2019-2020学年洛阳市汝阳县七年级下学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列变形中，不正确的是( )
A. 若𝑥=𝑦，则𝑥+3=𝑦+3 C. 若𝑚=𝑚，则𝑥=𝑦
𝑥
𝑦
B. 若−2𝑥=−2𝑦，则𝑥=𝑦 D. 若𝑥=𝑦，则𝑚=𝑚 𝑥
𝑦
2. 若𝑎−3𝑏=2，3𝑎−𝑏=6，则𝑏−𝑎的值( )
A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
3𝑥−𝑦=5𝑎𝑥−𝑏𝑦+𝑧=8
b、c的值为( ) 3. 已知方程组{2𝑥+𝑦−𝑧=0与方程组{𝑥+𝑦+5𝑧=𝑐有相同的解，则a、
4𝑎𝑥+5𝑏𝑦−𝑧=−222𝑥+3𝑦=−4
𝑎=−2
A. {𝑏=−3
𝑐=1
𝑎=−2B. {𝑏=3
𝑐=1
𝑎=2C. {𝑏=−3
𝑐=−1
𝑎=2D. {𝑏=3
𝑐=−1
4. 已知，(𝑎−2)2+√𝑏+3=0，则𝑃(𝑎,𝑏)的坐标为( )
A. (2,3) B. (2,−3) C. (−2,3) D. (−2,−3)
5. 若不等式(𝑎−3)𝑥>𝑎−3的解集是𝑥<1，则a的取值范围是( )
A. 𝑎>3 B. 𝑎>−3 C. 𝑎<3 D. 𝑎<−3
6. 我校七年级所有学生参加2017年“元旦联欢晚会”，若每排坐30人，则有8人无座位；若每
排坐31人，则空26个座位，则七年级共有多少名学生？设七年级共有x名学生，则所列方程为( )
A.
𝑥−830𝑥
=
𝑥+2631𝑥
B.
𝑥+830𝑥
=
𝑥−2631
C. 31+8=30−26 D. 31−8=30+26
𝑥
7. 小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同).若购买20支签字笔和
15本笔记本，则他身上的钱会不足25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则( )
A. 他身上的钱会不足95元 C. 他身上的钱会不足105元
B. 他身上的钱会剩下95元 D. 他身上的钱会剩下105元
8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就
主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算
术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十二两；牛二、羊五，直金九两．问牛、羊各直金几何？”意思是：“假设有5头牛、2只羊，值金12两；2头牛、5只羊，值金9两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下列求解结果正确的是( )
A. 每头牛值金2两，每只羊值金1两 B. 每头牛值金2.5两，每只羊值金0.8两 C. 每头牛值金1两，每只羊值金2两 D. 每头牛值金1.8两，每只羊值金1.5两
9. 如果不等式𝑎𝑥+4<0的解集在数轴上表示如图，那么( )
A. 𝑎>0 B. 𝑎<0 C. 𝑎=−2 D. 𝑎=2
10. 不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为( )
A. {
𝑥>−1
𝑥≤2
B. {𝑥≥−1
𝑥<2
C. {
𝑥≥1
𝑥≤2
D. {
𝑥<−1
𝑥≥2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若a、b互为相反数(𝑎≠0)，则𝑎𝑥+𝑏=0的解为______ ． 12. “x的一半与2的差不大于−1”所对应的不等式是______ ．
13. 一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是
我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是______ 岁. 𝑥−𝑦=2,
14. 已知x、y是二元一次方程组{的解，则代数式𝑥2−𝑦2的值为____．
2𝑥+2𝑦=5.
