因式分解题及解析

2013 组卷

1．在学习因式分解时， 我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完整平方公式） ，事实上，除了这两种方法外，还有其余方法能够用来因式分解，比方配方法．比如，假如要因

2

式分解 x+2x﹣ 3 时，明显既没法用提公因式法，也没法用公式法，怎么办呢？这时，我们能够采纳下边的方法：

x +2x﹣ 3=x +2

2 2

2﹣ 1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ① × x× 1+1

2

=（ x+1） ﹣2 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ② =

解决以下问题：

（ 1）填空： 在上述资猜中，运用了 _________ 的思想方法， 使得原题变成能够持续用平方差公式因式分解，这类方法就是配方法；

2x+2x﹣ 3； （2）明显所给资猜中因式分解并未结束，请依据资料因式分解

2

（3）请用上述方法因式分解 x ﹣4x﹣ 5．

2

4

x+4 分解因式 2．请看下边的问题：把

剖析：这个二项式既无公因式可提，也不可以直接利用公式，怎么办呢

19 世纪的法国数学家苏菲 ?热点抓住了该式只有两项，并且属于平方和（

2244222

式，要使用公式就一定添一项 4x，随马上此项 4x 减去，即可得 x+4=x+4x+4﹣ 4x=（ x+2） 2222222

﹣4x=（ x+2） ﹣（ 2x） =（x+2x+2）（x﹣ 2x+2）

人们为了纪念苏菲 ?热点给出这一解法， 就把它叫做 “热点定理 ”，请你依据苏菲 ?热点的做法，将以下各式因式分解．

4422

（ 1） x+4y；（ 2）x﹣ 2ax﹣ b﹣ 2ab．

22

3．下边是某同学对多项式（ x﹣4x+2）（ x﹣ 4x+6） +4 进行因式分解的过程．

2

解：设 x﹣4x=y 原式 =（ y+2）（y+6） +4（第一步） 2

=y+8y+16（第二步）

2

=（ y+4） （第三步）

22

=（ x﹣ 4x+4）（第四步） 回答以下问题：

2222x） +（ 2） 的形 （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A、提取公因式 B．平方差公式 C、两数和的完整平方公式

（2）该同学因式分解的结果能否完全 若不完全，请直接写出因式分解的最后结果 （3）请你模拟以上方法试试对多项式（ 4．找出能使二次三项式 行因式分解．

_________ ．

D．两数差的完整平方公式

_________ ．（填 “完全 ”或 “不完全 ”） _________ ． 22

x﹣ 2x）（ x﹣ 2x+2） +1 进行因式分解．

a，并且将其进

2

x+ax﹣ 6 能够因式分解（在整数范围内）的整数值

5．利用因式分讲解明：两个连续偶数的平方差必定是 4 的倍数．

2

6．已知对于 x 的多项式 3x+x+m 因式分解此后有一个因式为（ 项式因式分解．

2

3x﹣2），试求 m 的值并将多

2

7．已知多项式（ a+ka+25）﹣ b，在给定 k 的值的条件下能够因式分解．请给定一个 并写出因式分解的过程．

k 值

2

2x+8x+10 的值恒大于 0 仍是恒等于 0 或许恒小于 0， 8．先阅读，后解题：要说明朝数式

我们能够将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，详细过程以下：

2

解： 2x+8x+10

2

=2（ x+4x+5）（提公因式，获得一个二次项系数为 1 的二次多项式）

222

=2（ x+4x+2﹣2 +5）

2

=2[（ x+2）+1]（将二次多项式配方）

2

=2（ x+2） +2 （去掉中括号）

222（ x+2） 的值必定是非负数，那么 2（ x+2） +2 的值必定 因为当 x 取随意实数时，代数式

0，并且，当 x=﹣2 时，原式有最小值 2． 为正数，因此，原式的值恒大于 2请模拟上例，说明朝数式﹣ 2x﹣8x﹣ 10 的值恒大于 0 仍是恒小于 0，并且说明它的最大值 或许最小值是什么．

9．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个对于此多项式的描绘： 甲：这是一个三次三项式； 乙：三次项系数为

