。

3. 弦长和线密度一定，改变力，测量共振频率和横波在弦上的传播速度。 1) 放置两个劈尖至合适的间距，例如60cm，选择一定的力，改变驱动频率，使弦

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线产生稳定的驻波。

2) 记录相关的线密度，弦长，力等参数。

3) 改变砝码的质量和挂钩的位置，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的参数。

4. 力和弦长一定，改变线密度，测量共振频率和弦线的线密度。

1) 放置两个劈尖至合适的间距，选择一定的力，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

2) 记录相关的弦长，力等参数。

3) 换用不同的弦线，改变驱动频率，使弦线产生同样波腹数的稳定驻波。记录相关的参数。

5. 聆听音阶高低与与频率的关系

1) 对照表1，选定一个频率，选择合适的力，通过移动劈尖的位置，改变弦长，在弦线上形成驻波，聆听声音的音调和音色。

2) 依次选择其他频率，聆听声音的变化。 3) 换用不同的弦线，重复以上步骤。 *6. 探究弦线的非线性振动

1) 设定一定的力、线密度、弦长和驱动频率，力不要过大，频率不宜过高，在示波器上观察到驻波波形。

2) 移动接收传感器的位置，注意驻波波形有无变化。 3) 移动接收传感器的位置，注意驻波频率有无变化。 [数据处理]

1. 力和弦长一定，测量弦线的共振频率和横波的传播速度。

根据公式10求得的共振频率计算值，与实验得到的共振频率相比较，分析这两者存在差异的原因。

弦长(cm) 力（kg.m/S） 线密度(kg/m) 频率计算值 波节位置 波腹波长 共振频率 fTn(cm) 数 (cm) （Hz）  2L2

波腹位置 （cm） 传播速度V=2Lf/n (m/s) ６ / 11

2. 力和线密度一定，改变弦长，测量弦线的共振频率和横波的传播速度

弦线长度（cm） 力（kg.m/S） 线密度(kg/m) 波腹位置 波节位置 波腹数 （cm） (cm) 2

波长 (cm) 共振频率 （Hz） 传播速度V=2Lf/n (m/s) 作弦长与共振频率的关系图

3. 弦长和线密度一定，改变力，测量弦线的共振频率和横波的传播速度

弦长(cm) 线密度(kg/m) 波腹位置 波节位置 波腹数 （cm） (cm) 波长 (cm) 共振频率 （Hz） 传播速度V=2Lf/n (m/s) 力（kg.m/S） 2 作力与共振频率的关系图。

根据 V算出波速，这一波速与Vf=2Lf/n（f是共振频率，是 波长）作比较，分析存在差别的原因。

作力与波速的关系图。

4. 弦长和力一定，改变线密度，测量弦线的共振频率和线密度。 已知弦线的静态线密度（由天平秤称出单位长度的弦线的质量）为： 弦线1：0.562g/m；弦线2：1.030g/m；弦线3：1.515g/m。

弦长(cm)力（kg.m/S） 弦线 波腹位置 （cm） 波节位置 (cm) 波腹数 波长 (cm) 共振频率 （Hz） 线密度2ρ=T(n/2Lf) (kg/m) 2

T弦线1（Ф0.3） 弦线2（Ф0.4） ７ / 11

弦线3（Ф0.5） 比较测量所得的线密度与上述静态线密度有无差别，试说明原因。

[注意事项]

1. 仪器应可靠放置，力挂钩应置于实验桌外侧，并注意不要让仪器滑落。 2. 弦线应可靠挂放，砝码的悬挂的取放应动作轻小，以免使弦线崩断而发生事故。

[思考题]

1. 通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？ 2. 换用不同弦线后，共振频率有何变化？存在什么关系？ 3. 如果弦线有弯曲或者不是均匀的，对共振频率和驻波有何影响？ 4. 一样的驻波频率时，不同的弦线产生的声音是否一样？ 5. 试用本实验的容阐述吉它的工作原理。

*6. 移动接收传感器至不同位置时，弦线的振动波形有何变化？是否依然为正弦波？试分析原因。

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附录1 DH4618型弦振动实验仪信号源使用说明

一、概述

在研究弦振动实验时，需要功率信号源对弦线进行激励驱动，使其产生驻波。本信号源可配合DH4618型弦振动研究实验仪进行弦振动实验。仪器的特点是输出阻抗低，激振信号不易失真，同时频率稳定性好，频率的调节细度和分辨率也足够小，能很好地找到弦线的共振频率。

本仪器也可在其它合适的场合作正弦波信号源用。 二、主要技术指标

1、环境条件

使用温度围：5℃~35℃，相对湿度围：25%~85%

2、电源：交流220V±10%，50Hz。

3、频率：频率信号为正弦波，失真度≤1%。 频率围：频段I为15~100Hz，频段Ⅱ为100~1000Hz。 4、频率显示：采用等精度测频，四位数字显示。

测量围：0~99.99Hz，分辨率0.01Hz，测频精度：±（0.2%＋0.01 Hz）；

100.0~999.9Hz，分辨率0.1Hz，测频精度：±（0.2%＋0.1 Hz）； 1000~9999Hz，分辨率1Hz，测频精度：±（0.2%＋1 Hz）；

5、功率输出

输出幅度：0~10VP-P连续可调，输出电流：≥0.5A

三、仪器结构

仪器的信号输出与调节均在前面板上进行，附图1为仪器的前面板图。

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附图 1

1、四位数显频率表 2、频段选择 3、频率粗调 4、频率细调 5、激励信号输出 6、激励信号波形 7、激励信号幅度调节 四、仪器的使用

1、打开信号源的电源开关，信号源通电。调节频率，频率表应有相应的频率指示。用示波器观察“波形”端，应有相应的正弦波；调节“幅度”旋钮，波形的幅度产生变化，当幅度调节至最大时，波形的峰-峰值应≥10V，这时仪器已基本正常，再通电预热10分钟左右，即可进行弦振动实验。

2、按DH4618型弦振动研究实验仪的讲义说明，将驱动传感器的引线接至本仪器的“激振”端，注意连线的可靠性。

3、仪器的频率“粗调”用于较大围地改变频率，“细调”用于准确地寻找共振频率。由于弦线的共振频率的围很小，故应细心调节，不可过快，以免错过相应的共振频率。 4、当弦线振动幅度过大时，应逆时针调节“幅度”旋钮，减小激振信号；振动幅度过小时，应加大激振信号的幅度。 五、注意事项

1、仪器的“激振”输出为功率信号，应防止短路。 2、仪器的频率稳定度和显示精度都较高，故使用前应预热。

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