15. 某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，不答或答错一题扣5分．李兵得分要超过85分，
他至少要答对______题．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 2(𝑥−1)≥(1)
3
16. 解不等式组{ 1𝑥+1
𝑥−2≤2(2)
请结合题意填空，完成本题的解答． (𝐼)解不等式(1)，得______； (𝐼𝐼)解不等式(2)，得______；
𝑥
(𝐼𝐼𝐼)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (𝐼𝑉)原不等式组的解集为______．
四、解答题（本大题共7小题，共49.0分） 17. 解方程组：
5𝑥−2𝑦=9(1){；
5𝑥+𝑦=33𝑥+𝑦=8(2){．
2𝑥−𝑦=7
23
18. (1)解不等式组{31，并写出它的非负整数解．
𝑥−1<4𝑥−8
𝑥−3(𝑥−2)≤4
(2)解不等式组{1+2𝑥，并把解集表示在数轴上．
>𝑥−13
𝑥+5>1−𝑥
19. 某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过15立方米，
每立方米按1.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米2.3元收费，其余仍按每立方米1.8元计算．另外，每立方米加收污水处理费1元．若某户一月份共支付水费58.5元，求该户一月份用水量？
20. 在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值
等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”.下图中的P，Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为(−3,1)，
①在点𝐸(0,3)，𝐹(3,−3)，𝐺(2,−5)中，为点A的“等距点”的是______；
②若点B的坐标为𝐵(𝑚,𝑚+6)，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为______； (2)若𝑇1(−1,−𝑘−3)，𝑇2(4,4𝑘−3)两点为“等距点”，求k的值．
21. 解方程组：
2𝑥+𝑦=11(1){；
3𝑥−𝑦=93𝑥−𝑦=8(2){．
5(𝑦−1)=3(𝑥+5)
22. 现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了
160元．
(1)求A，B两种商品每件各是多少元？
(2)如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于290元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
23. 如表是某店两天销售两种商品的帐目记录，由于字迹潦草，无法准确辨认．第二天的总金额的
个位数字，只知道是0或5，并且已知两种商品的单价均为整数
总数量(单位：件) 总金额 B 10 10 (单位：元) 380 230 A 第一天 第二天 30 15 (1)请求出A、B两种商品的销售价
(2)若一件A产品的进价为8元，一件B产品的进价为7元，某天共卖出两种产品50件，且两者总利润不低于80元，则至多销售B商品多少件？
【答案与解析】
1.答案：D
解析：
本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 根据等式的性质即可求出答案． 解：D选项中当𝑚=0时， 与无意义，故D选项错误， 𝑚𝑚故选：D．
𝑥
𝑦
2.答案：A
𝑎−3𝑏=2 ①解析：解：{，
3𝑎−𝑏=6 ②
②+①得：4𝑎−4𝑏=8，即𝑎−𝑏=2， 则𝑏−𝑎=−2， 故选：A．
已知两等式左右两边相减即可求出所求．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.答案：D
解析：
本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是消元，即把三元一次方程组转化成二元一次方程组或一元一次方程．根据已知得出关于x、y的方程组，求出x、y的值，再求出z的值，把x、y、z的值代入方程组得出关于a、b、c的方程组，求出即可．
3𝑥−𝑦=5𝑎𝑥−𝑏𝑦+𝑧=8
解：∵方程组{2𝑥+𝑦−𝑧=0与方程组{𝑥+𝑦+5𝑧=𝑐有相同的解，