1；

丙：这个多项式的各项有公因式； 丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；

若已知这四位同学的描绘都正确，请你结构一个同时知足这个描绘的一个多项式． 10．在对某二次三项式进行因式分解时，

甲同学因看错了一次项系数而将其分解为

2（x﹣ 1）

（ x﹣ 9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为 2（ x﹣ 2）（x﹣ 4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．

11．察看李强同学把多项式（

2

解：设 x+6x=y，则

原式 =（ y+10）（ y+8） +1

2

22

x+6x+10）（ x+6x+8） +1 分解因式的过程：

=y +18y+81

2

=（ y+9）

（ 1）回答以下问题：这位同学的因式分解能否完全？若不完全，请你直接写出因式分解的

最后结果： _________ ．

22

（ 2）模拟上题解法，分解因式： （ x+4x+1）（ x+4x﹣3） +4．

12．（ 1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母 限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）． （2）阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：

2

1+x+x（ x+1） +x（ x+1） =（ 1+x） [1+x+x（ x+1）] ①

2

=（ 1+x） （1+x） ②

m 和 n，系数、次数不

3

=（ 1+x） ③

① 上述分解因式的方法是

_________ ，由 ② 到③ 这一步的依据是_________ 22006② 若分解 1+x+x（ x+1） +x（ x+1） + +x（x+1） ，结果是 _________ ；

2n

③ 分解因式： 1+x+x（x+1） +x（ x+1） + +x（ x+1） （ n 为正整数）．

；

13．阅读下边的资料并达成填空：

22因为（ x+a）（ x+b）=x+（ a+b） x+ab，因此，对于二次项系数为 1 的二次三项式 x+px+q 的 p，即假如有 a， b 两数满 因式解，就是把常数项 q 分解成两个数的积且使这两数的和等于

足 a﹒ b=a+b=p，则有

2

x+px+q=（ x+a）（ x+b）．

2

如分解因式 x+5x+6．

解：因为 2×3=6， 2+3=5，

2

因此 x+5x+6=（ x+2）（x+3）．

2

再如分解因式 x﹣ 5x﹣6．

解：因为﹣ 6×1=﹣ 6，﹣ 6+1=﹣ 5，

2

因此 x﹣ 5x﹣6=（ x﹣6 ）（ x+1）．

同学们，阅读完上述文字后，你能达成下边的题目吗？试一试看．

2222

因式分解：（ 1） x+7x+12；（ 2） x﹣7x+12；（ 3）x+4x﹣ 12；（4） x﹣ x﹣ 12．

答案

4x+4 分解因式 1．请看下边的问题：把

剖析：这个二项式既无公因式可提，也不可以直接利用公式，怎么办呢

2222x） +（ 2） 的形 19 世纪的法国数学家苏菲 ?热点抓住了该式只有两项，并且属于平方和（

22442224x，随马上此项 4x 减去，即可得 x+4=x+4x+4﹣ 4x=（ x+2） 式，要使用公式就一定添一项

2222222

﹣4x=（ x+2） ﹣（ 2x） =（x+2x+2）（x﹣ 2x+2）

人们为了纪念苏菲 ?热点给出这一解法， 就把它叫做 “热点定理 ”，请你依据苏菲 ?热点的做法，将以下各式因式分解．

4422

（ 1） x+4y；（ 2）x﹣ 2ax﹣ b﹣ 2ab．

考点 ：因式分解 -运用公式法．

专题 ：阅读型．

剖析：这是要运用添项法因式分解，第一要看理解例题才能够试试做以下题目．

44422222

解答：解：（ 1）x+4y=x+4xy+4y﹣ 4xy，

22222=（ x+2y） ﹣4xy，

2222

=（ x+2y+2xy）（ x+2y﹣ 2xy）；

222

（ 2） x﹣2ax﹣ b ﹣2ab，=x﹣ 222

2ax+a﹣ a﹣ b﹣ 2ab，=（ x﹣

22a） ﹣（ a+b） ，

=（ x﹣a+a+b）（ x﹣ a﹣ a﹣ b）， =（ x+b）（ x﹣ 2a﹣ b ）．

评论：本题考察了添项法因式分解，难度比较大．

22

2．下边是某同学对多项式（ x﹣4x+2）（ x﹣ 4x+6） +4 进行因式分解的过程．

2

解：设 x﹣4x=y

原式 =（ y+2）（y+6） +4（第一步） 2

=y+8y+16（第二步）

2

=（ y+4） （第三步）

22

=（ x﹣ 4x+4）（第四步） 回答以下问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A、提取公因式 B．平方差公式 C、两数和的完整平方公式

