2020-2021学年四川省南充市高级中学高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)

科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1．命题“若A．“若C．“若

”，则tana＝1“的否命题是（ ） “，则tana≠1” ，则tana≠1”

B．“若

“，则tana＝1”

”

D．“若tana≠1，则

2．函数f（x）＝ln2+cosx的导数为（ ） A．

B．﹣sinx

C．sinx

D．

3．若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（ ） A．﹣1 4．球的体积是A．

B．1

C．3

D．﹣3

，则此球的表面积是（ ）

B．16π

C．

D．

5．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为2，6，则输出的a等于（ ）

A．4 B．0 C．2 D．14

6．“k＞1”是“函数f（x）＝kx﹣lnx在区间[1，+∞）单调递增”的（ ） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概率是（ ）

A． B． C． D．

8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A．

B．

C．

D．

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

10．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）＞，则不等式f（x2）＜

的解集为（ ）

B．（1，+∞） D．（﹣1，1）

0）的左右焦点分别为F（，1﹣c，

A．（﹣∞，﹣1）

C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 11．已知离心率为2的双曲线C：

F2（c，0），直线与双曲线C在第一象限的交点为P，∠PF1F2的角平分线

与PF2交于点Q，若|PF2|＝λ|PQ|，则λ的值是（ ） A．

B．

C．

D．

12．已知a＞0，b∈R，且ex≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，则a2b的最大值为（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题：本题共4个小题，每个小题5分，共20分。

13．相关变量的样本数据如表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y＝10x+a，则a＝ x y

1

2

3

4

20 30 30 40

14．若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为 ． 15．如图，已知圆柱和半径为

的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱

的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为 ．

16．已知f（x）＝kex﹣x2（k∈R），下列结论正确的是 ． ①当k＝1时，f（x）≥0恒成立； ②若f（x）在R上单调，则

；

；

．

③当k＝2时，f（x）的零点为x0且

④若f（x）有三个零点，则实数k的取值范围为

三、解答题：本题6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足4≤2x

≤8．

（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18．已知函数．

（1）求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值．

19．某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图

（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；

（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[8，10]和[10，12]组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会．12]现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求[10，小组中至少有1人发言的概率？

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，M为PD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2． （1）求证：AM⊥平面MCD； （2）求点M到平面PAC的距离．

21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被

椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B （1）求椭圆C的方程； （2）设P为椭圆上一点，且满足数t的取值范围．

22．已知函数h（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，g（x）＝（a﹣1）lnx+（1+a）x2﹣4x． （1）讨论h（x）的单调性；

（2）设函数f（x）＝h（x）﹣g（x），若对任意x＞0，恒有f（x）≤0，求a的取值范围．

+

＝t

（O为坐标原点），当|AB|＜

时，求实

参

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1．命题“若A．“若C．“若解：命题“若故选：A．

2．函数f（x）＝ln2+cosx的导数为（ ） A．

B．﹣sinx

C．sinx

D．

”，则tana＝1“的否命题是（ ） “，则tana≠1” ，则tana≠1”

B．“若

“，则tana＝1”

”

D．“若tana≠1，则

”，则tana＝1“的否命题是“若“，则tana≠1”

解：f′（x）＝0﹣sinx＝﹣sinx． 故选：B．

3．若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（ ） A．﹣1

B．1

C．3

D．﹣3

解：圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心为（﹣1，2）， 代入直线3x+y+a＝0得：﹣3+2+a＝0， ∴a＝1， 故选：B． 4．球的体积是A．

，则此球的表面积是（ ）

B．16π

C．

D．

解：根据题意，设球的半径为R， 若球的体积是

，则有V＝

＝

，解可得R＝2，

则其表面积S＝4πR2＝16π， 故选：B．

5．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为2，6，则输出的a等于（ ）

A．4 B．0 C．2 D．14

解：若输入a，b分别为2，6，因为a≠b，执行左支，2＜6，执行右支，b＝6﹣2＝4， 返回进入第二次循环，a＝2，b＝4，再执行一次，得到a＝2，b＝2， 此时a＝b，执行右支，得到a＝2， 故选：C．