4𝑎𝑥+5𝑏𝑦−𝑧=−222𝑥+3𝑦=−43𝑥−𝑦=5
∴得出方程组：{，
2𝑥+3𝑦=−4解得：𝑥=1，𝑦=−2，
把𝑥=1，𝑦=−2代入2𝑥+𝑦−𝑧=0得：𝑧=0，
把𝑥=1，𝑦=−2，𝑧=0代入4𝑎𝑥+5𝑏𝑦−𝑧=−22，𝑎𝑥−𝑏𝑦+𝑧=8，𝑥+𝑦+5𝑧=𝑐得： 4𝑎−10𝑏=−22①{𝑎+2𝑏=8②， 𝑐=−1③𝑎=2
解得：{𝑏=3．
𝑐=−1故选D．
4.答案：B
解析：解：∵(𝑎−2)2+√𝑏+3=0， ∴𝑎−2=0，𝑏+3=0， 解得：𝑎=2，𝑏=−3， 则P的坐标为(2,−3)， 故选：B．
利用非负数的性质求出a与b的值，即可作出判断．
此题考查了非负数的性质，以及点的坐标，熟练掌握非负数的性质是解本题的关键．
5.答案：C
解析：解：根据题意得：𝑎−3<0， 解得：𝑎<3． 故选C．
不等式两边同时除以𝑎−3即可求解不等式，根据不等式的性质可以得到𝑎−3一定小于0，据此即可求解．
本题考查了不等式的解法，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.答案：A
解析：
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
设七年级共有x名学生，根据若每排坐30人，则有8人无座位；若每排坐31人，则空26个座位列出方程即可．
解：题目隐含条件为座位的排数相等，设座位排数为y，七年级共有x名学生， ∵若每排坐30人，则有8人无座位，即去掉8人，每排坐30人正好够坐， ∴
𝑥−830
=𝑦；
∵若每排坐31人，则空26个座位，即加上26人，每排坐31人正好坐满， ∴
𝑥+2631𝑥−8
=𝑦；
𝑥+2631
即30=
．
故选A．
7.答案：B
解析：解：设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元， 根据题意得：20𝑥+15𝑦−25=19𝑥+13𝑦+15， 整理得：𝑥+2𝑦=40，
∵小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17𝑥+9𝑦， ∴19𝑥+13𝑦+15−(17𝑥+9𝑦) =2𝑥+4𝑦+15 =2(𝑥+2𝑦)+15 =2×40+15 =95，
即小江身上的钱会剩下95元； 故选：B．
设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据小江身上的钱不变得出方程20𝑥+15𝑦−25=19𝑥+13𝑦+15，整理得𝑥+2𝑦=40，由小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17𝑥+9𝑦，得出19𝑥+13𝑦+15−(17𝑥+9𝑦)=2𝑥+4𝑦+15，代入计算即可．
本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出方程是解题的关键．
8.答案：A
解析：解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，根据题意可得：
5𝑥+2𝑦=12{ 2𝑥+5𝑦=9
𝑥=2
解得：{
𝑦=1 故选：A．
题里体现了两个等量关系，列二元一次方程组很容易解决这个问题．
本题考查了二元一次方程组的问题，找准等量关系列出方程组是解决本题的关键．
9.答案：C
解析：解：解关于x的不等式𝑎𝑥+4<0， 𝑎𝑥<−4，
所以当𝑎>0时，𝑥<−𝑎； 𝑎<0时，𝑥>−𝑎； 𝑎=0时，无解．
由图可知，不等式的解集为𝑥>2， 故−𝑎=2，𝑎=−2． 故本题选C．
本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的值．
当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
4
4
4
10.答案：A
解析：先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可．
11.答案：𝑥=1
解析：
此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键． 由a与b互为相反数，得到𝑎+𝑏=0，整理后代入方程计算即可求出解． 解：由题意得：𝑎+𝑏=0，即𝑎=−𝑏≠0， 代入方程得：−𝑏𝑥+𝑏=0， 移项得：−𝑏𝑥=−𝑏， 解得：𝑥=1， 故答案为𝑥=1．
12.答案：2−2≤−1
解析：解：根据题意，得2−2≤−1．
关键描述语是：差不大于−1.意思是，最后算的差，应小于或等于−1．
