陕西省专升本考试高等数学真题2015年
(总分：150.00，做题时间：90分钟)
一、单项选择题(总题数：5，分数：25.00)
1.x=0是函数（分数：5.00） A.连续点 B.可去间断点 √ C.跳跃间断点 D.无穷间断点 解析：[解析] x=0时，2.设无意义，故x=0为函数的间断点，又，故x=0是函数的可去间断点．
的______
，则点x=0是连续函数f(x)的______
（分数：5.00） A.极大值点 B.极小值点 √ C.驻点，但不是极值点 D.非驻点 解析：[解析] 由于存在，故，即f\"(0)=0，即x=0为f(x)的驻点，又由极限的局部保号性可
知在x=0的某一去心邻域内f(x)＞f(0)恒成立，故x=0为f(x)的极小值点． 3.与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1平行且过点(-3，2，5)的直线的方程为______ A． B． C． D．
（分数：5.00） A. B. C. D. √
解析：[解析] 已知两平面的法向量分别为，n 1 ={1，0，-4}，n 2 ={2，-1，-5}， 则所求直线的方向向量 又直线过点(-3，2，5)，故所求直线方程为 2
3
3
4.微分方程xy dy=(x +y )dx的通解为______ A． B． C． D．
（分数：5.00） A. B. C. √ D.
解析：[解析] 微分方程可变形为 令 ，即 原微分方程即为 即 两边积分，得 即 5.设 A． B． C． D．
（分数：5.00） A. √ B. C. D.
解析：[解析] 散．
，则无穷级数______
为交错级数，且，由莱布尼茨审敛法，知收敛，而，故发二、填空题(总题数：5，分数：25.00)
6.设f\"(x 0 )=1，则
（分数：5.00）
解析：5[解析] 7.已知当x→0时，
（分数：5.00） 解析：4 [解析] 由 与x 是同阶无穷小，则a= 1．
a
是同阶无穷小，可知a-1=3，即a=4．
x
8.设方程e +2xyz=0确定了隐函数z=z(x，y)，则
（分数：5.00） 解析：9.不定积分
（分数：5.00） 解析：[解析] [解析] 令F=e +2xyz，则F =e +2yz，F z -2xy，故 xx
10.设连续函数f(x，y)满足
（分数：5.00） 解析： 故 [解析] 对方程 ，其中D是由y=0,y=x ，x=1所围成的区域，则 2
两边取D上的二重积分，并设 ，则 ，由于
三、计算题(总题数：10，分数：80.00)
11.求极限
（分数：8.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：其中 所以， 12.设函数y=y(x)由参数方程
（分数：8.00）
所确定，求 __________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析： 13.求不定积分
（分数：8.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析： 14.求定积分
（分数：8.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：15.设
（分数：8.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：
（分数：8.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：易知函数f(x，y，z)在整个R 可微， gradf=(2xyz，x z，x y) 代入点(1，-1，2)得，
gradf(1，-1，2)=(-4，2，-1)，
(1，-1，2)点沿梯度方向的方向导数即该点处梯度的模：
17.将
（分数：8.00）
化为极坐标形式的二次积分，并计算积分值．
2
2
3
，其中f具有二阶连续偏导数，求 及 2
16.求函数f(x，y，z)=x yz在点(1，-1，2)处沿梯度方向的方向导数．
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析： ，其中L是(x-2) +y =4的上半圆周的逆时针方向．
2
2
18.计算曲线积分
（分数：8.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：P=1+xe ，Q=x e +siny ，而 则积分在整个xOy平面上与路径无关，从而 故取L 1 ：(4，0)到(0，0)的一段有向线段，从而
19.求幂级数
（分数：8.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：由 在x=-1处， 得，收敛半径R=1． 收敛，在x=1处， 发散，
的收敛域及和函数．
2y
2
2y
2
在整个xOy平面上连续，
因此收敛域为[-1，1)； 设和函数为s(x)，即 于是 所以 从而 ，而s(0)=1，故 于是，当x≠0时，有 4x
20.求微分方程y\"\"-6y\"+8y=(x-1)e 的通解．
（分数：8.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：原方程对应齐次方程的特征方程为r -6r+8=0，特征根为r 1 =2，r 2 =4， 原方程对应的齐次方程的通解为： *
4x
2
=C 1 e +C 2 e ，其中C 1 、C 2 为任意常数，
2x4x
原方程的特解形式为：y =x(ax+b)e ，
代入原方程得 ，即原方程的一个特解为 为任意常数)．
从而原方程通解为： 四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)
21.设函数f(x)在[-1，1]上可导，且 使f\"(ξ)=1．
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：[证明] 由f(x)在[-1，1]上可导及 又F(0)=f(0)-0=0=f(1)-1=F(1)，
故F(x)在闭区间[0，1]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知， 在(0，1)内至少存在一点ξ，使F\"(ξ)=0，即f\"(ξ)=1． 22.过原点作曲线 (1)求D的面积A；
(2)求D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V．
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：设切点坐标为(x 0 ,y 0 )，则切线方程为 由 (1) (2)
可得x 0 =2，y 0 =e， 的切线，该切线与曲线 以及y轴围成区域D． 可知f(0)=0，
(c为非零常数)，f(1)=1，证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，
令F(x)=f(x)-x，则F(x)在[-1，1]上可导，F\"(x)=f\"(x)=1，