C ．

D．两数差的完整平方公式

不完全

．（填 “完全 ”或 “不完全 ”）

（2）该同学因式分解的结果能否完全 若不完全，请直接写出因式分解的最后结果 （3）请你模拟以上方法试试对多项式（ 考点 ：提公因式法与公式法的综合运用． 专题 ：阅读型．

（ x﹣ 2） 4 ． x2﹣ 2x）（ x2﹣ 2x+2） +1 进行因式分解．

剖析：（ 1）完整平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；

2

（ 2） x﹣4x+4 还能够分解，因此是不完全． （ 3）依据例题的分解方法进行分解即可． 解答：解：（ 1）运用了 C，两数和的完整平方公式；

2（ 2） x﹣4x+4 还能够分解，分解不完全；

2（ 3）设 x﹣ 2x=y．

22（ x﹣ 2x）（ x﹣ 2x+2） +1， =y（ y+2） +1， 2

=y+2y+1，

2

=（ y+1） ，

22=（ x﹣2x+1） ，

4

=（ x﹣1） ．

评论：本题考察了运用公式法分解因式和学生的模拟理解能力， 依据供给的方法和款式解答即

可，难度中等．

3．找出能使二次三项式 行因式分解．

2

x+ax﹣ 6 能够因式分解（在整数范围内）的整数值

a，并且将其进

考点 ：因式分解 -十字相乘法等．

剖析：依据十字相乘法的分解方法和特色可知：

a 是﹣ 6 的两个因数的和，则﹣ 6 可分红 3×

2

种，因此将 x+ax﹣ 6 分解因式后有 4 种情 （﹣ 2），﹣ 3×2， 6×（﹣ 1），﹣ 6×1，共 4 况．

2

解答：解： x+x﹣ 6=（ x+3）（ x﹣2）；

2

x﹣ x﹣6=（ x﹣ 3）（ x+2）； 2

x+5x﹣6=（ x+6）（x﹣ 1）； 2

x﹣ 5x﹣6=（ x﹣ 6）（ x+1）．

评论：本题考察十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意察看，试试，并

领会它实质是二项式乘法的逆过程，常数﹣

6 的不一样分解是本题的难点．

4．利用因式分讲解明：两个连续偶数的平方差必定是 考点 ：因式分解的应用．

剖析：依据题意设出两个连续偶数为

结论．

解答：解：设两个连续偶数为

2n， 2n+2，则有

4 的倍数．

2n、 2n+2，利用平方差公式进行因式分解，即可证出

22

（ 2n+2） ﹣（ 2n） ，

=（ 2n+2+2n）（ 2n+2﹣ 2n）， =（ 4n+2） ×2， =4（ 2n+1）， 因为 n 为整数，

因此 4（2n+1）中的 2n+1 是正奇数， 因此 4（2n+1）是 4 的倍数， 故两个连续正偶数的平方差必定能被

4 整除．

评论：本题考察了因式分解的应用，解题的重点是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公

式对列出的式子进行整理，本题较简单．

2

5．已知对于 x 的多项式 3x+x+m 因式分解此后有一个因式为（ 3x﹣2），试求 m 的值并将多 项式因式分解．

考点 ：因式分解的意义．

剖析：

2

因为 x 的多项式 3x+x+m 分解因式后有一个因式是 为 0，由此获得对于 m 的方程，解方程即可求出 进行因式分解，即可求出答案．

23x+x+m 分解因式后有一个因式是 解答：解： ∵x 的多项式

3x﹣2，因此当 x= 时多项式的值

2

m 的值，再把 m 的值代入 3x+x+m

3x﹣ 2，

当 x= 时多项式的值为 0， 即 3× ∴ 2+m=0， ∴ m=﹣ 2；

22

∴ 3x+x+m=3x+x﹣ 2=（ x+1）（ 3x﹣

=0，

2）；故答案为： m=﹣ 2，（ x+1）（ 3x﹣

2）．

评论：本题主要考察因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代

入法求解．

22

6．已知多项式（ a+ka+25）﹣ b，在给定 k 的值的条件下能够因式分解．请给定一个 k 值并写出

因式分解的过程．

考点 ：因式分解 -运用公式法．

专题 ：开放型．

