德庆县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

德庆县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

2． 已知直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 sin1.5，cos8.5的大小关系为（ ） 3． sin3，A．sin1.5sin3cos8.5 C.sin1.5cos8.5sin3

B．cos8.5sin3sin1.5 D．cos8.5sin1.5sin3

4． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10

5． 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x

的图象是（ ）

A．①

B．② C．③ D．④

，

6． 记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ） A．C．

B．D．

7． 已知函数f（x）=xex﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

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8． 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为（ ）

A． B． C． D．

9． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ） A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

11．下列说法正确的是（ ）

A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；

B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体； C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥； D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.

12．已知函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x（m∈R）存在两个极值点x1，x2，直线l经过点A（x1，x12），B

222

（x2，x2），记圆（x+1）+y=上的点到直线l的最短距离为g（m），则g（m）的取值范围是（ ）

A．[0，2]

B．[0，3] C．[0，） D．[0，）

二、填空题

13．下列命题：

①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数；

②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点； ③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，Sn最大值为S5； ④在△ABC中，A＞B的充要条件是cos2A＜cos2B；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．

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14．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是 ．

15．对于映射f：A→B，若A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射，若存在对应关系Φ，使A到B成为一一映射，则称A到B具有相同的势，给出下列命题： ①A是奇数集，B是偶数集，则A和B具有相同的势；

②A是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势； ③若区间A=（﹣1，1），B=R，则A和B具有相同的势．

其中正确命题的序号是 ．

16．已知i是虚数单位，且满足i2=﹣1，a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）

17．设xR，记不超过x的最大整数为[x]，令xx[x].现有下列四个命题: ①对任意的x，都有x1[x]x恒成立； ②若x(1,3)，则方程sin2xcos2[x]1的实数解为6；

31x1的 32③若an（nN），则数列an的前3n项之和为nn；

223n22④当0x100时，函数f(x)sin[x]sinx1的零点个数为m，函数g(x)[x]x零点个数为n，则mn100.

其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）

【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

x2y218．已知抛物线C1：y4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|3，双曲线C2：221

ab（a0，b0）的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为 . 2【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.

三、解答题

19．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金． （1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；

（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

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20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．

（1）求证：BD⊥平面AA1C1C； （2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

21．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）+（y﹣1）=4和圆C2：（x﹣4）+（y﹣5）=4 （1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．

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2

2

2

2

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22．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．

23．如图，在四棱锥中点，为的中点，且

中，等边

所在的平面与正方形

所在的平面互相垂直,

为

的

（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段求出的长,若不存在，请说明理由．

与所在平面成角．若存在，

24．（本题12分）如图，D是RtBAC斜边BC上一点，AC3DC. （1）若BD2DC2，求AD； （2）若ABAD，求角B.

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德庆县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：由ln（3a﹣1）＜0得＜a＜，

则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是P=， 故选：C．

2． 【答案】D

【解析】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AA1∩平面ABCD=A，BB1∩平面ABCD=B，AA1∥BB1； AA1∩平面ABCD=A，AB1∩平面ABCD=A，AA1与AB1相交； AA1∩平面ABCD=A，CD1∩平面ABCD=C，AA1与CD1异面．

∴直线a，b都与平面α相交，则a，b的位置关系是相交、平行或异面． 故选：D．

3． 【答案】B 【解析】

试题分析：由于cos8.5cos8.52，因为∴cos8.5sin3sin1.5． 考点：实数的大小比较. 4． 【答案】B 【解析】

28.52，所以cos8.50，又sin3sin3sin1.5，

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考

点：球与几何体 5． 【答案】D

【解析】解：幂函数y=x只有④符合． 故选：D．

为增函数，且增加的速度比价缓慢，

【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．

6． 【答案】

A

【解析】

进行简单的合情推理． 【专题】规律型；探究型．

【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的ai，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案． 【解答】因为

=

32

（a1×10+a2×10+a3×10+a4），

括号内表示的10进制数，其最大值为 9999； 从大到小排列，第2013个数为 9999﹣2013+1=7987

所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7 则第2013个数是故选A．

【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可． 7． 【答案】C

【解析】解：设g（x）=xex，y=mx﹣m， 由题设原不等式有唯一整数解，

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即g（x）=xex在直线y=mx﹣m下方， g′（x）=（x+1）ex，

g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0）， 结合函数图象得KPA≤m＜KPB， 即

≤m＜

，

，

故选：C．

【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．

8． 【答案】B

【解析】【知识点】线性规划 【试题解析】作可行域：

由题知：

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所以故答案为：B 9． 【答案】A

【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6， ∴（2﹣）•=2

﹣

=2×22﹣6×2×cos60°=2，

=

．

∴2﹣在方向上的投影为故选：A．

【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．

10．【答案】B

【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立， 若a⊥b，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件， 故选：B．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．

