【理论】振动理论第二章习题解答

【关键字】理论

第二章习题

2—1

一重块，支承在平台上，如题2-1图所示。重块下联结两个弹簧，其刚度均为。在图示位置时，每个弹簧已有初压力。设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？

W k k 题2—1图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变

设重块将下落h m，则：

于是：

2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d，剪切弹性摸量为 G，两端固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为。 解： 以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程 惯性力矩：

恢复力矩： 由动静法得 因此

2-4 一均质等直杆AB，重为W，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。线长为，

两线相距为。试推导AB杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。

解：AB杆绕重心摆动，则： 2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N·c㎡，跨度为L=，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度K=5kN/cm，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。 (a)

(b) 解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度 （a） 图可以看作弹簧和杆的并联 弹簧质量系统的固有频率

已知EI=2E10 N·c㎡, K=5kN/cm, W=4kN 代入数据得

（b） 图可以看作弹簧和杆的串联 所以

代入数据得

2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。试求系统的相对阻尼系数。 【解】 由（2-33）式得

两端取对数，得

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则：

2—10 列出题2—10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动频率。解：系统运动时的

受力如上所示

由动静法原理可得：

令 ， 则 ， 振动频率：

2—11如题2—1图所示轴承，轴的直径剪切弹性模量。圆盘饶对称轴的转动惯量为··,并在(kN·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。 2-11 解：惯性力矩

恢复力矩 微分方程 所以，振幅 已知 ，，··,

代入数据得

2—12 已知一弹簧系统，质量块重，弹簧刚度，作用在质量块上的力为，而受阻力为。的单位均为，的单位为的单位为。求（1）忽略阻力时，质量块的位移和缩小因子；（2）考虑阻力时，质量块的位移和缩小因子。 解： 系统运动方程为： 系统的稳态响应： 其中：

忽略阻力时，即， 则

放大因子：

1（1）（2）x2(t)2220.383

则系统的响应为：

F0sin0t0.306sin19tk

10.radc2.56Ns/cm（2）考虑阻力时，则：

放大因子：

1(1)(2)2220.28

则系统的响应为：

x2(t)F0sin(0t)0.224sin(19t0.75)k

12—13 一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为2s，弹簧刚度为k30N/cm，黏性阻

尼系数cN.s/cm。求在外力F20cos3t(N)作用下的振幅和相位角。 解答：由题可知： 03cc15*3 ；00.5 22m2k2*30*1.52文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

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由于 F020N

则 BF01.0.342cm

22k(1)(2)'2---14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件t0，x0 =x0=0和质量块上受有

F=F0sint时的响应。

解：阻尼较小时，即1，系统响应为

x'et(CcosdtDsindt)et(CsindtDcosdt)B0cos(0t) 其中，BF0/k(12)2(2)2',arctan2 21 代入初始条件x0 =x0=0，解得 因此，系统响应为

xF0/k(1)(2)222{et[sincosdt1d(sin0cos)sindt]sin(0t)}2—15 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg， 弹簧的总刚度k=700N/cm。电动机轴上有一偏心质量为1kg，偏心距离e=10cm，电机转 速n=2000r/min，求平台的振幅。 解：由公式02n得

02n=

22000200rad/srad/s

603 该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为： 式中，M100kg,m1kg,e10cm,c0

圆频率k7007rad/s （） M100 频率比020079.161 37 设稳态响应xBsin(0t)则，

me2 由公式B得，（0）

M(12)2(2)23文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

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2-17 写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解。 题2-17图

解：系统运动微分方程为：

mxcxkxkasin0t...

方程的解可表示为：x(t)x1(t)x2(t)

其中x2(t)为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：

x2(t)Bsin(0t)

B将x2(t)及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：

2c0m0B22/ ，则k令 0 ，k ，从而得

ka22(km0)(c0)2

a(12)2(2)2

x2(t)于是得系统的稳态响应为：

asin(0t)(12)2(2)2



arctan相应地求得相位角：

2212-20 试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。 解：

cxk(xxs)mxxsasin(wot)

cxkxkasinwot x得mMO0;m'lm2l；x'k；

cxkx2kasinw0t x则 方程转化为 4m

wck1 ，wmwc m22-21 一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。试求其稳定振动的响

应。 x π/ω0 2π/ω0 3π/ω0 4π/ω0 y 1 0 -1 解：先将Ft分解为各简谐激励，并计算傅立叶系数 4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

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由图可知，激励的均值

a00 2系统的响应为

2—22 一弹簧质量系统如题2—22图所示的激振里作用下作强迫振动。试求其稳态振动的响应。

F

解：周期T=

220

02F00tt0,202F3F（t）=00( t)t,020202F00(t2)t3,20200由图知：

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a0022tajFtcosjw0tdt0T02tbjftsinjw0tdtT03TT22w02w02w02T44)sinjw0tdt(t(t)sinjw0tdt3TF0tsinjw0tdtTF0F0T04w04w00j2,4,68Fj012j221j1,3,5因为是无阻尼系统，所以=0 0j=jbjsinjw0t8F(1)j1系统响应：x=2=02sinjw0tj1,2,3k(1j)2kj1,2,3j2(1(jw 0w)2)2—23.求如图所示的弹簧质量系统,支承出突然向上按ｘ运动的响应

xs m a k xs 0 t

解：为支承运动，ya，用杜哈美积分 系统无阻尼，故0，d 解得 xa(1cost)

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