剖析：依据完整平方公式以及平方差公式进行分解因式即可． 解答：解： k=±10，

假定 k=10，

2222

则有（ a+10a+25）﹣ b=（ a+5） ﹣ b=（ a+5+b）（ a+5﹣ b）．

评论：本题主要考察了运用公式法分解因式， 正确掌握完整平方公式和平方差公式是解题重

点．

2

2x+8x+10 的值恒大于 0 仍是恒等于 0 或许恒小于 0， 7．先阅读，后解题：要说明朝数式

我们能够将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，详细过程以下：

2

解： 2x+8x+10

2

=2（ x+4x+5）（提公因式，获得一个二次项系数为 1 的二次多项式）

222

=2（ x+4x+2﹣2 +5）

2

=2[（ x+2）+1]（将二次多项式配方）

2

=2（ x+2） +2 （去掉中括号）

222（ x+2） 的值必定是非负数，那么 2（ x+2） +2 的值必定 因为当 x 取随意实数时，代数式

0，并且，当 x=﹣2 时，原式有最小值 2．请模拟上例，说 为正数，因此，原式的值恒大于

2

明朝数式﹣ 2x﹣ 8x﹣ 10 的值恒大于 0 仍是恒小于 0，并且说明它的最大值或许最小值是什 么．

考点 ：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．

剖析：依据题目供给的方法将二次三项式配方后即可获得答案．

2

解答：解：﹣ 2x﹣ 8x﹣ 10

2

=﹣ 2（ x+4x+5）

222

=﹣ 2（ x+4x+2﹣ 2+5）

2

=﹣ 2[（x+2） +1]

因为当 x 取随意实数时，代数式

2（ x+2） 2 的值必定是非负数，那么﹣ 2（ x+2） 2﹣ 2

0，并且，当 x=﹣ 2 时，原式有最大值﹣ 2． 注意解本题的重点是将原代数式准

的值必定为负数，因此，原式的值恒小于

评论：本题考察了配方法与完整平方式的非负性的应用．

确配方．

8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个对于此多项式的描绘： 甲：这是一个三次三项式； 乙：三次项系数为

1；

丙：这个多项式的各项有公因式； 丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；

若已知这四位同学的描绘都正确，请你结构一个同时知足这个描绘的一个多项式． 考点 ：提公因式法与公式法的综合运用． 专题 ：开放型．

剖析：能用完整平方公式分解的式子的特色是：三项；两项平方项的符号需同样；有一项为哪一项

两底数积的 2 倍．

解答：解：由题意知，能够理解为：

甲：这是一个对于 乙：三次项系数为

x 三次三项式； 1，即三次项为 x3；

x；

丙：这个多项式的各项有公因式

丁：这个多项式分解因式时要用到完整平方公式法．

2232

故多项式能够为 x（ x﹣ 1）=x（ x﹣ 2x+1） =x﹣ 2x+x．

评论：本题考察了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，依据描绘依据要求列出这个

多项式．答案不独一．

9．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为 2（x﹣ 1）

（ x﹣ 9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为 2（ x﹣ 2）（x﹣ 4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．

考点 ：因式分解的应用．

剖析：本题能够先将两个分解过的式子复原，再依据两个同学的错误得出正确的二次三项

式，最后进行因式分解即可．

22

解答：解： 2（ x﹣ 1）（ x﹣ 9） =2x﹣20x+18， 2（ x﹣ 2）（ x﹣ 4） =2x﹣12x+16；因为甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，

