导数在不等式中的应用

4.7 导数在不等式证明中的应用

一、利用单调性证明不等式

单调性本身就是体现了不等式关系，因而利用单调性来证明不等式便是顺理成章的事.在4.4中，我们利用导数的符号就能判断函数的单调性。

例1. 设eabe2，证明 ln2bln2a分析: ln2b4(ba)． 2e442blnaa, (ba) 22ee4lnx4证1: 设 (x)ln2x2x， 则 (x)22， exe1lnx，当xe时，(x)0， (x)22x故(x)单调减小． 从而，当 xe2 时，(x)(e2)(x)单调增加．(b)(a)， 440， e2e2即ln2b442blnaa，故不等式成立. 22ee 注：有时需要多次使用导数符号判断单调性. ln2bln2aln42（eabe2）证2 分析: 2, baeln2bln2a因为(ln2x)ba2ln（eabe2）， x 而(lnx1lnx (xe) ， )0，xx2lnlne24ln2bln2a4222，即：2 从而，2baeee 注：综合使用中值定理和单调性.

20,例2 证明 xsinxx, x.

2

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分析： 2sinx1, x0, x2证 令fxsinx,x(0,], x2xcosxsinxcosxxtanx0,0x则 f'x x2x22从而 fx当0x2sinx在x(0,]单调减少， x2时， ffxf0 220,即 xsinxx,x. 2二、 利用中值定理证明不等式 1、利用Lagrange中值定理证明不等式 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则有 们依据关于f(x)的，得到不等式. 如： （1）Af(x)B(axb), f(b)f(a)f(),(a,b)于是，我

ba（2）f(x)单调，(axb) （3）如果|f(x)|M，(axb) 例3 证明：当x0时，分析： xln(1x)x. 1x1ln(1x)1. 1xx证 注意到ln10，故可将不等式组变形为 对函数f(x)lnx在[1,1x](x0)上利用拉格朗日中值定理，于是，存在(1,1x),使 由于

11ln(1x)ln11,故1，即

(1x)11x2、利用柯西中值定理证明不等式

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设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g(x)0(axb),则存在(a,b)，使得

如果Nf(b)f(a)f().

g(b)g(a)g()f(x)M(axb)，则可建立相应不等式. g(x) 例4 设当xx0时,(x)0,且|f(x)|(x)，证明：当xx0时，

|f(x)f(x0)|(x)(x0) (4.7.1) 分析： f(x)f(x0)f(x)1 1 => (x)(x0)(x)证 当xx0时，式(4.7.1)的等号成立. 当xx0时，有(x)(x0).由柯西中值定理知，存在(x0,x)，使得 考虑到(x)0，故(x)单调增加，有 综上可知，当xx0时，式(4.7.1)成立. 3、 利用泰勒中值定理证明不等式 由泰勒公式或马克劳林公式可知，如果涉及具有二阶或更高阶导数，可考虑借助于函数的泰勒公式或马克劳林公式来证明，如果是已知最高阶导数的取值范围时，可用此条件来估计有关的量，从而可以证明某些不等式. f(x)1,证明f(x)x. xf(x)解 由于函数f(x)且具有一阶导数且lim1,故得f(0)0,f(0)1， x0x例5设函数f(x)的二阶导数f(x)0,且limx0利用函数f(x)一阶马克劳林公式：

f(x)f(0)f(0)xf()2f()2xxx, 其中ξ介于x与0之间， 22f()0,.

所以 f(x)x.

例6 设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)f(1)，且|f(x)|2.试证

证 注意到条件中含有高阶导数，故我们对函数ft在tx点处用一阶泰勒公式：

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分别将t0，t1代入上式,

注意到f0f1,两式相减，整理得到 因此，

三、 利用凹凸性证明不等式 曲线的凹凸性反映的也是不等关系：

xxfx1fx2f12或22xxfx1fx2f12 22如果可以从f(x)的符号判断曲线是凹或者凸的，则对应上面的不等式就一定成立.

例7 证明 当x,y0,xy,n1时， 证 设函数fttn，则 因此当t0，ft的图形是凹的.根据定义，有 例8 证明当0x时，有sin. x2x证 设f(x)sin，有 x2x则曲线yfx在0,内是凸的. 又f0f()0,所以当0x时，点

0,0和,0所连的弦在曲线yfx的下方，即fx0，从而sin四、 利用最值证明不等式 xx. 2最值关系本身也是不等关系，因此要证明f(x)M或 f(x)m(xI),则只需证明 例9 证明12p1xp(1x)p1,(0x1,p1). 1]上连续，故fx在[0，1]上有最大值M，最证 令fxxp(1x)p,显然fx在[0，小值m.

又由于f(x)pxp1p(1x)p1,令f(x)0,得驻点x1，另有区间端点x20,x31,比较

12精心整理

11.因此，当x[0,1]时，得fx的最大值Mf0f11,最小值mfp12212p1xp(1x)p1.

1x1证 令f(x)lnx,x0.由

x例10 证明 lnx1(x0).

得惟一驻点x=1.

又，当0x1时f'x0,fx单调减少； 当x1时，f'x0,fx单调增加. 因此，函数fx在点x1处取得最小值，最小值为f11,所以当x0时，有

f(x)1， 即 lnx1. 4.8* 组合恒等式与相关变化率 1x