读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
𝑥
𝑥
13.答案：70
解析：解：设小民爷爷是x岁，小民是y岁， 𝑥−𝑦=𝑦+40
依题意得：{，
𝑥+(𝑥−𝑦)=125𝑥=70
解得：{．
𝑦=15故答案为：70．
设小民爷爷是x岁，小民是y岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14.答案：5
解析：
本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握平方差公式．
𝑥−𝑦=2,𝑥−𝑦=2𝑥−𝑦=2化简{得：{，将{代入𝑥2−𝑦2=(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)计算可得．
2𝑥+2𝑦=5.𝑥+𝑦=2.5𝑥+𝑦=2.5
𝑥−𝑦=2,𝑥−𝑦=2
解：化简{得：{，
2𝑥+2𝑦=5.𝑥+𝑦=2.5∴𝑥2−𝑦2=(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=2.5×2=5， 故答案为：5．
15.答案：13
解析：解：设要答对x道，依题意有： 10𝑥+(−5)×(20−𝑥)>85， ∴10𝑥−100+5𝑥>85， ∴15𝑥>185， 解得：𝑥>
373
，
∵𝑥必须为整数， ∴𝑥取最小整数13，
即小华得分要超过85分，他至少要答对13题． 故答案为：13．
根据竞赛得分=10×答对的题数+(−5)×答错或不答的题数，根据本次竞赛得分要超过85分，列出不等式即可求解．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键．
16.答案：(𝐼)𝑥≥5；
(𝐼𝐼)𝑥≤2；
(𝐼𝐼𝐼)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
6
6
(𝐼𝑉)≤𝑥≤2
5
解析：解：(𝐼)解不等式(1)，得𝑥≥5；故答案为：𝑥≥5 (𝐼𝐼)解不等式(2)，得𝑥≤2；故答案为：𝑥≤2 (𝐼𝐼𝐼)见答案
6
6
(𝐼𝑉)原不等式组的解集为：5≤𝑥≤2． 故答案为：5≤𝑥≤2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6
6
17.答案：解：(1){
5𝑥−2𝑦=9①
，
5𝑥+𝑦=3②
①−②得，−3𝑦=6，解得𝑦=−2， 把𝑦=−2代入①得，𝑥=1， 𝑥=1
故此方程组的解为{；
𝑦=−2
3𝑥+𝑦=8①(2){，
2𝑥−𝑦=7②
①+②得，5𝑥=15，解得𝑥=3， 把𝑥=3代入②得，𝑦=−1． 𝑥=3
故此方程组的解为{．
𝑦=−1
解析：(1)先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可； (2)先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
2
18.答案：(1)解：{3
𝑥+5>1−𝑥
34
18
①②
𝑥−1<𝑥−
由①得2𝑥+15>3−3𝑥， 5𝑥>−12， 𝑥>−5，
由②得8𝑥−8<6𝑥−1 2𝑥<7
12
𝑥<2，
所以不等式组的解集为−
125
7
<𝑥<，
2
7
所以非负整数解为0，1，2，3． 𝑥−3(𝑥−2)≤4①(2){1+2𝑥
>𝑥−1②3由①得𝑥−3𝑥+6≤4， −2𝑥≤−2， 𝑥≥1，
由②得1+2𝑥>3𝑥−3， −𝑥>−4 𝑥<4
所以不等式组的解集为1≤𝑥<4． 在数轴上表示为：
解析：(1)分别解两个不等式得到𝑥>−5和𝑥<2，然后根据大于小的小于大的取中间即可确定不等式组的解集，再写出整数解即可．
(2)分别解两个不等式得到𝑥≥1和𝑥<4，然后根据大于小的小于大的取中间即可确定不等式组的解集，再利用数轴表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组，分别解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集，数轴上表示上注意空心圆圈，实心圆圈的应用，属于中考常考题型．
12
7
19.答案：解：∵若某户每月用水量为15立方米，则需支付水费15×(1.8+1)=42元，
而42<58.5，
∴该户一月份用水量超过15立方米． 设该户一月份用水量为x立方米，
根据题意得：15×1.8+2.3(𝑥−15)+𝑥=58.5 解得：𝑥=20
答：该户一月份用水量为20立方米．