6．“k＞1”是“函数f（x）＝kx﹣lnx在区间[1，+∞）单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

解：f′（x）＝k﹣，

∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间[1，+∞）单调递增， ∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立． ∴k≥，

而y＝在区间[1，+∞）上单调递减， ∴k≥1．

故“k＞1”是“函数f（x）＝kx﹣lnx在[1，+∞）单调递增“充分不必要条件 故选：A．

7．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

和等于9的概率是（ ）

A． B． C． D．

解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数n＝4×5＝20， 其和等于9包含的基本事件有：

（7，2），（3，6），（5，4），（1，8），共4个， ∴其和等于9的概率p＝故选：A．

8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A．

B．

C．

D．

＝．

解：由y2＝2px，得2p＝3，p＝， 则F（，0）．

∴过A，B的直线方程为y＝即x＝

y+．

（x﹣），

联立 ，得4y2﹣12y﹣9＝0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2＝3

，y1y2＝﹣．

×

|y1﹣y2|＝

＝

×

∴S△OAB＝S△OAF+S△OFB＝

＝． 故选：D．

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． 解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图， 三棱柱的底面是等腰直角三角形， 其面积S＝×1×2＝1，高为1； 故其体积V1＝1×1＝1；

三棱锥的底面是等腰直角三角形， 其面积S＝×1×2＝1，高为1； 故其体积V2＝×1×1＝； 故该几何体的体积V＝V1+V2＝； 故选：A．

10．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（D．

x）＞，则不等式f（x2）

＜的解集为（ ）

B．（1，+∞） D．（﹣1，1）

A．（﹣∞，﹣1）

C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣，其导数g′（x）＝f′（x）﹣＞0， 则函数g（x）在R上为增函数，

又由f（1）＝1，则g（1）＝f（1）﹣＝， 不等式f（x2）＜

⇒f（x2）﹣

＜⇒g（x2）＜g（1），

又由g（x）在R上为增函数，则x2＜1， 解可得：﹣1＜x＜1，

即不等式的解集为（﹣1，1）； 故选：D．

11．已知离心率为2的双曲线C：

0）的左右焦点分别为F（，1﹣c，

F2（c，0），直线与双曲线C在第一象限的交点为P，∠PF1F2的角平分线

与PF2交于点Q，若|PF2|＝λ|PQ|，则λ的值是（ ） A．解：∵直线

B．；

C．

D．

所以其过左焦点，且∠PF1F2＝30°； 如图：

∵∠PF1F2的角平分线与PF2交于点Q，且|PF2|＝λ|PQ|， ∴

＝

＝

⇒|PF1|＝

×2c；

∵离心率为2＝⇒c＝2a⇒|PF2|＝|PF1|﹣2a＝；

∴cos∠PF1F2＝⇒＝

＝；

⇒＝＝＝⇒λ＝．

故选：B．

12．已知a＞0，b∈R，且ex≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，则a2b的最大值为（ ） A．

B．

C．

D．

解：设f（x）＝ex﹣a（x﹣1）﹣b， 可得f′（x）＝ex﹣a，

当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）无最小值；

当a＞0时，x＞lna时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得x＝lna处，f（x）取得最小值2a﹣alna﹣b， 由ex≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，可得b≤2a﹣alna， 则a2b≤2a3﹣a3lna，

设g（a）＝2a3﹣a3lna，g′（a）＝6a2﹣（3a2lna+a2）＝5a2﹣3a2lna＝a2（5﹣3lna）， 当a＞e时，g′（a）＜0，g（a）递减；当0＜a＜e时，g′（a）＞0，g（a）递增，可得a＝e处，g（a）取得最大值2e5﹣e5＝e5． 即有a2b的最大值为e5． 故选：B．

