相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典题(含答案)

初三（下）相似三角形

相似三角形经典习题

例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．

例2 已知：如图，ABCD中，AE:EB1:2，求AEF与CDF的周长的比，如果S

例3 如图，已知ABD∽ACE，求证：ABC∽ADE．

例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？

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AEF6cm2，求SCDF．

初三（下）相似三角形

（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．

（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．

例5 如图，D点是ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在ABC的边上，并且点D、点E和ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．

例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

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初三（下）相似三角形

例7 如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．

例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．

例9 根据下列各组条件，判定ABC和ABC是否相似，并说明理由：

（1）AB3.5cm,BC2.5cm,CA4cm, （2）A35,B104,C44,A35．

（3）AB3,BC2.6,B48,AB1.5,BC1.3,B48．

例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果

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AB24.5cm,BC17.5cm,CA28cm．

初三（下）相似三角形

存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

例11 已知：如图，在ABC中，ABAC,A36,BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD

例12 已知ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的ABC的最大边长为26，求ABC的面积S．

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2DCAC．

初三（下）相似三角形

例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．

例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使ABBC，然后再选点E，使ECBC，确定BC与AE的交点为D，测得BD120米，

DC60米，EC50米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？

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初三（下）相似三角形

例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）

例16 如图，已知△ABC的边AB＝23，AC＝2，BC边上的高AD＝3． （1）求BC的长；

（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．

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初三（下）相似三角形

相似三角形经典习题答案

例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似 例2． 解 ABCD是平行四边形，∴AB//CD,ABCD，∴AEF∽CDF，

又AE:EB1:2，∴AE:CD1:3，∴AEF与CDF的周长的比是1：3．

S又SAEFCDF1()2,SAEF6(cm2)3，∴SCDF54(cm2)．

例3 分析 由于ABD∽ACE，则BADCAE，因此BACDAE，如

BACA果再进一步证明AD，则问题得证． AE证明 ∵ABD∽ACE，∴BADCAE． 又BACBADDAC，∴DAEDACCAE， ∴BACDAE．

ABAC∵ABD∽ACE，∴AD． AEABAC在ABC和ADE中，∵BACADE,AD，∴ABC∽ADE AE例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．

（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．

（3）正确．设有等腰直角三角形ABC和ABC，其中CC90， 则AA45,BB45，

设ABC的三边为a、b、c，ABC的边为a、b、c， 则ab,c2a,ab,c2a，

abca,，∴ABC∽ABC． ∴abca第 8 页 共 13 页

初三（下）相似三角形

（4）也正确，如ABC与ABC都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC∽ABC． 答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：

画法略．

例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即DF60厘米0.6米，GF12厘米0.12米，CE30米，求BC．由

DFGFAF，于ADF∽AEC,DF又∽，∴，从而可以求出BCACFABCECBCECAC的长． 解

AEEC,DF//EC，∴ADFAEC,DAFEAC，∴ADF∽AEC．∴

DFAFECAC．

又GFEC,BCEC，∴GF//BC,AFGACB,AGFABC，

AFGFDFGF∴AGF∽ABC，∴AC，∴． BCECBC又DF60厘米0.6米，GF12厘米0.12米，EC30米，∴BC6米．即电线杆的高为6米．

例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA与MNA的相似关系就明确了．

解 因为BCCA,MNAN,BACMAN，所以BCA∽MNA． 所以MN:BCAN:AC，即MN:1.620:1.5．所以MN1.6201.521.3（m）．

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初三（下）相似三角形

说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．

例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度． 解 在格点中DEEF,ABBC，所以EB90，

EF1又EF1,DE2,BC2,AB4．所以DE．所以DEF∽ABC． ABBC2说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．

AB3.5cm1BC2.5cm1CA4cm1例9．解 （1）因为A所以ABC,,，B24.5cm7BC17.5cm7CA28cm7∽ABC；

（2）因为C180AB41，两个三角形中只有AA，另外两个角都不相等，所以ABC与ABC不相似；

ABBC2（3）因为BB,A，所以ABC相似于ABC． BBC1例10．解 （1）ADE∽ABC 两角相等； （2）ADE∽

ACB 两角相等；

（3）CDE∽CAB 两角相等； （4）EAB∽ECD 两边成比例夹角相等；

（5）ABD∽ACB两边成比例夹角相等； （6）ABD∽ACB 两边成比例夹角相等．

例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴CBD36，则可推出ABC∽BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．

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初三（下）相似三角形

证明 A36,ABAC，∴ABCC72． 又BD平分ABC，∴ABDCBD36．

∴ADBDBC，且ABC∽BCD，∴BC:ABCD:BC，∴BC∴AD22ABCD，

ACCD．

这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．

说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，

（2）要说明线段的乘积式abcd，或平方式a2bc，一

dba般都是证明比例式，a或再根据比例，，cbac的基本性质推出乘积式或平方式．

例12分析 由ABC的三边长可以判断出ABC为直角三角形，又因为ABC∽ABC，所以ABC也是直角三角形，那么由ABC的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出ABC的两条直角边长，再求得ABC的面积．

解 设ABC的三边依次为，BC5,AC12,AB13，则AB∴C90．

又∵ABC∽ABC，∴CC90．

BCACAB131BCACAB2622BC2AC2，

，

1ACBC2410120． 又BC5,AC12，∴BC10,AC24． ∴S122例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作

FGAB于G，交CE于H，可知AGF∽EHF，且GF、HF、EH

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初三（下）相似三角形

可求，这样可求得AG，故旗杆AB可求． 解 这种测量方法可行．理由如下：

设旗杆高ABx．过F作FGAB于G，交CE于H（如图）．所以AGF∽EHF．

因为FD1.5,GF27330,HF3，所以EH3.51.52,AGx1.5．

AGGFx1.530由AGF∽EHF，得EH，即，所以x1.520，解得x21.5HF23（米）

所以旗杆的高为21.5米．

说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：ADBEDC,ABCECD90，

ABBDBDEC12050∴ABD∽ECD，EC，答：两岸,AB100（米）CDCD60间AB大致相距100米．

FH例15. 答案：AB1506米，BD30750步，（注意：KCDG） AK,KEAK．CDFE例16. 分析：要求BC的长，需画图来解，因AB、AC都大于

高AD，那么有两种情况存在，即点D在BC上或点D在BC的延长线上，所以求BC的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD⊥BC，由勾股定理得BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD＋DC＝3＋1＝4．

如下图，同理可求BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD－CD＝3－1＝2．

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初三（下）相似三角形

（2）如下图，由题目中的图知BC＝4，且ABBC2162AC2(23)22216，

，∴AB2AC2BC2．所以△ABC是直角三角形．

由AEGF是正方形，设GF＝x，则FC＝2－x， ∵GF∥AB，∴

S正方形AEGF(33)21263GFFCABAC，即

x232x2． ∴

x33，∴

．

如下图，当BC＝2，AC＝2，△ABC是等腰三角形，作CP⊥AB于P，∴AP＝1AB3， 2 在Rt△APC中，由勾股定理得CP＝1，

x∵GH∥AB，∴△CGH∽△CBA，∵2x31，xx23123∴

232156483S正方形GFEH()121123

483因此，正方形的面积为1263或156121．

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