11．【答案】C 【解析】

考

点：几何体的结构特征. 12．【答案】C

322

【解析】解：函数f（x）=x+mx+（2m+3）x的导数为f′（x）=x+2mx+2m+3，

由题意可得，判别式△＞0，即有4m﹣4（2m+3）＞0，

2

解得m＞3或m＜﹣1， 又x1+x2=﹣2m，x1x2=2m+3，

22

直线l经过点A（x1，x1），B（x2，x2），

即有斜率k==x1+x2=﹣2m，

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2

则有直线AB：y﹣x1=﹣2m（x﹣x1）， 2

即为2mx+y﹣2mx1﹣x1=0，

22

圆（x+1）+y=的圆心为（﹣1，0），半径r为

．

则g（m）=d﹣r=

2

由于f′（x1）=x1+2mx1+2m+3=0，

﹣，

则g（m）=﹣，

2

又m＞3或m＜﹣1，即有m＞1． 则g（m）＜

﹣

=．

，

则有0≤g（m）＜故选C．

【点评】本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】 ②③④⑤

【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=

，

，

，但是

，因此不是单调递增函数；

②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确； ③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，∴

=11a6＜0，

∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此Sn最大值为S5，正确；

④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．

【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

=5（a6+a5）＞0，

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14．【答案】 3，﹣17 ．

2

【解析】解：由f′（x）=3x﹣3=0，得x=±1， 当x＜﹣1时，f′（x）＞0， 当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0， 当x＞1时，f′（x）＞0，

故f（x）的极小值、极大值分别为f（﹣1）=3，f（1）=﹣1， 而f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，

故函数f（x）=x﹣3x+1在[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是3、﹣17．

15．【答案】 ①③ ．

【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映

3

射，故①正确；

对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确； 对③，给出对应法则y=tan③正确． 故选：①③

【点评】本题借查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．

16．【答案】 充分不必要

【解析】解：∵复数z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i， ∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2）， 若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0， ∴﹣2＜a＜2，

∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．

【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．

17．【答案】①③

x，对于A，B两集合可形成f：A→B的一一映射，则A、B具有相同的势；∴

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【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然x1[x]x，①是真命题；对于②，由sin2xcos2[x]1得，

sin2x1cos2[x]，即sin2xsin2[x].当1x2 时，0x11，0sin(x1)sin1，此时

方程无解；当2x3 时，0x21，0sin(x2)sin1，sin2xsin2[x]化为sin2(x1)sin21，此时sin2xsin2[x]化为sin(x2)sin2，所以x22或x22，即x4或x，所以原方

n程无解.故②是假命题；对于③，∵an（nN），∴a10，a20，a31，3333123143n13n，[n]n1a41，…，a3n1a[n]n，所以数列an的前3n项之和3n3333321nn，故③是真命题；对于④，由为3[12(n1)]n22第 13 页，共 20 页

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18．【答案】3

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三、解答题

19．【答案】

3

【解析】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C10=120，

奖金的可能取值是0，30，60，240， ∴一等奖的概率P（ξ=240）=P（ξ=60）=P（ξ=30）=P（ξ=0）=1﹣∴变量的分布列是ξ

0 ξ P ∴E ξ=

（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣四次抽奖是相互的 ∴中奖次数η～B（4，∴Dη=4×

）

30

，

60 =20

240 ，

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．

20．【答案】

【解析】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1， ∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，

∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，

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同理△ABC1是等边三角形， ∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1， ∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，

平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1， ∴BD⊥平面AA1C1C．

（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 平面ABC1的一个法向量为由题意可得

，

，1，1），

，设平面ABC的法向量为

，则

， ，

所以平面ABC的一个法向量为=（∴cosθ=

．

即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于

．

【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．

21．【答案】 【解析】

【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．

（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．

【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；

∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）

圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2 ∴d==1（2分）

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d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣

∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分） （2）设点P（a，b）满足条件，

由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0， 不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0 则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）

∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等， ∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等 即

=

（8分）

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|

∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5 因k的取值有无穷多个，所以

或

（10分）

解得或

这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，22．【答案】

）（12分）

【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：

当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1， 由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形， 在直角三角形ABC1中，根据勾股定理得：AC1=2

，

∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2），

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22

则圆C1方程为：（x﹣2）+（y﹣2）=8；

当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2，

由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′， =OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2）， 在直角三角形A′B′C2中，根据勾股定理得：A′C2=2

22

则圆C1方程为：（x+2）+（y+2）=8，

，

2222

∴圆C的方程为：（x﹣2）+（y﹣2）=8或（x+2）+（y+2）=8．

【点评】本题考查了角平分线定理，垂径定理，正方形的性质及直角三角形的性质，做题时注意分两种情况，利用数形结合的思想，分别求出圆心坐标和半径，写出所有满足题意的圆的标准方程，是中档题．

23．【答案】

【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直 【试题解析】（Ⅰ）平面

平面

（Ⅱ）取分别以则

，

，

的中点平面

． ，

底面

是正方形，

，

两两垂直．

的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

，

是等边三角形，，

是交线，

为平面

的中点，

设平面的法向量为，，

，

平面

的法向量即为平面

，

的法向量

．

由图形可知所求二面角为锐角，(Ⅲ)设在线段使线段平面

与

上存在点所在平面成

，

，角，

， ，

的法向量为

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，解得

在线段

上存在点

，当线段

，适合 时，与

所在平

面成

角．

24．【答案】（1）AD【

2；（2）B解

3.

析

】

考点：正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.

【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长

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关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方.

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