二、填空题：本题共4个小题，每个小题5分，共20分。

13．相关变量的样本数据如表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y＝10x+a，则a＝ 5

x y 解：

1 2 3 4

20 30 30 40

，

．

把样本点的中心的坐标（2.5，30）代入y＝10x+a， 得30＝10×2.5+a，即a＝5． 故答案为：5．

14．若命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题，则实数a的取值范围为 [﹣2，2] ． 解：因为命题“∀x∈R，x2+ax+1≥0”是真命题， 所以不等式x2+ax+1≥0在x∈R上恒成立．

由函数y＝x2+ax+1的图象是一条开口向上的抛物线可知， 判别式△≤0即a2﹣4≤0⇒﹣2≤a≤2， 所以实数a的取值范围是[﹣2，2]． 故答案为：[﹣2，2]． 15．如图，已知圆柱和半径为

的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱

的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为 2π ．

解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；

则h2+r2＝R2＝3；

所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）； 则V′（h）＝π（3﹣3h2）， 令V′（h）＝0，解得h＝1；

所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增； h∈（1，

）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；

所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π． 故答案为：2π．

16．已知f（x）＝kex﹣x2（k∈R），下列结论正确的是 ②③④ ． ①当k＝1时，f（x）≥0恒成立； ②若f（x）在R上单调，则

；

；

．

③当k＝2时，f（x）的零点为x0且

④若f（x）有三个零点，则实数k的取值范围为

解：①当k＝1时，f（x）＝ex﹣x2，f（﹣1）＝﹣1＜0，故①错误； ②f（x）＝kex﹣x2，则f′（x）＝kex﹣2x， 若f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0，即k≥令g（x）＝

，则g'（x）＝

恒成立，

＝0，得x＝1，即g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，

在（1，+∞）单调递减，

所以g（x）max＝g（1）＝，故k≥；

若f（x）在R上单调递减，则f′（x）≤0，即k≤当x→﹣∞时，减，

综上：若f（x）在R上单调，则

；故②正确；

→﹣∞，g（x）无最小值，故k≤

恒成立，

不恒成立，即f（x）不会单调递

③当k＝2时，f（x）＝2ex﹣x2，f′（x）＝2（ex﹣x），

令g（x）＝ex﹣x，则g′（x）＝ex﹣1，令g′（x）＝0，解得：x＝0， 故g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增， 故g（x）≥g（0）＝1，故f（x）在R上单调递增， ∵f（﹣1）＝﹣1＜0，f（﹣）＝

＞0，

由函数零点存在性定理知，存在x0∈（﹣1，﹣），使得f（x0）＝0，故③正确； ④f（x）有3个零点等价于方程kex﹣x2＝0有3个根，

即方程k＝有3个根，令F（x）＝，F′（x）＝，

故F（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，2）递增，在（2，+∞）递减， 而F（0）＝0，F（2）＝

，大致图像如图示：

故k的取值范围是（0，故答案为：②④．

），故④正确；

三、解答题：本题6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足4≤2x

≤8．

（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：（1）命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a． 命题q中：实数x满足 4≤2x≤8可得2≤x≤3． 若a＝1，则p中：1＜x＜3， ∵p且q为真，∴故所求x∈[2，3）．

（2）若￢p是￢q的充分不必要条件， 则q是p 的充分不必要条件， ∴

，解得1＜a＜2，

，解得2≤x＜3，

∴a的取值范围是（1，2）．

18．已知函数．

（1）求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值． 解：（1）

从而f（0）＝1，f'（0）＝﹣3，

因此，函数f（x）点x＝0处的切线方程为：y＝﹣3x+1． （2）令f'（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，得x＝﹣1或x＝3． 则当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表

x

（﹣∞，﹣

1）

f'（x） f（x）

+ 递增

0

﹣ 递减

0 ﹣8

+ 递增

﹣1

（﹣1，3）

3

（3，+∞）

，f'（x）＝x2﹣2x﹣3，

∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）， 函数f（x）的单调递减区间是（﹣1，3）； 当x＝﹣1时，f（x）取得极大值，极大值为； 当x＝3时，f（x）取得极小值，极小值为﹣8．

19．某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图

（1）根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；

（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[8，10]和[10，12]组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会．12]现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求[10，小组中至少有1人发言的概率？