解析：由题意得，设该用户用水量为x，根据等量关系“水费=1.8×15+2.3×超出15立方米的部分+污水处理费”列出一元一次方程即可求解．
此题为一元一次方程的应用题，同学们应学会运用方程解决实际问题的能力．
20.答案：E、F (−3,3)
解析：解：(1)①∵点𝐴(−3,1)到x、y轴的距离中最大值为3， ∴与A点是“等距点”的点是E、F．
②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有(3,9)、(−3,3)、(−9,−3)， 这些点中与A符合“等距点”的是(−3,3)． 故答案为①𝐸、F；②(−3,3)；
(2)𝑇1(−1,−𝑘−3)，𝑇2(4,4𝑘−3)两点为“等距点”， ①若|4𝑘−3|≤4时，则4=−𝑘−3或−4=−𝑘−3 解得𝑘=−7(舍去)或𝑘=1．
②若|4𝑘−3|>4时，则|4𝑘−3|=|−𝑘−3| 解得𝑘=2．
根据“等距点”的定义知，𝑘=1或𝑘=2符合题意． 即k的值是1或2．
(1)①找到x、y轴距离最大为3的点即可；
②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； (2)先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
21.答案：解：(1){
2𝑥+𝑦=11 ①
，
3𝑥−𝑦=9 ②
①+②得，5𝑥=20， 解得，𝑥=4，
把𝑥=4代入①得，𝑦=3，
𝑥=4
则方程组的解为{；
𝑦=3
3𝑥−𝑦=8 ①
(2)原方程组变形为{，
3𝑥−5𝑦=−20 ②①−②得，4𝑦=28， 解得，𝑦=7，
把𝑦=7代入①得，𝑥=5， 𝑥=5
则方程组的解为{．
𝑦=7
解析：利用加减法解二元一次方程组的一般步骤解出方程组即可．
本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
22.答案：解：(1)设A商品每件x元，B商品每件y元，
2𝑥+𝑦=90
依题意，得{，
3𝑥+2𝑦=160𝑥=20解得{．
𝑦=50
答：A商品每件20元，B商品每件50元．
(2)设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品(10−𝑎)件 20𝑎+50(10−𝑎)≥290{ 20𝑎+50(10−𝑎)≤350解得5≤𝑎≤7，
根据题意，a的值应为整数，所以𝑎=5、𝑎=7或𝑎=6．
方案一：当𝑎=5时，购买费用为20×5+50×(10−5)=350元； 方案二：当𝑎=6时，购买费用为20×6+50×(10−6)=320元； 方案三：当𝑎=6时，购买费用为20×7+50×(10−7)=290元； ∵350>290
∴购买A商品7件，B商品3件的费用最低．
答：有三种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，方案三：购买A商品7件，B商品3件，其中方案三费用最低．
解析：(1)设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组．
(2)设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品(10−𝑎)件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．
此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，关键是根据题意得出关系式得出A商品每件20元，B商品每件50元．
23.答案：解：(1)设A、B两种产品的销售单价分别为x元、y元，设第二天的总金额个位数字为m，
30𝑥+10𝑦=380
依题意{，
15𝑥+10𝑦=230+𝑚𝑥=10
当𝑚=0时，解得{，
𝑦=8𝑥=
3， 当𝑚=5时，解得{
𝑦=9
由于两种单价均为整数，故A销售单价为10元，B销售单价为8元；
(2)设销售B商品a件，则销售A商品(50−𝑎)件， 依题意(10−8)×(50−𝑎)+(8−7)𝑎≥80， 解得：𝑎≤20，
故至多销售B商品20件．
29
解析：(1)通过理解题意可知：本题的等量关系是，第一天销售的A商品的金额+第一天销售的B商品的金额=280元，第二天销售的A商品的金额+第二天销售的B商品的金额=第二天的总金额，列方程组求解即可；
(2)由题意可知：A产品的利润+𝐵产品的利润≥80，解不等式即可．
此题考查二元一次方程组和不等式的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
