北大高等代数1-05

2.1.4 向量组的线性等价和集合上的等价关系

定义（线性等价） 给定Km内的两个向量组

1,2,,r， （*） 1,2,,s， （**） 如果向量组（**）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组（*）中的每个向量也都能被向量组（**）线性表示，则称向量组（*）和向量组（**）线性等价。

定义（集合上的等价关系） 给定一个集合S，S上的一个二元关系“~”称为一个等价关系，如果“~”满足以下三条： （1） 反身性：aS,（2） 对称性：a,bS,a~a；

如果a~b，则b~a；

（3） 传递性：若a~b，b~c，则a~c。 与a等价的元素的全体成为a所在的等价类。

命题 若a与b在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。

证明 记a所在的等价类为Sa，b的等价类为Sb。若它们的交集非空，则存在

cSaSb，于是有c~a，c~b。由等价关系定义中的对称性和传递性即知a~b，与a和b在不同的等价类矛盾。这就证明了a和b所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。 综上可知，命题成立。证毕。

命题 给定Km内两个向量组

1,2,,r， （1） 1,2,,s， （2） 且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。如果向量能被向量组（2）线性表示，则也可以被向量组（1）线性表示。

证明 若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组（1）线性表示，则存在kijK

(1ir,1js)，使得

r jki1ij i (j1,2,,s) . （i）

由于能被向量组（2）线性表示，故存在ljK (1js)，使得

s将（i）代入，得

srijrlj1jj.

sijrsijkj1i1iki1j1i(ki1j1)i，

即可被1,2,,r线性表示。

由此易推知 命题 线性等价是Km的向量组集合上的等价关系。

2.1.5向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩

定义（ 向量组的极大线性无关组） 设1,2,,s为Km中的一个向量组，它的一部

分组i1,i2,,ir称为原向量组的一个极大线性无关组，若

（1） i1,i2,,ir线性无关；

（2） 1,2,,s中的每一个向量都可被i1,i2,,ir线性表出。 容易看出向量组1,2,,s和i1,i2,,ir线性等价。 引理 给定Km上的向量组1,2,,s和1,2,,r，如果1,2,,s可被

1,2,,r线性表出，且sr，则向量组1,2,,s线性相关。

证明 由于1,2,,s可被1,2,,r线性表出，故存在kijK，使得

kkrr1,1k111122kkrr2,2k211222  （*）

kkk.s11s22srrs设

xss0. （**） x11x 22将（*）代入（**），得

sss(ki1xi)1(ki2xi)2(kirxi)r0.

i1i1i1设各系数均为零，得到

ssi1si2

ki1xiki1xiki1ir xr0， （***）

（***）是一个含有r个未知量和s个方程的其次线性方程组，而sr，故方程组（***）有非零解，于是存在不全为零的x1,x2,,xrK，使得（**）成立。由线性相关的定义即

知向量组1,2,,s线性相关。

定理 线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。

证明 设1,2,,n和1,2,,mKm中的线性等价的向量组。设向量组

i,i,,i和j,12r1j2,,js分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关

部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。由于

i,i,,i可将j1,j2,,jt中的每一个向量线性表出，知rs（否则由引理知向

12r量组i1,i2,,ir线性相关，矛盾）。同理sr。于是rs。

推论 任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。 定义（向量组的秩） 对于K的数量称为该向量组的秩。

m内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量