解：（1）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为y，

+0.25×5+0.3×7+0.15×9+0.1×11+0.05×13＝6.8，

设抽查人员利用“学习强国”的中位数为y＝0.05+0.1+0.25+0.15×（y﹣6）＝0.5，解得y＝

，

．

即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为

（2）[8，10]组的人数为2000×0.15＝300人，设抽取的人数为a， [10，12]组的人数为2000×0.1＝200人，设抽取的人数为b， 则

，解得a＝30，b＝20，

所以在[8，10]和[10，12]两组中分别抽取30人和20人，

在抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将[]8，10组中被抽取的工作人员标记为a，b，c，将[10，12]中的标记为A，B．

则抽取的情况如下：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{A，B}共10种情况，

其中在[10，12]中至少抽取1人有7种，则P＝

．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，M为PD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2． （1）求证：AM⊥平面MCD； （2）求点M到平面PAC的距离．

【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD． ∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD， 又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD， 又AM⊂平面PAD，∴CD⊥AM．

∵PA＝AD，M为PD的中点，∴AM⊥MD， 又CD∩MD＝D， ∴AM⊥平面MCD．

（2）解：∵M是PD的中点， ∴VM﹣PAC＝VD﹣PAC＝VP﹣ACD＝又AC＝∴S△PAC＝

＝2

， ，

S△PAC•d＝

．

•

4＝，

＝4

设点M到平面PAC的距离为d，则VM﹣PAC＝∴

＝，解得：

． ．

即M到平面PAC的距离是

21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被

椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B （1）求椭圆C的方程； （2）设P为椭圆上一点，且满足数t的取值范围．

+

＝t

（O为坐标原点），当|AB|＜

时，求实

解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，

过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1， ∴e＝

，

，又a2＝b2+c2， ， ．

解得a＝2，b＝1，c＝∴椭圆方程为

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）， 设AB：y＝k（x﹣3），

联立，得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4＝0，

△＝242k4﹣16（9k2﹣1）（1+4k2）＞0， 解得

，

，x1•x2＝

，

＝（x1+x2，y1+y2）＝t（x，y），

x＝

，

＝，

由点P在椭圆上得36k2＝t2（1+4k2）， 又曲|AB|＝

∴（1+k2）（x1﹣x2）2＜3， （1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＜3， （1+k2）[

∴（8k2﹣1）（16k2+13）＞0， ∴8k2﹣1＞0，

，

]＜3， ，

，

∴，

由36k2＝t2（1+4k2），得∴3＜t2＜4，∴﹣2＜t＜﹣

或

．

，

22．已知函数h（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，g（x）＝（a﹣1）lnx+（1+a）x2﹣4x． （1）讨论h（x）的单调性；

（2）设函数f（x）＝h（x）﹣g（x），若对任意x＞0，恒有f（x）≤0，求a的取值范围． 解：（1）

①当a≤0时，h'（x）＞0⇒x＞1，h'（x）＜0⇒0＜x＜1． ∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ②当a＝2时，③当0＜a＜2时，

，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；

，h′（x）＞0⇒0＜x＜或x＞1，h′（x）＜0⇒＜x＜1，

上单调递减； ，

∴h（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在④当a＞2时，

，h′（x）＞0⇒0＜x＜1或x＞，h′（x）＜0⇒1＜x＜，

上单调递减；

∴h（x）在（0，1），（，+∞）上单调递增，在（2）f（x）＝h（x）﹣g（x）＝lnx﹣ax2﹣（a﹣2）x，

若a≤0，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上递增，f（1）＝2﹣2a＞0，与已知f（x）≤0不符合，舍去； 当a＞0时，∴f（x）在∴

上单调递增，在＝

，

．

上单调递减， ． ，即

．

∵x＞0时，恒有f（x）≤0，∴只需设φ（a）＝﹣lna+

，a＞0，

则φ′（a）＝＜0，∴φ（a）在（0，+∞）上单调递减．

又φ（1）＝0，∴使得φ（a）≤0的a∈[1，+∞）． 故a的取值范围是[1，+∞）．