2

则正确的二次三项式为： 2x﹣ 12x+18；

22

再对其进行因式分解： 2x﹣ 12x+18=2（ x﹣ 3） ．

评论：本题考察了因式分解的应用，题目较为新奇，同学们要仔细对待． 10．察看李强同学把多项式（

2

解：设 x+6x=y，则

原式 =（ y+10）（ y+8） +1 2

=y+18y+81

2

=（ y+9）

22 =（ x+6x+9）

22

x+6x+10）（ x+6x+8） +1 分解因式的过程：

（ 1）回答以下问题：这位同学的因式分解能否完全？若不完全，请你直接写出因式分解的

4

最后结果： （x+3） ．

22

（ 2）模拟上题解法，分解因式： （ x+4x+1）（ x+4x﹣3） +4． 考点 ：因式分解 -十字相乘法等．

专题 ：换元法．

22

剖析：（ 1）依据 x+6x+9=（ x+3） ，从而分解因式得出答案即可；

（ 2）模拟例题整理多项式从而分解因式得出答案即

可．解答：解：（ 1）这位同学的因式分解不完全，

原式 =（y+10）（ y+8） +1

2

=y +18y+81

2

=（ y+9）

22 =（ x+6x+9）

4

故答案为：（ x+3） ；

2

（ 2）设 x+4x=y，则

原式 =（y+1）（ y﹣ 3）+4 2

=y﹣ 2y+1

2

=（ y﹣ 1）

22=（ x+4x﹣ 1） ．

评论：本题主要考察了因式分解法的应用， 正确分解因式以及注意分解因式要完全是解题重

点．

11．（ 1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母 限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．

m 和 n，系数、次数不

（2）阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：

21+x+x（ x+1） +x（ x+1） =（ 1+x） [1+x+x（ x+1）] ①

2

=（ 1+x） （1+x） ②

3=（ 1+x） ③ ① 上述分解因式的方法是 提公因式法分解因式 ，由 ② 到 ③ 这一步的依据是 同底数幂 的乘法法例 ；

220062007

若分解 1+x+x（ x+1） +x（ x+1） + +x（x+1） ，结果是 （1+x） ； ②

2n

分解因式： 1+x+x（x+1） +x（ x+1） + +x（ x+1） （ n 为正整数）． ③ 考点 ：因式分解 -提公因式法．

剖析：（ 1）依据题目要求能够编出先提公因式后用平方差的式子，答案不独一；

（ 2）第一经过分解因式，可发现 ① 中的式子与结果之间的关系，依据所发现的结论可

直接获得答案．

3222

解答：解：（ 1）m﹣ mn=m（ m﹣ n）=m（ m﹣ n）（ m+n），

（ 2） ① 提公因式法，同底数幂的乘法法例；

2007

② 依据 ① 中可发现结论： （ 1+x） ；

n+1

③ （ 1+x） ． 评论：本题主要考察了因式分解法中的提公因式法分解因式， 公式法分解因式以及分解因式得依据，考察同学们的察看能力与概括能力．

12．阅读下边的资料并达成填空：

22因为（ x+a）（ x+b）=x+（ a+b） x+ab，因此，对于二次项系数为 1 的二次三项式 x+px+q 的 p，即假如有 a， b 两数满 因式解，就是把常数项 q 分解成两个数的积且使这两数的和等于 足 a﹒ b=a+b=p，则有

2

x+px+q=（ x+a）（ x+b）．

2

如分解因式 x+5x+6．

解：因为 2×3=6， 2+3=5，

2

因此 x+5x+6=（ x+2）（x+3）．

2

解：因为﹣ 6×1=﹣ 6，﹣ 6+1=﹣ 5，

2

因此 x﹣ 5x﹣6=（ x﹣6 ）（ x+1）．

同学们，阅读完上述文字后，你能达成下边的题目吗？试一试看．

2222

因式分解：（ 1） x+7x+12；（ 2） x﹣7x+12；（ 3）x+4x﹣ 12；（4） x﹣ x﹣ 12．

考点 ：因式分解 -十字相乘法等．

专题 ：阅读型．

2

1 的二次三项式 x+px+q 的因式解，就是把常数项 剖析：发现规律：二次项系数为

2

p，则 x+px+q=（ x+a）（ x+b）． 两个数的积且使这两数的和等于

2

解答：解：（ 1）x+7x+12=（x+3）（ x+4）；

q 分解成

评论：本题考察十字相乘法分解因式，是（ 2） x2

﹣7x+12=（ x﹣ 3）（ x﹣ 4）； （ 3） x2+4x﹣ 12=（ x+6）（ x﹣2）；

（ 4） x2﹣x﹣ 12=（ x﹣ 4）（ x+3）．

2

x2

+（ p+q）型式子的因式分解的应用，应识

x+pq